አስራ ሁለቱ መንገዶች

በሥነ ጥምረት አስራ ሁለቱ መንገዶች የሚባሉት ሁለት አላቂ የሆኑ ስብስቦች የሚዛመዱባቸውን ዓይነቶች ብዛት የሚሰላባቸው መንገዶችን ነው። በዚህ አጠቃላይ መንገድ ውስጥ የድርደራ፣ ስብሰባ፣ አይነት ስብሰብ እና ክፍፍል ቀመሮች ተጠቃለው ይገኛሉ።

በሌላ አኳያ፣ አብዛኞቹ የሥነ ጥምረት ጥያቄዎች "እንዴት የተወሰኑ ኳሶች በተወሰኑ ቁናዎች ውስጥ ሊቀመጡ ይችላሉ?" የሚለውን ጥያቄ ከመመለስ ጋር ትይዩ ናችው። እኒህ የኳስ አከፋፈል ስርዓቶች በሒሳብ ተማሪው ሪቻርድ ስታንሌይ በ12 ተከፍለው በአሁኑ ወቅት አስራ ሁለቱ መንገዶች በመባል ይታወቃሉ። ከታች የሚታየው የቀመር ሰንጠረዝ እንዴት n ኳሶች በ x ቁናዎች ውስጥ ሊከፋፈሉ እንደሚችሉ ያሳየናል። እያንዳንዱ ቀመር የተለያዩ የኳሶቹን፣ የቁናዎቹን ተለየቶ መታወቅ (መሰየም) እና ተለይቶ አለመታወቅ፣ እንዲሁም በቁናዎቹ ውስጥ ስንት ኳስ መቀመጥ እንደሚችል፣ እያዳዱስ ኳስ ስንት ጊዜ መመረጥ እንደሚችል በሚሉት ቅድመ ሁኔታዎች ይወሰናል።

≤1 የሚለው ክፍል የሚወክለው በቁናዎቹ ውስጥ ከ1 በላይ ኳስ ማኖር የተከለከለ መሆኑን ነው (ቢበዛ ቢበዛ 1)። ≥1 የሚለው ክፍል የሚወክለው ማናቸውም ቁናዎች ባዶ መሆን እንደማይችሉ ነው(ቢያንስ ቢያንስ 1)። እንደልብ የሚለው ክፍል በአንጻሩ፣ ማናቸውም ቁጥር ኳሶች በቁናው ውስጥ ሊቀመጡ እንደሚችሉ ነው። ለትንተና እንዲረዳ እያንዳንዱን የአከፋፈል ዘዴ በሦሥት ምልክቶች እንለየዋለን። የተሰየመ ኳስ በ ተ ይወከላል፣ ያልተሰየመ ደግሞ በል ይወከላል። እንደልብ በ♥ ሲወከል፣ ≤1 ደግሞ በ - ፣ ≥1 በ + ይወከላል።

--------

12ቱ የጥምረት ቀመሮች n ኳሶችና x ቁናዎች ቢሰጡ ኳሶቹን በቁናዎቹ ውስጥ በስንት አይነት መንገድ ማስቀመጥ ይቻላል? ኳሶች -n ቁናዎች-x እንደልብ ኳስ በቁና ≤1 ኳስ በቁና ≥1 ኳስ በቁና የተሰየሙ የተሰየሙ ${\displaystyle x^{n}\,}$ ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ ${\displaystyle \textstyle x!\{{n \atop x}\}\,}$ ያልተሰየሙ የተሰየሙ ${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}}$ ${\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}}$ ${\displaystyle {\binom {n-1}{n-x}}}$ የተሰየሙ ያልተሰየሙ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}\left\{{n \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle [n\leq x]}$ ${\displaystyle \left\{{n \atop x}\right\}}$ ያልተሰየሙ ያልተሰየሙ ${\displaystyle p_{x}(n+x)\,}$ ${\displaystyle [n\leq x]}$ ${\displaystyle p_{x}(n)\,}$

2 የተሰየሙ ኳሶችና 3 የተሰየሙ ቁናዎች

ቁና 1	ቁና 2	ቁና 3
a, b
a	b
b	a
a		b
	a, b
	a	b
b		a
	b	a
		a, b

የተሰየመ ኳስ፣ የተሰየመ ቁና፣ እንደልብ (ተ ተ ♥)

የመጀመሪያው ኳስ ካሉት x ቁናወች በአንዱ መቀመጥ ይችላል። ሁለተኛው ኳስ እንዲሁ በx ቁናዎች ውስጥ መቀመጥ ይችላል።..... እስከ .... n ኛው ኳስ በx ቁናዎች ውስጥ መቀመጥ ይችላል። ስለሆነም n ኳሶች እያንዳንዳቸው x ምርጫ ስላላቸው አጠቃላይ የአደላደል መንገዳቸው ${\displaystyle x^{n}\,}$ ነው ማለት ነው።

