ስብስብ
ስብስብ ሲባል ተለይተው ሊዘርዘሩ የሚችሉ ነገሮች ክምችት ማለት ነው። ሥነ ስብስብ የሒሳብ ጥናት መሰረት ከመሆኑ የተነሳ በአሁኑ ወቅት በሁሉም የሂሳብ ዘርፎች ሰርጾ ይገኛል። ስለሆነም ከመዋዕለ ህጻናት እስከ ዩኒቨርስቲወች ድረስ የስብስብ ጥናት እንደ ትምህርት ይሰጣል።
ከላይ እንደተጠቀሰው ስብስብ ማለቱ ጥርት ብለው የተለዩ ነገሮች (የየቅል ነገሮች) ክምችት ማለት ነው። እኒህ የተከማቹ ነገሮች፣ እያንዳንዳቸው፣ የስብስቡ አባል ይሰኛሉ። የአንድ ስብስብ አባላት ማናቸውም አይነት ነገር ሊሆኑ ይችላሉ ፦ ሰወች፣ ቁጥሮች፣ ፊደሎች፣ ሌሎች ስብስቦች፣ ወዘተ... ።
ስብስቦች፣ በእንግሊዝኛ ፊደላት ካፒታል ሌተር ይሰየማሉ። ስብስብ A እና ስብስብ B እኩል ናቸው የሚባሉት ሁለቱም ስብስቦች አንድ አይነትና አንድ አይነት ብቻ ስብስብ ሲኖራቸው ነው።
ስብስብን በሁለት አይነት መንገድ መግልጽ ይቻላል። አንደኛው ቃላትን በመጠቀም የስብስቡን አባላት በመወሰን ነው። ምሳሌ፡-
- A ማለት የመጀመሪያዎቹ አራት መቁጠሪያ ቁጥሮች ስብስብ ነው
- B ማለት የኢትዮጵያ ሰንደቅ አላማ ቀለማት ስብስብ ነው
ሁለተኛው መንገድ የስብስቡን አባላት አንድ-ባንድ በመዘርዘር ይሆናል። ለዚህ ተግባር እንዲጠቅም አባላቱን በብራኬት መክበብና የእንግሊዝኛ ኮማ በአባላቱ መካከል በማስቀመጥ ነው። ለምሳሌ
- C = {4, 2, 1, 3}
- D = {ቀይ, ቢጫ, አረንጓዴ}
የስብስብ አባላት፣ እያንዳዳቸው በጠራ ሁኔታ የተለያዩ (የየቅል) መሆን አለባቸው። አባላቱ ቢደጋገሙ ምንም ለውጥ አያመጡም። በሌላ አነጋገር የአንድ ሰብስብ ሁለት አባላቱ አንድ አይነት ሊሆኑ አይችሉም። የስብስብ አባላት አደራደር ቅደም-ተከተል የለውም። እንደፈለገ ሊደረደር ይችላል። እንዲህ የሆነበት ምክንያት የስብስብ ጽንሰ ሐሳብ ዋና አላም ማን/ምን የሰብስቡ አባል ነው የሚለውን ጥያቄ ለመመልስ ስለሆነ ነው። ስለዚህም የሚከተሉት ስብስቦች እኩል ናቸው።
- {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}
የአንድ ስብስብ አባላት ብዙ ከሆኑና የአባላቱ ይዘት ግልጽ ከሆነ ሁሉንም አባላት መጻፍ አያስፈልግም። ለዚህ ተግባር ("...") መጠቀም ይቻላል።
- {1, 2, 3, ..., 1000},
በብራኬት መንገድ እያንዳንዱን አባላት ሳይዘረዝሩ ስብስቡን መግለጽም ይቻላል። ለምሳሌ
- E = {የካርታ ጨዋታ ምልክቶች} ማለቱ እኒህ ምልክቶች♠, ♦, ♥, እና ♣. አባላቱ የሆነ ስብስብ ማለቱ ነው። በአጠቃላይ መልኩ ስብስብ መስሪያ አጻጻፍ የሚባለውን ዘዴ በመጠቀም ስብስቦችን በብራኬት ተጠቀመን እንዲህ መስራት እንችላለን፡፡ ለምሳሌ
- F = {n2 − 4 : n መቁጠሪያ ቁጥር ሲሆን; 0 ≤ n ≤ 19}
