Satz des Pythagoras

Im ene rächtwingglige Dreiegg mit de Kathete a und b und dr Hypotenuse c isch d Summe vo de Kathetekwadrat a² und b² gliich em Hypotenusekwadrat c².

Dr Satz vom Pythagoras isch äine vo de fundamentale Setz in dr euklidische Geometrii. Er säit, ass in alle ebene rächtwingglige Dreiegg d Summe vo de Flechiinhalt vo de Kathetekwadrat gliich grooss wie dr Flechiinhalt vom Hypotenusekwadrat isch. Wenn ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ d Lengene vo de Site si, wo dr rächt Winggel usmache, das si d Kathete, und ${\displaystyle c}$ d Lengi vo dr Site, wo wisawii vom rächte Winggel lit, das isch dHypotenuse, denn lutet dr Satz usdruggt as Gliichig:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Dr Satz isch noch em Pythagoras vo Samos benennt, wo mä von em verzelt, ass er as Erster e mathematische Bewiis drfür gfunde häig. Das isch in dr Forschig umstritte. D Ussaag vom Satz isch scho lang vor dr Zit vom Pythagoras z Babylon und Indie bekannt gsi. Es git aber käi Noochwiis drfür, ass mä dört au e Bewiis gha het.

Bewiis

Es git Hunderti vo Bewiis für dä Satz. Doo wärde nume äi geometrische und äi algebraische Bewiis daargstellt.

Wie mä vier rächtwinggligi Dreiegg mit de Kathete ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ in e Kwadrat mit dr Sitelengi ${\displaystyle a+b}$ iineduet

In e Kwadrat mit dr Sitelengi ${\displaystyle a+b}$ wärde vier gliichi (kongruänti) rächtwinggligi Dreiegg mit de Site ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ (Hypotenuse) iinw gläit. Das cha mä uf zwäi Arte mache, wie mä s im Diagramm cha gsee.

D Flechene vom lingge und vom rächte Kwadrat si gliich grooss (Sitelengi ${\displaystyle a+b}$). S linggee bestoot us de vier rächtwingglige Dreiegg und eme Kwadrat mit ere Sitelengi ${\displaystyle c}$, s rächte us de gliiche Dreiegg und eme Kwadrat mit ere Sitelengi ${\displaystyle a}$ und eme zwäite Kwadrat mit dr Sitelengi ${\displaystyle b}$. D Flechi ${\displaystyle c^{2}}$ entspricht also dr Summe vo dr Flechi ${\displaystyle a^{2}}$ und dr Flechi ${\displaystyle b^{2}}$, also

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Geometrische Bewiis vom Satz vom Pythagoras (Animazioon)

En algebraischi Löösig git s us em linggen Bild. S groosse Kwadrat het e Sitelengi ${\displaystyle a+b}$, und eso e Flechi vo ${\displaystyle (a+b)^{2}}$. Zieht mä vo dere Flechi die vier Dreiegg ab, wo jedes von ene e Flechi vo ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}}$ (also im Ganze ${\displaystyle 2ab}$) het, so blibt d Flechi ${\displaystyle c^{2}}$ übrig. Es isch also

${\displaystyle (a+b)^{2}=2ab+c^{2}}$.

Us dr Uflöösig vo dr Chlammere folgt

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}$.

Wemm mä jetz uf bäide Site ${\displaystyle 2ab}$ abziet, blibt dr Satz vom Pythagoras übrig.

Litratuur

• Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994. ISBN 3-86025-669-6
• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2, S. 114–118
• Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000. ISBN 3-7643-6189-1, S. 47–76
• Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press 2007, ISBN 0-691-12526-0
• Alfred S. Posamentier: The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. Prometheus Books 2010, ISBN 978-1-61614-181-3

Weblingg

• Geometrischi Bewiis für e Satz vom Pythagoras (Video)
• Bewiissammlig für e Satz vom Pythagoras(änglisch)
• Java-Applets (änglisch)
• Interaktivs Leerbrogramm mit Bewiis, Ufgoobe und vile Lingg
• Eric W. Weisstein: Pythagorean theorem. In: MathWorld (änglisch). (mit verschiidene Bewiis)

Einzelnachweise