${\displaystyle x^{n}\,}$
	ልይዩ ኳሶች፣ ልይዩ ቁናዎች፣ እንደልብ ኳስ በቁና

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1ዳቦ፣ 1ኬክ} እቤት ቢኖርዎ፣ {አለሙ፣ አበበ፣ ማሞ፣ ጫላ} ሚባሉ እንግዶች እቤትዎ ቢመጡ፣ ምግቦቹን እንደልብዎ መስጠት ቢፈልጉ፣ በስንት አይነት ይቻላል?

እንጀራውን በ4 አይነት መንገድ መስጠት ይቻላል። ዳቦውንና ኬኩን እንዲሁ። ስለሆነም 4^3 = 64 ዓይነት መንገዶች አሉ ማለት ነው። ለምሳሌ፦ {እንጀራ፣ ዳቦ --> አለሙ፣ ኬክ --> አበበ፣ ምንም --> ማሞ፣ ምንም --> ጫላ}

2 የተሰየሙ ኳሶች, 3 የተሰየሙ ቁናዎች

ቁና 1	ቁና 2	ቁና 3
a	b
a		b
b	a
	a	b
b		a
	b	a

የተሰየመ ኳስ፣ የተሰየመ ቁና፣ ≤1 (ተ ተ -)

ዋና መጣጥፍ፦ ድርደራ

አንድ ቁና ውስጥ ቢበዛ ቢበዛ ከ1 በላይ ኳስ እንዳይቀመጥ ያዛል። ስለሆነም የኳሶቹ ብዛት ከቁናዎቹ ብዛት ወይንም እኩል ነው ወይንም ያንሳል። በተረፈ ኳሶቹም፣ ቁናዎቹም ስለተሰየሙ ተለይተው ይታወቃሉ"" እንግዲህ፣ የመጀመሪያው ኳስ በ x ቁናወች ሊቀመጥ ይችላል፣ ሁለተኛው በ x-1፣ ሦስተኛው በx -2 .... n ኛው በx -n +1 ቁና ሊቀመጥ ይችላል ማለት ነው። ይህ ጉዳይ በሂሳብ ቀመር ሲጻፍ ወዳቂ ፋክቶሪያል ይባላል፣ እርሱም፡

${\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$
	ልይዩ ኳሶች፣ ልይዩ ቁናዎች፣ በቁና ከ1 ኳስ በላይ የማይፈቀድ

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1ዳቦ፣ 1ኬክ} እቤት ቢኖርዎ፣ {አለሙ፣ አበበ፣ ማሞ፣ ጫላ} ሚባሉ እንግዶች እቤትዎ ቢመጡ፣ አንድ ሰው ከአንድ አይነት ምግብ በላይ እንዳይሰጠው ቢከለክሉ፣ እንግዶችዎን በስንት አይነት መንገድ መመገብ ይችላሉ?

ሦስት የተለያዩ የተሰየሙ ነገሮችን ለ4 የተሰየሙ ነገሮች በመስጠት መደርደር ማለት ነው። ስለሆነም ${\displaystyle 4^{\underline {3}}=(4)(3)(2)=24}$

(ማስተዋል፡ ያለወት ምግብ ከእንግዶችዎ ቁጥር በታች ስለሆነ፣ ምንም የማያገኝ ሰው አለ። ነገር ግን አንድ ሰው ከ1 በላይ ምግብ እንዳያገኝ ተከልክሏል። በተረፈ አበበ ኬክ መብላቱና፣ አበበ ዳቦ መብላቱ፣ የተለያዩ ምርጫዎች ተደርገው ይወሰዳሉ)።

2 ያልተሰየሙ ኳሶች, 3 የተሰየሙ ቁናዎች

ቁና 1	ቁና 2	ቁና 3
2 ኳሶች
1 ኳስ	1 ኳስ
1 ኳስ		1 ኳስ
	2 ኳሶች
	1 ኳስ	1 ኳስ
		2 ኳሶች

ያልተሰየሙ ኳሶች፣ የተሰየሙ ቁናዎች፣ እንደልብ (ል ተ ♥)

ዋና መጣጥፍ፦ ስብሰባ#ድግግሞሽ የሚፈቀድበት ምርጫ ቀመር

ኳሶቹ አንድ አይነት ናቸው፣ ምንም ሚለያቸው ነገር የለም። ቁናዎቹ ስም ያላቸውና፣ ስለዚህም ተለይተው ሊታዎቁ ይሚችሉ ናቸው። እያንዳንዱ ቁና ውስጥ የተፈለገውን ያክል ኳስ ማስቀመጥ ይቻላል።