እዚህ ላይ የ(":") ምልክት ትርጓሜው "ሆኖ ሲያበቃ" እንደማለት ነው። ከላይ የተጠቀሰው ምሳሌ ሲነበብ F የሁሉም ቁጥሮች n2 − 4, ስብስብ ሆኖ ሲያበቃ n ደግሞ በ0 እና 19 መካከል ያለ መቁጠሪያ ቁጥር ነው"።
ነገር a የስብስብ B አባል ከሆነ ይህ ኩነት እንዲህ ይወከላል a ∈ B። በሌላ በኩል c የስብስብ B አባል ካልሆነ እንዲህ ይወከላል c ∉ B።
ሌላ ከበድ ያለ ምሳሌ ለመውሰድ ያክል A = {1,2,3,4}, B = {ቀይ, ቢጫ አረንጓዴ}, እና F = {n2 − 4 : n መቁጠሪያ ቁጥር ነው; እና 0 ≤ n ≤ 19}
- 4 ∈ A እና 285 ∈ F; ነገር ግን
- 9 ∉ F እና ሰማያዊ ∉ B.
ማናቸውም የስብስብ A አባላት የስብስብ B አባላት ከሆኑ፣ A የ B ታህታይ ስብስብ ነው እንላለን። ሲጻፍ A ⊆ B ( ሲነበበ A ስብስብ B ውስጥ ይገኛል)። በዚህ ትይዩ እንዲህ በለንም መጻፍ እንችላለን B ⊇ A, ሲነበብB የA ላዕላይ ስብስብ ነው ወይም B ስብስብ Aን ይጠቀልላል።
A የB ታህታይ ስብስብ ሆኖ ነገር ግን ሁለቱ ስብስቦች እኩል ካልሆኑ , A የB ደንበኛ ታህታይ ስብስብ ይሰኛል፣ በሒሳብ ምልክት ሲጻፍ A ⊂ B። ሌሎች ደራሲያን ይህን ምልከት A ⊊ B ይጠቀማሉ።
ምሳሌ፡
- የሁሉ ወንዶች ስብስብ የሁሉ ሰወች ስብስብ ታህታይ ስብስብነው።
- {1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}.
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
ባዶ ስብስብ የማናቸውም ስብስብ ታህታይ ስብስብ ነው። ሁሉም ስብስብ በበኩሉ የራሱ ስብስብ ታህታይ ስብስብ ነው።
- ∅ ⊆ A.
- A ⊆ A.
ሁለት ስብስቦች እኩል እንደሆኑ ለማረጋገጥ የሚያገለግል መምሪያ ሐሳብ ይኼ ነው፦
- ሁለት ስብስቦች A = B እኩል የሚሆኑት A ⊆ B እና B ⊆ A ሲሆኑና ሲሆኑ ብቻ ነው።
የስብስብ ብዛት የምንለው የአንድ ስብስብ አባላትን ብዛት ነው። ለምሳሌ የስብስብ B ብዛት በሒሳብ ምልክት እንዲህ ይወከላል፡ | B |። ለምሳሌ፡ ስብስብ B የፈረንሳይ ባንዲራ ቀለሞች ስብስብ ቢሆን፣ የ B ብዛት ሲሰላ | B | = 3 ነው፣ ምክንያቱም የፈረንሳይ ባንዲራ ቀለሞች 3 ናቸውና።
ባዶ ስብስብ የምንለው ልዩ ስብስብ በውስጡ ምንም አባላት የሉትም ስለሆነም ብዛቱ ዜሮ ነው እንላለን። ምልክቱም ይሄ ነው፡ ∅ ወይም { } ። ለምሳሌ ጎናቸው አራት የሆኑ ሶስት ማዕዘኖች ስብስብ ዜሮ አባላት ስላሉት ባዶ ስብስብ ይባላል።
