Quaternion

ℍ

William Rowan Hamilton

D Kwaternione (vo lat. quaternio „Vierhäit“) oder au d Hamilton-Zaale si e Beriich vo Zaale, wo dr Beriich vo de reelle Zaale ${\displaystyle \mathbb {R} }$ erwiteret, äänlig wie s die komplexe Zaale ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mache, goot aber über die uuse.

Kwaternione si braktisch für zum dr dreidimensionali euklidischi Ruum und anderi Rüüm z beschriibe.

Konstrukzion

D Kwaternione entstöön us de reelle Zaale, wemm drei nöiji Zaale drzue duet (Adjunkzion), wo mä aagleent an die komplex-imaginäri Äihäit d Nääme ${\displaystyle \mathrm {i} }$, ${\displaystyle \mathrm {j} }$ und ${\displaystyle \mathrm {k} }$ gee het. So bechunnt mä e vierdimensionals Zaalesüsteem (mathematisch: e Wektorruum) mit eme Realdäil, wo us äinere reelle Komponänte bestoot, und eme Imaginärdäil us drei Komponänte, wo au Wektordäil häisst.

Jede Kwaternion cha mä äidütig in dr Form

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} }$

mit reelle Zaale ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$ schriibe. D Elimänt ${\displaystyle 1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} }$ si e Basis, d Standardbasis vo de Kwaternione über ${\displaystyle \mathbb {R} }$. D Addizion isch komponäntewiis und wird vom Wektorruum gerbt. Multiplikativ wärde die nöije Zaale ${\displaystyle \mathrm {i} }$, ${\displaystyle \mathrm {j} }$, ${\displaystyle \mathrm {k} }$ noch de Hamilton-Regle

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1}$

verchnüpft. D Skalarmultiplikazioon ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {H} \to \mathbb {H} \,}$, wo au vom Wektorruum gerbt wird^[1] und wo d Skalar bin ere aagluegt wärde, ass si mit jedem Elimänt chönne usduscht wärde, zämme mit dr Addizioon und de Hamilton-Regle mache s mööglig, ass mä d Multiplikazioon vo dr Basis uf alli Kwaternione cha erwitere. Wil eso au jede Skalar ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ as ${\displaystyle \lambda +0\mathrm {i} +0\mathrm {j} +0\mathrm {k} }$ in ${\displaystyle \mathbb {H} }$ iibettet wird, cha ${\displaystyle \mathbb {R} }$ as Underkörper vo ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ufgfasst wärde.

D Multiplikazioon isch assoziativ und erfüllt au s Distributivgsetz, macht also us de Kwaternione e Ring. Si isch allerdings nit kommutativ, d. h. für zwäi Kwaternione ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ si die bäide Brodukt ${\displaystyle xy}$ und ${\displaystyle yx}$ im Normalerfall verschiide. S Zentrum vo ${\displaystyle \mathbb {H} }$, also d Mängi vo de Elimänt, wo mit alle Elimänt kommutiere, isch exakt ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

D Kwaternione bilde e Schiefkörper (Divisionsring), wil s zu jeder Kwaternion ${\displaystyle x\neq 0}$ e inversi Kwaternion ${\displaystyle x^{-1}}$ git mit

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}$ .

Wil d Kommutatividäät feelt, brucht mä Notazione mit Bruchstrich, wie z. B. ${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$ nit.

Zämmegfasst: D Kwaternione sin e vierdimensionali Divisionsalgebra über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ – und bis uf d Isomorfii die äinzigi. Historisch si d Kwaternione s erste Bischbil vom ene Divisionsring, wo die zwäiti Verchnüpfig von em nit kommutativ isch.

Litratuur

• Max Koecher, Reinhold Remmert: Hamiltonsche Quaternionen. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12666-X

• John Horton Conway, Derek A. Smith: On Quaternios and Octonions, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (änglisch)
• Jack B. Kuipers: Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (änglisch)
• W. Bolton: Complex Numbers (Mathematics for Engineers), Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (änglisch)
• Andrew J. Hanson: Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (änglisch)

• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Verallgemeinerungen der Zahlen, Verlag Harri Deutsch, 1995

• S. Eilenberg and I. Niven: The „fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Soc. 50(1944), 246-248.

Weblingg

• Kwaternione in dr Kompiuteranimazioon
• Wo d Kwaternione entdeggt worde si (mit Bilder)
• Eric W. Weisstein „Quaternionen.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource

Fuessnoote

1. Mä sött sä nit mit em Skalarbrodukt verwäggsle.

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Quaternion“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.