በአይነ ህሊና፣ n ኳሶችን ብናሰልፍ፣ በx ቁናዎች ውስጥ ማስቀመጥ ስላለብን የኳሶቹን ሰልፍ ከx-1 ቦታ ላይ መቆራረጥ ይኖርብናል። ለምሳሌ 7 ኳሶች* ቢሰጡና ከ3ት ልንከፍላቸው ብንፈልግ፣ 2 ቦታ ላይ መጉመድ አለብን፣ ለምሳሌ፦ ***|*|*** (ማለቱ የመጀመሪያው ቁና ውስጥ 3 ኳሶች፣ የሚቀጥለው 1፣ ሚቀጥለው 3)። ከዚህ እንደምንረዳው መጉመጃ መስመሮቹን | እና ኳሶቹን * በተለያየ መልክ በደረደርን ቁጥር አዳዲስ አከፋፈል እናገኛለን። ሆኖም ኳሶቹ አንድ አይነት ስለሆኑ፣ መጉመጃዎቹም አንድ አይነት ስለሆኑ፣ የሚገኘውን የድርደራው ውጤት ለኒህ ማካፈል ግድ ይላል። በሒሳብ ቋንቋ (ኳሶች+ መጉመጃ)! ÷ ((ኳሶች)!(መጉመጃ)!) ነው ማለት ነው። ሆኖም ከላይ እንዳየነው ኳሶች = n -1 ሲሆኑ ፣ መጉመጃ = x -1 ነው። ስለሆነም መልሱ (x+n-1)! ÷ ((n-1)!(x)!) ነው።

በሌላ አቅጣጫ ለማየት፣ n አንድ አይነት ኳሶችን በx ለመክፍል ኳሶቹን ስንት ጊዜ ፈቀቅ ማድረግ ያስፈልጋል? መልሱ x-1 ጊዜ ነው። ስለዚህ ኳሶቹን በተፈለገው መጠን ለመከፋፈል n+x-1 ክፍተት ያስፈልጋል። ከነዚህ ክፍተቶች n ቦታዎች መሰብሰብ ጥያቄውን ይመልሳል። Cn+x-1, n በሒሳብ ቋንቋ፡

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={\frac {(x+n-1)^{\underline {n}}}{n!}}={\frac {(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}}={\binom {x+n-1}{n}}}$
	አንድ አይነት ኳስ፣ ልይዩ ቁና፣ እንደልብ ኳስ በቁና

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1እንጀራ፣ 1እንጀራ}፣ በአጠቃላይ 3 እንጀራዎች እቤት ቢኖርዎ፣ {አለሙ፣ አበበ፣ ማሞ፣ ጫላ} ሚባሉ እንግዶች እቤትዎ ቢመጡ፣ እንጀራወቹን እንደልብዎ መስጠት ቢፈልጉ፣ በስንት አይነት ይቻላል? (ቆርሶ መስጠት ክልክል ነው)

ሶስቱ እንጀራዎች፣ አንዱ ከሌላው ሚለይበት ነገር ስሌላቸው ባልተሰየሙ ኳሶች ይመሰላሉ። 4ቱ እንግዶች በተሰየሙ ቁናዎች ይመሰላሉ፣ ስለዚህ የጥያቄው መልስ

${\displaystyle {\frac {4^{\overline {3}}}{3!}}={\frac {(4+3-1)!}{{(4-1)!}{(3)!}}}=20}$

ስለሆነም በ 3 እንጀራዎች 4 እንግዳዎችን በ20 መንገድ ማስተናገድ ይቻላል። ከነዚህ መንገዶች ለምሳሌ፣ ሁሉንም እንጀራዎች ለአለሙ ሰጥቶ ሌሎቹን በባዶ መሸኘት አንዱ ነው። አንድ አንድ እንጀራ ለ3ቱ መስጠት ሌላው ነው...ወዘተ..።

2 ያልተሰየሙ ኳሶች, 3 የተሰየሙ ቁናዎች

ቁና 1	ቁና 2	ቁና 3
1 ኳስ	1 ኳስ
1 ኳስ		1 ኳስ
	1 ኳስ	1 ኳስ

ያልተሰየመ ኳስ፣ የተሰየመ ቁና፣ ≤ 1 (ል ተ -)