በተጻራሪ አንድ አንድ ስብስቦች አእላፍ ብዛት አሏቸው። ለምሳሌ የቁጥሮች ስብስብን ብንወሰድ አእላፍ አባላት አሉት። አንድ አንድ አእላፋት ከሌሎች አእላፋት የሚበልጡበት ሁኔታ ይገኛል። ለምሳሌ የውኑ ቁጥር ብዛት ከመቁጠሪያ ቁጥር ብዛት ይበልጣል፣ ምንም እንኳ ሁለቱም ብዛታቸው አእላፍ ቢሆንም። በተጻራሪ አንድ አንድ እኩል የማይመስሉ አዕላፎች እኩል ሆነው ይገኛሉ። ለምሳሌ የመስመር ቁራጭ ና የተቆረጠበት መስመር እኩል ብዛት አላቸው፣ ማለት እኩል የነጥብ ብዛት አላቸው። እኒህንና እኒህ የመሰሉ እንግዳ የአእላፍ ጠባዮች የተጠኑት በጆርጅ ካንተር ነበር።
የስብስብ S ርቢ ስብስብ የምንለው ማናቸውንም የስብስብ S ታህታይ ስብስቦች አቅፎ የሚይዝን ስብስብ ነው። ማለት ከ S አባላት የሚሰሩ ማናቸውንም ስብስቦችና ባዶ ስብስብን ይይዛል። አንድ ብዛቱ አእላፍ ያልሆነ (አባላቱ የሚያልቁ) ስብስብ ብዛቱ n ቢሆነ የርቢ ስብስቡ ብዛት 2n ነው። የርቢ ስብስብ እንዲህ ይወከላል P(S).
ለምሳሌ፡
- {1, 2, 3} ስብስብ ቢሰጠን፣ ርቢ ስብስቡ ይሄ ነው {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}. የመጀመሪያው ስብስብ ብዛት 3 ሲሆን የርቢ ስብስቡ ብዛት 23 = 8 ነው።
ከተሰጠ ስብስብ ወይም ስብስቦች ሌሎች ስብስቦች ለመፍጠር የተለያዩ መተግበራዊያወች ይገኛሉ። ከነዚህ ውስጥ ዋና ዋናዎቹ እኒህ ናቸው
ሁለት ስብስቦች "ሊደመሩ" ይችላሉ። መደመርን መተግብሪያ ውህድ ስብስብ ሲሆን፣ የA እና B ውህድ እንዲህ ይጻፋል A ∪ B ። ትርጓሜውም በ A ወይም በ B የሚገኙ ሁሉም አባላት ስብስብ ማለት ነው።
ምሳሌ:
- {1, 2} ∪ {ቀይ, ነጭ} ={1, 2, ቀይ, ነጭ}
- {1, 2, አረንጓዴ} ∪ {ቀይ፣ ነጭ፣ አረንጓዴ} ={1, 2, ቀይ፣ ነጭ፣ አረንጓዴ}
- {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
አንድ አንድ መሰረታዊ የውህድ ስብስብ ጸባዮች:
- A ∪ B = B ∪ A.
- A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
- A ⊆ (A ∪ B).
- A ∪ A = A.
- A ∪ ∅ = A.
- A ⊆ B if and only if A ∪ B = B.
የሁለት ስብስቦችን የጋራ አባላት በመውሰድ እንዲሁ አዲስ ስብስብ መፍጠር ይቻላል። የA እና B የጋራ ስብስብ እንዲህ ይወከላል A ∩ B,፤ ትርጓሜውም በ A እና በ B ውስጥ የሚገኙ የጋራ አባላቶች ስብስብ ማለት ነው። A ∩ B = ∅, ከሆነ A እና B የየቅል ስብስብ ይሰኛሉ።
ምሳሌዎች:
- {1, 2} ∩ {ቀይ, ነጭ} = ∅.
- {1, 2, አረንጓዴ} ∩ {ቀይ, ነጭ, አረንጓዴ} = {አረንጓዴ}.
- {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
የጋራ ስብስብ መሰረታዊ ጸባዮች:
- A ∩ B = B ∩ A.