ዋና መጣጥፍ፦ ስብሰባ

ኳሶቹ አንድ አይነት ናቸው፣ ምንም ሚለያቸው ነገር የለም። ቁናዎቹ ስም ያላቸውና፣ ስለዚህም ተለይተው ሊታዎቁ የሚችሉ ናቸው። ቁናዎቹ ውስጥ ቢበዛ ቢበዛ 1 ኳስ ብቻ ማስቀመጥ ይፈቀዳል። ስለዚህ የኳሶቹ ቁጥር ከቁናዎቹ ያንሳል።

እንዲህ ከሆነ ዘንድ፣ ጥያቄው እሚሆነው እንግዲ የትኞቹ x ቁናዎች n ኳሶችን ያገኛሉ ነው። ከስብሰባ ጋር አንድ ነው። ከx ቁናዎች n ዎቹን እንደመሰብሰብ ነው። በሒሳብ ቋንቋ፦

${\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={\frac {x(x-1)\cdots (x-n+2)(x-n+1)}{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}}={\binom {x}{n}}}$
	አንድ አይንት ኳስ፣ ልይዩ ቁና፣ በቁና ከአንድ የምይበልጥ ኳስ

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1እንጀራ፣ 1እንጀራ}፣ በአጠቃላይ 3 እንጀራዎች እቤት ቢኖርዎ፣ {አለሙ፣ አበበ፣ ማሞ፣ ጫላ} ሚባሉ እንግዶች እቤትዎ ቢመጡ፣ እንጀራወቹን በተቻለ መጠን ለማዳረስ በማሰብ ለእያንዳንዱ እንግዳ ከአንድ በላይ እንዳይሰጥ አዘዙ። ሁሉን እንጀራ ለእንግዶችዎ መስጠት ቢፈልጉ፣ በስንት አይነት ይቻላል? (ቆርሶ መስጠት ክልክል ነው)

${\displaystyle {\frac {4^{\underline {3}}}{3!}}={\binom {4}{3}}={\frac {4!}{{3!}{1!}}}=4}$ በአራት አይነት ብቻ ነው ማለት ነው ሊሰተናገዱ የሚችሉት። ለምሳሌ ሶስቱን ለመጀመሪያዎቹ ሶስቶች በመስጠት፣ ወዘተ..።

3 ያልተሰየሙ ኳሶች, 2 የተሰየሙ ቁናዎች

ቁና 1	ቁና 2
1 ኳስ	2 ኳሶች
2 ኳሶች	1 ኳስ

ያልተሰየመ ኳስ፣ የተሰየመ ቁና፣ ≥1 (ል ተ +)

አንድ ቁና ውስጥ ቢያንስ ቢያንስ 1 ኳስ እንዲቀመጥ ያዛል። ስለሆነም የኳሶቹ ብዛት ክቁናዎቹ ወይ እኩል ነው ፣ ወይ ደግሞ ይበልጣል። በተረፈ፣ ኳሶቹ ያልተሰየሙ፣ ተለይተው የማይታወቁ ናቸው። ቁናዎቹ ግን ተለይተው ይታወቃሉ። ስለሆነም አንዱ ጥምረት ከሌላኛው የሚለየው ቁናዎቹ የሚያገኙት ኳስ ብዛት ሲለያይ ብቻ ነው።

በአይነ ህሊና፣ n ኳሶችን ብናሰልፍ፣ በx ቁናዎች ውስጥ ማስቀመጥ ስላለብን የኳሶቹን ሰልፍ ከx-1 ቦታ ላይ መቆራረጥ ይኖርብናል። ለምሳሌ 7 ኳሶች* ቢሰጡ *|*|*|*|*|*|* ከመጉመጃ መስመሮቹ | 2ቱን በመምረጥ፣ ኳሶቹን ከ3 መክፈል ይቻላል፣ ለምሳሌ *^|*|*|*|*^|*|* = {1ኳስ፣ 4ኳስ፣ 3ኳስ}። ከሚታዩት መጉመጃ መስመሮቹ ውስጥ (ቁና-1)ቹን መሰብሰብ እንደማለት ነው። ስለሆነም Cn-1, x-1 ነው። በሒሳብ ቋንቋ፡

${\displaystyle {\binom {n-1}{n-x}}={\binom {n-1}{x-1}}.}$
	አንድ አይነት ኳስ፣ ልይዩ ቁና፣ ከአንድ በላይ ኳስ በቁና

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1እንጀራ፣ 1እንጀራ}፣ በአጠቃላይ 3 እንጀራዎች እቤት ቢኖርዎ፣ {አለሙ፣ አበበ} ሚባሉ 2እንግዶች እቤትዎ ቢመጡ፣ ሁሉም እንግዳ ቢያንስ ቢያንስ 1 እንጀራ በልቶ እንዲሄድ ቢያደርጉ፣ እንግዶችወን በስንት አይነት መንገድ ማስተናገድ ይቻላሉ? (ቆርሶ መስጠት ክልክል ነው፣ ሁሉም እንጀራ ለእንግዶቹ መሰጠት አለባቸው)

${\displaystyle {\binom {3-1}{2-1}}={\frac {2!}{{1!}{1!}}}=2}$ በሁለት አይነት ብቻ ነው ማለት ነው ሊሰተናገዱ የሚችሉት። ሁለቱን ለአለሙ፣ አንዱን ለአበበ። ወይንም አንዱን ለአለሙ፣ አንዱን ለአበበ

3 የተሰየሙ ኳሶች, 2 ያልተሰየሙ ቁናዎች

ቁና	ቁና
a, b	c
a	b, c
a, c	b

የተሰየመ ኳስ፣ ያልተሰየመ ቁና፣ ≥1 (ተ ል +)

አንድ ቁና ውስጥ ቢያንስ ቢያንስ 1 ኳስ እንዲቀመጥ ያዛል። ስለሆነም የኳሶቹ ብዛት ክቁናዎቹ ወይ እኩል ነው ፣ ወይ ደግሞ ይበልጣል። በተረፈ፣ ኳሶቹ የተሰየሙ፣ ተለይተው የሚታወቁ ናቸው። ቁናዎቹ ግን ተለይተው አይታወቁም። ስለሆነም አንዱ ጥምረት ከሌላኛው የሚለየው የኳሶቹ አንድ ላይ መቀመጥ አይነት ሲለያይ ብቻ ነው። የትኛው ቁና ውስጥ የቱ ኳስ ተቀመጠ የሚለው ጥያቄ እርባና የለውም ምክንያቱም ቁናዎቹ ሁሉ አንድ አይነት ናቸው፣ ሚለያቸው ነገር የለም።

በፅሞና ሲስተዋል፣ «ከተሰጠ n የኳስ ስብስብ ውስጥ ስንት ባዶ ያልሆኑ ታህታይ ስብስቦች በተሰጡት ቁናዎች k ልክ መስራት ይቻላል?» ከሚለው ጥያቄ ጋር አንድ አይነት ነው። መልሱ፣ በአጭሩ S(n,x) ነው። S(n,x) ሁለተኛው አይነት የስቴርሊንግ ቁጥር በመባል ይታወቃል፣ ሲነበብም «ከn ውስጥ x ታህታይ ስብስቦች» ማለት ነው። ስቴርሊንግ ቁጥር እንዲህም ተደርጎ ይጻፋል ${\displaystyle \textstyle \{{n \atop x}\}}$ ።

ትርጓሜ፡ ${\displaystyle \textstyle \{{n \atop x}\}}$ ፦ n ነገሮች ወደ ባዶ ያልሆኑ x-ታህታይ ስብስቦች የሚከፈሉባቸው መንገዶች ብዛት ( ለቀመሩ አመጣጥ -- (ተተ+) ተመልከት)።

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\x\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{x!}}\sum _{j=0}^{x}(-1)^{j}{x \choose j}(x-j)^{n}.}$
	n የተሰየሙ ኳሶች፣ x ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ ቢያንስ ቢያንስ አንድ ኳስ በቁና

ወይንም

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\x\end{matrix}}\right\}=x\left\{{\begin{matrix}n-1\\x\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n-1\\x-1\end{matrix}}\right\}}$
	n የተሰየሙ ኳሶች፣ x ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ ቢያንስ ቢያንስ አንድ ኳስ በቁና

ምሳሌ፦

{1ወርቅ፣ 1ብር፣ 1ነሐስ}፣ በአጠቃላይ 3 ዋንጫዎች አሉ፣ አንድ የትምህርት ቤት ዲሬክተር 3ቱን ዋንጫዎች ከሁለት በመክፈል ሽልማት ለማዘጋጀት ፈለገ። በስንት አይነት መንገድ የእጣ ሽልማቱን ማዘጋጀት ይቻላል? (ሽልማቶቹ ባዶ ሊሆኑ አይገባም)

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3}$ በሦስት አይነት ሽልማቱን ማዘጋጀት ይቻላል። {{ወ, ብ}{ነ}}፣ {{ወ} {ብ, ነ}}፣ {{ወ, ነ}{ብ}} ናቸው።

3 የተሰየመ ኳስ, 2 የተሰየመ ቁና

ቁና 1	ቁና
a, b	c
a	b, c
a, c	b
c	a, b
b, c	a
b	a, c

የተሰየመ ኳስ፣ የተሰየመ ቁና፣ ≥1 (ተ ተ + )