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
- A ∩ B ⊆ A.
- A ∩ A = A.
- A ∩ ∅ = ∅.
- A ⊆ B የሚሆነው A ∩ B = A. ከሆነና ከሆነ ብቻ ነው።
ወይንም የB ውጭ ከA አንጻር
ሁለት ስብስቦች ሊቀናነሱ ይችላሉ። A \ B (ወይም A − B) ማለቱ ማናቸውም በA ውስጥ ኖረው ነገር ግን በ B የማይገኙ አባላት ስብስብ ማለቱ ነው።
በአንድ አንድ ስሌቶች ማናቸውም ስብስቦች የአቃፊያቸው አለም አቀፍ ስብስብ አባል እንደሆኑ ተደርገው ሊወሰዱ ይችላሉ። ይህ ሁሉን አቃፊ ስብስብ እንዲህ ይወከላል፡ U ። በዚህ ጊዜ U \ A የ A ውጭ ወይንም የ Aተቃርኖ ይሰኛል።
ምሳሌ:
- {1, 2} \ {ቀይ፣ ነጭ} = {1, 2}.
- {1, 2, አረንጓዴ} \ {ነጭ፣ ቀይ፣ አረንጓዴ} = {1, 2}.
- {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
- {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
- አለም አቀፉ ስብስብ U የመቁጠሪያ ቁጥሮችን ቢወክል, E ደግሞ ተጋማሽ ቁጥሮችን, O ኢተጋማሽ ቁጥሮችን ቢወክል, E′ = O.
መሰረታዊ የውጭ ስብስብ ጸባዮች:
- A \ B ≠ B \ A.
- A ∪ A′ = U.
- A ∩ A′ = ∅.
- (A′)′ = A.
- A \ A = ∅.
- U′ = ∅ and ∅′ = U.
- A \ B = A ∩ B′.
የAእና የB ሚዛናዊ ውጭ ስብስብ እንዲህ ይተረጎማል።
ለምሳሌ የ {7,8,9,10} እና {9,10,11,12} ሚዛናዊ ውጭ ስብስብ {7,8,11,12} ነው።
እያንዳንዷን የአንድ ስብስብ አባላት ከሌላው ስብስብ አባላት ጋር በማያያዝ አዲስ ስብስብ መፍጠር ይቻላል። የ ስብስብ A እና B ካርቴዥያዊ ብዜት እንዲህ ይወከላል A × B፤ ትርጓሜውም የቅደም ተከተል ጥንዶች(a, b) ስብስብ ሆኖ ሲያበቃ፣ a እዚህ ላይ የስብስብ A አባል ሲሆን b ደግሞ የስብስብ B አባል ነው ማለት ነው።ብብ
ምሳሌ:
- {1, 2} × {ቀይ, ነጭ} = {(1, ቀይ), (1, ነጭ), (2, ቀይ), (2, ነጭ)}.
- {1, 2, green} × {red, white, green} = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green),
(green, red), (green, white), (green, green)}. - {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
መሰርታዊ የካርቴዢያዊ ብዜት ጸባዮች:
- A × ∅ = ∅.
- A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
- (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
A እና B አላቂ ስብስቦች ቢሆኑ የብዛታቸው ጸባይ እንዲህ ነው
- | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
የስብስብ ኅልዮት (ትምህርት) ለሁሉ የሒሳብ ትምህርት መሰረት እንደሆነ ይታመናል። ለምሳሌ አልጀብራ፣ ቡድን ሂሳብ፣ መስክ ሂሳብ፣ ቀለበት ሂሳብ በሙሉ አንድ አይነት ወም ሌላ አይነት ስብስቦች ሲሆኑ የሚለያዩትም በአንድ ወይም በሌላ መተግብሪያ (ኦፕሬሽን) ስር መዘጋታቸው ብቻ ነው። በሌላ ጎን የስብስብ ኅልዮት ለዝምድና ሂሳብ መሰረት ነው። ይሄም ለፈንክሽንና ሌሎች ጽንሰ ሃሳቦች አስፈላጊ ነው።
- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.
- Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4