አንድ ቁና ውስጥ ቢያንስ ቢያንስ 1 ኳስ እንዲቀመጥ ያዛል። ስለሆነም የኳሶቹ ብዛት ክቁናዎቹ ወይ እኩል ነው ፣ ወይ ደግሞ ይበልጣል። በተረፈ፣ ኳሶቹ የተሰየሙ፣ ተለይተው የሚታወቁ ናቸው። ቁናዎቹም ተለይተው ይታወቃሉ። ስለሆነም አንዱ ጥምረት ከሌላኛው ምንጊዜም ተለይቶ ይታወቃል።

ከላይ እንደተሰጠው (ተ ል +) አይነት ነው። ሆኖም ግን እዚህ ላይ ቁናዎቹ ስለተሰየሙ፣ ይለያያሉ። ስለሆነም መጀመሪያ ቁናዎቹ አልተሰየሙም ብለን የምናገኘውን ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$ ፣ ቁናዎቹን በ k! በማብዛት ቁናዎቹ የተሰየሙ ሲሆኑ የሚገኘውን ብዛት እናገኛለን

${\displaystyle {x!}\left\{{\begin{matrix}n\\x\end{matrix}}\right\}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{k \choose j}(k-j)^{n}}$
	n-የተሰየሙ ኳሶች፣ x-የተሰየሙ ቁናዎች፣ ቢያንስ ቢያንስ 1 ኳስ በቁና

አመጣጡም፡

|(ተተ♥)| = |(ተተ0)| + |(ተተ+)| ማለት ሁሉም ሳጥን ቢያንስ ቢያንስ አንድ ኳስ ካለው፣ የኒህ ሁሉ ጥምረቶች ከቢያንስ ቢያንስ አንዱ ሳጥን ባዶ ከሆነበት ቁጥር ጋር ተደምሮ ክእንደልብ ቁጥር ጋር እኩል ይሆናል ማለት ነው።

|(ተተ+)| = ${\displaystyle x^{n}\,}$ - |(ተተ0)|፣

ነገር ግን (ተተ0) = c(k,1)*(k-1)^n - c(k,2)*(k-2)^n + c(k,3)*(k-3)^n -......-1^j *c(k, j)*(k-j)^n....... -1^(k)c(k,k)*(k-k)^n ፤ በወጋኝና አግላይ መርህ

c(k,j) <--በስንት አይነት የግድ ባዶው የሚሆኑትን ሳጥን እንደምንመርጥ ያሳያል፣ (k-j)^n <--በስንት መንገድ በቀሩት አጥኖች ኳሶቹን እንደልብ እንደምናከፋፍል ያሳያል

|(ተተ+)| = ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{k \choose j}(k-j)^{n}={x!}\left\{{\begin{matrix}n\\x\end{matrix}}\right\}}$

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1ዳቦ፣ 1ኬክ} እቤት ቢኖርዎ፣ {አለሙ፣ አበበ} ሚባሉ እንግዶች እቤትዎ ቢመጡ፣ ሁለቱም ሳይበሉ እንዳይሄዱ ቢፈልጉ፣ እንግዶችዎን በስንት አይነት መንገድ በሶስቱ ምግብዎ መመገብ ይችላሉ (ቆርሶ መስጠት ክልክል ነው) ?

ሦስት የተለያዩ የተሰየሙ ነገሮችን ለ2 የተሰየሙ ነገሮች በመስጠት መደርደር ማለት ነው። ያው ሁሉም ሰዎች ቢያንስ ቢያንስ አንድ አይነት ምግብ መብላት አለባቸው ስለዚህ (ተ ተ +) ነው ማለት ነው። መልሱ እንግዴህ ${\displaystyle {2!}\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=6}$

2 የተሰየመ ኳስ, 3 ያልተሰየመ ቁና

ቁና	ቁና	ቁና
a, b
a	b

የተሰየሙ ኳሶች፣ ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ እንደልብ (ተ ል ♥)

ኳሶቹ ተለይተው ይታወቃሉ። ቁናዎቹ ግን አንድ አይነት ናቸው። በያንዳንዱ ቁና እንደልብ ኳሶች ማስቀመጥ ተፈቅዷል። አንዱ ጥምረት ከሌላው የሚለየው የትኛው ኳስ ከማን ጋር ተቧደነ ? ከሚል ጥያቄ መልስ አንጻር ነው።

ከ (ተል+) አንጻር ባዶ ያልሆኑ x ታህታይ ስብስቦች ከn ኳሶች በS( n, x) ዓይነት መንገድ ይሰራሉ። ነገር ግን በ(ተል♥) የታህታይ ስብስቦቹ ብዛት የግዴታ ከቁናዎቹ ብዛት ጋር አንድ መሆን የለበትም። ስለሆነም ስብስቦቹን ቁጥር ብዛት ከ 1 እስከ x ሊቀያየር ይችላል። በዚህ ምክንያት የእያንዳንዱን የታህታይ ስብስብ ክፍፍል ብዛት በመቁጠር ስንደምር መልሱ ይገኛል ማለት ነው፦ S(n, 1) + S(n, 2) + S(n, 3) + ....+ S(n, x)

${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}\left\{{n \atop k}\right\}}$
	n የተሰየሙ ኳሶች፣ xአንድ አይነት ቁናዎች፣ የፈለጉትን ያክል ኳሶች በቁና

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1ዳቦ፣ 1ኬክ} እቤት ቢኖርዎ፣ ሁለት እንግዶች ሊጠይቁወት እንዲመጡ ቢያውቁ፣ ምግቡን በዕጣ፣ በሽልማት መልክ ለመስጠት ቢፈልጉ፣ በስንት አይነት መንገድ የምግብ ሽልማቱን ማዘጋጀት ይችላሉ ?

ሶስት የተሰየሙ ኳሶችን ለሁለት ያልተሰየሙ ቁናዎች እንደልብ ከማከፋፈል ጋር አንድ ነው። ስለሆነም፣ መልሱ S(3, 1) + S(3, 2) = 1+ 3 = 4

2 የተሰየሙ ኳሶች, 3 ያልተሰየሙ ቁናዎች

ቁና	ቁና	ቁና
a	b

የተሰየሙ ኳሶች፣ ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ ≤1 (ተ ል -)

ኳሶቹ ተለይተው ይታወቃሉ። ቁናዎቹ ግን አንድ አይነት ናቸው። በያንዳንዱ ቁና ከአንድ በላይ ኳስ ማስቀመጥ ክልክል ነው። ስለዚህ የኳሶቹ ብዛት ከቁናዎቹ መብለጥ የለበትም።

ኳሶቹን ለቁናዎቹ ለማከፈፍል፣ እያንዳንዱን ኳስ ቁናው ውስጥ አንድ በአንድ ማስቀመጥ ግድ ይላል። ሆኖም ቁናዎቹ አንድ አይነት ስለሆኑ ኳሶቹ የትም ቁና ቢቀመጡ አንድ አይነት ድርደራ አላቸው። ስለሆነም ኳሶቹ ከቁናው ቁጥር እኩል ወይንም አንስተኛ ሲሆኑ፣ የጥምረቱ ብዛት 1 ይሆናል፣ ከቁናው ቁጥር በላይ ከሆኑ፣ አንዱ ቁና ከአንድ በላይ ኳስ መሸከም ግድ ሊለው ስለሆነ የጥምረቱ ብዛት 0 ይሆናል ማለት ነው።

${\displaystyle [n\leq x]}$ ማለቱ 1 ፣ n≤x ወይንም 0፣ n> x
	n የተሰየሙ ኳሶች፣ x ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ ቢበዛ ቢበዛ 1 ኳስ በቁና

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1ዳቦ፣ 1ኬክ} እቤት ቢኖርዎ፣ ሁለት እንግዶች ሊጠይቁወት እንዲመጡ ቢያውቁ፣ ምግቡን በዕጣ፣ በሽልማት መልክ ለመስጠት ቢፈልጉ፣ በስንት አይነት መንገድ ሁለት የምግብ ሽልማት ማዘጋጀት ይችላሉ ? (በሽልማቶቹ ውስጥ ከአንድ አይነት ምግብ በላይ ማስቀመጥ ክልክል ነው፣ ሁሉም ምግቦች የግዴታ በሽልማቶቹ መካተት አለባቼው)

ሶስት የተሰየሙ ኳሶችን ለሁለት ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ ቢበዛ ቢበዛ አንድ ኳስ በቁና ጋር አንድ ነው። ስለሆነም፣ [3≤2] = 0 ነው። የኳሶቹ (ምግቦቹ) ብዛት ከሽልማቶቹ (ቁናዎቹ) ብዛት በላይ ስለሆነ፣ ሙከራው አይሳካም።

2 የተሰየሙ ኳሶች, 3 ያልተሰየሙ ቁናዎች

ቁና	ቁና	ቁና
1ኳስ	1ኳስ

ያልተሰየሙ ኳሶች፣ ያልተሰየሙ ቁናዎች ፣ ≤1 (ል ል -)

ኳሶቹ ተለይተው አይታወቁም። ቁናዎቹም ተለይተው አይታወቁም። በያንዳንዱ ቁና ከአንድ በላይ ኳስ ማስቀመጥ ክልክል ነው። ስለዚህ የኳሶቹ ብዛት ከቁናዎቹ መብለጥ የለበትም። ከበለጠ የጥምረቱ ብዛት 0 ይሆናል። የኳሶቹ ቁጥር ካነሰ 1 ይሆናል። ከላይ ከተሰጠው (ተ ል - ) ጋር አንድ አይነት ነው።

${\displaystyle [n\leq x]}$ ማለቱ 1 ፣ n≤x ወይንም 0፣ n> x
	n ያልተሰየሙ ኳሶች፣ x ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ ቢበዛ ቢበዛ 1 ኳስ በቁና

3ያልተሰየመ ኳስ , 2 ያልተሰየመ ቁና

ቁና	ቁና
1 ኳስ	2 ኳሶች

ያልተሰየሙ ኳሶች፣ ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ ≥1 ( ል ል + )

ኳሶቹ ተለይተው አይታወቁም። ቁናዎቹም ተለይተው አይታወቁም። እያንዳንዱ ቁና ባዶ ሊሆን ክልክል ነው። ስለዚህ የኳሶቹ ብዛት ከቁናዎቹ መብለጥ አለበት።

የኳሶቹ ብዛት ከቁናዎቹ ከበለጠ፣ እያንዳንዱ ጥምረት የሚለየው እንግዲህ ስንት ስንት ኳሶችን እንዳቧደንን መለየት ስንችል ነው። ይሄ ደግሞ የተሰጠን ኤንቲጀር ከመከፋፈል ጋር አንድ አይነት ጥያቄ ነው። መልሱ በሒስብ ቋንቋ ${\displaystyle p_{x}(n)\,}$ ሲሆን፣ ትርጓሜውም ቁጥር n ን ለx ክፍሎች ማከፋፈያ መንገዶች ወይንም ቁጥር n ን በx የተለያዩ ፖዚቲቭ ኢንቲጀሮች የመጻፊያ ዘዴ ብዛት ማለት ነው ። ለምሳሌ 8 = 1+1+2+4 = . +. + ፡ + ፡፡

${\displaystyle p_{x}(n)\,=p_{x}-1(n-1)+p_{x}(n-x)}$
	n ያልተሰየሙ ኳሶች፣ x ይልተሰየሙ ቁናዎች፣ ቢያንስ ቢያንስ 1 ኳስ በቁና

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1እንጀራ፣ 1እንጀራ፣ 1 እንጀራ} እቤት ቢኖርዎ፣ 2 ሽልማቶች ለማዘጋጀት ቢፈልጉ፣ ሁሉም ሽልማትዎ ቢያንስ ቢያንስ አንድ እንጀራ እንዲኖረው ቢገደድ፣ በስንት መንገድ ሽልማት ማዘጋጀት ይችላሉ?

${\displaystyle p_{2}(4)\,=2}$ ይሄውም 1+3 እና 2+2 ናቸው።

2 ያልተሰየመ ኳስ, 3ያልተሰየመቁና

ቁና	ቁና	ቁና
1 ኳስ	1 ኳስ
2 ኳስ

ያልተሰየሙ ኳሶች፣ ያልተሰየሙ ቁናዎች፣ እንደልብ (ል ል ♥)

በቁና 1 ኳስ የሚያስገድደውን የላይኛውን (ልል+) ብንተው፣ ባዶ ያልሆኑት ቁናዎች ከ1 ጀምሮ እስከ x ድረስ ይደርሳሉ። ስለሆነም የ(ልል+) ቀመር በመጠቀም፣ n አንድ አይነት ኳሶችን በx አንድ አይነት ቁናወች ለማከፋፈል፣ አጠቃላይ የመንገዱ ብዛት ${\displaystyle p_{1}(n)+p_{2}(n)+...+p_{x}(n)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)}$
	n አንድ አይነት ኳሶች፣ x አንድ አይነት ቁናዎች፣ የፈለጉትን ያክል ኳሶች በቁና

ምሳሌ፦

{1እንጀራ፣ 1እንጀራ፣ 1እንጀራ፣ 1 እንጀራ} እቤት ቢኖርዎ፣ 2 ሽልማቶች ለማዘጋጀት ቢፈልጉ፣ በሽልማቶችዎ የፈለጉትን ያክል እንጀራ መጠቀም ቢችሉ፣ በስንት መንገድ ሽልማት ማዘጋጀት ይችላሉ?

${\displaystyle p_{1}(4)+p_{2}(4)=3}$ እነርሱም፦ 0+4፣ 1+3፣ 2+2