ثبات المجال

بيرتوس براور صاحب النظرية

ثبات المجال، هو عبارة عن نظرية في الطوبولوجيا حول المجموعات الجزئية المتطابقة من الفضاء الإقليدي ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. وينص على:

إذا كانت ${\displaystyle U}$ مجموعة فرعية مفتوحة من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ وكانت ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ خريطة دالة مستمرة متباينة، إذن ${\displaystyle V:=f(U)}$ تكون مفتوحة في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، و ${\displaystyle f}$ هي تماثل بين ${\displaystyle U}$ و ${\displaystyle V}$.

يرجع الفضل في النظرية وبرهانها إلى لويتسن براور، والتي نُشرت في عام 1912.^[1] والبرهان يستخدم أدوات الطوبولوجيا الجبرية، ولا سيما نظرية النقطة الثابتة لبراور.

ملحوظات

من الممكن صياغة استنتاج النظرية بشكل مكافئ على النحو التالي: ${\displaystyle f}$ " عبارة عن خريطة مفتوحة ".

وعادة، من أجل التحقق من أن ${\displaystyle f}$ عبارة عن تماثل شكلي، يجب على المرء أن يتحقق من أن كل من ${\displaystyle f}$، ودالتها العكسية ${\displaystyle f^{-1}}$ متصلة ومستمرة؛ تنص النظرية على أنه: إذا كان المجال عبارة عن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، والصورة موجودة أيضا في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، إذن استمرارية ${\displaystyle f^{-1}}$ هو أمر تلقائي. بالإضافة إلى ذلك، ترى النظرية أنه إذا كانت مجموعتان فرعيتان ${\displaystyle U}$ و ${\displaystyle V}$ من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ متماثلتان في الشكل، و ${\displaystyle U}$ مفتوحة ؛ إذن ${\displaystyle V}$ يجب أن تكون مفتوحة أيضًا. (لاحظ أن ${\displaystyle V}$ مفتوحة كمجموعة فرعية من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ وليس فقط في طوبولوجيا الفضاء الفرعي. وانفتاح ${\displaystyle V}$ في طوبولوجيا الفضاء الفرعي هو أمر تلقائي) كلا العبارتين ليس واضحًا على الإطلاق، ولا تكونان صحيحتين بشكل عام إذا تركنا الفضاء الإقليدي.

خريطة لا تمثل تماثلاً لصورتها: ${\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$ مع ${\displaystyle g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right).}$

من الأهمية بمكان أن يكون كل من المجال والصورة ${\displaystyle f}$ توجد في الفضاء الإقليدي على نفس البعد. خذ على سبيل المثال الخريطة ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$، تم تعريفها بواسطة ${\displaystyle f(t)=(t,0).}$ هذه الخريطة متباينة ومتواصلة، والمجال عبارة عن مجموعة فرعية مفتوحة من ${\displaystyle \mathbb {R} }$، ولكن الصورة ليست مفتوحة في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$.

مثال آخر أكثر قوة يتمثل في: الخريطة ${\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$، والتي تم تعريفها بواسطة ${\displaystyle g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right)}$ ، لأن ${\displaystyle g}$ هنا متباينة ومستمرة، غير أنها لا تقدم حتى تماثلًا لصورتها.

والنظرية ليست صحيحة عمومًا في الأبعاد الانهائية. فعلى سبيل المثال، خذ في الاعتبار فضاء باناخ L^p ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ من كل المتتاليات الحقيقية المحدودة. يُعرِّف ${\displaystyle f:\ell ^{\infty }\to \ell ^{\infty }}$ كالتحول ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)=\left(0,x_{1},x_{2},\ldots \right).}$، إذن ${\displaystyle f}$ تكون متباينة ومستمرة، والمجال مفتوح في ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$، إلا أن الصورة ليست كذلك.

عواقب

إحدى النتائج المهمة لنظرية ثبات المجال تتمثل في أن ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، لا يمكن أن تكون متماثلة مع ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ إذا كان ${\displaystyle m\neq n}$ في الواقع، وفي هذه الحالة لا توجد مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ يمكن أن تكون متماثلة مع أي مجموعة فرعية مفتوحة من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

التعميمات

من الممكن تعميم نظرية ثبات المجال على فضاء متعدد الشعب: حيث ${\displaystyle M}$ و ${\displaystyle N}$ عبارة عن متشعبات طوبولوجية n بدون حدود، و ${\displaystyle f:M\to N}$ هي خريطة مستمرة محليًا واحدًا لواحد (بمعنى أن كل نقطة في ${\displaystyle M}$ لديه جوار مثل هذا ${\displaystyle f}$ التي تقتصر على هذا الجوار تكون متباينة)، إذن ${\displaystyle f}$ هي خريطة مفتوحة (بمعنى أن ${\displaystyle f(U)}$ مفتوح في ${\displaystyle N}$، حينما تكون${\displaystyle U}$ مجموعة فرعية مفتوحة من ${\displaystyle M}$ ) ومتماثلة محليًا .

وهناك أيضًا تعميمات لأنواع معينة من الخرائط المستمرة من فضاء باناخ إلى نفسه.^[2]

انظر ايضًا

• دالة متباينة.
• دالة مستمرة.
• فضاء باناخ.
• فضاء إقليدس.

المراجع

1. Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des ${\displaystyle n}$-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; see also 72 (1912), pages 55–56
2. Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach. C. R. Acad. Sci. Paris, 200 (1935) pages 1083–1093

1. Bredon، Glen E. (1993). Topology and geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ج. 139. ISBN:0-387-97926-3. MR:1224675.
2. Cao Labora، Daniel (2020). "When is a continuous bijection a homeomorphism?". Amer. Math. Monthly. ج. 127 ع. 6: 547–553. DOI:10.1080/00029890.2020.1738826. MR:4101407. S2CID:221066737.
3. Cartan, Henri (1945). "Méthodes modernes en topologie algébrique". Comment. Math. Helv. (بالفرنسية). 18: 1–15. DOI:10.1007/BF02568096. MR:0013313. S2CID:124671921.
4. Deo، Satya (2018). Algebraic topology: A primer. Texts and Readings in Mathematics (ط. Second). New Delhi: Hindustan Book Agency. ج. 27. ISBN:978-93-86279-67-5. MR:3887626.
5. Dieudonné, Jean (1982). "8. Les théorèmes de Brouwer". Éléments d'analyse. Cahiers Scientifiques (بالفرنسية). Paris: Gauthier-Villars. Vol. IX. pp. 44–47. ISBN:2-04-011499-8. MR:0658305.
6. Hirsch، Morris W. (1988). Differential Topology. New York: Springer. ISBN:978-0-387-90148-0. (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
7. Hilton، Peter J.؛ Wylie، Shaun (1960). Homology theory: An introduction to algebraic topology. New York: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN:0521094224. MR:0115161.
8. Hurewicz، Witold؛ Wallman، Henry (1941). Dimension Theory. Princeton Mathematical Series. دار نشر جامعة برنستون. ج. 4. MR:0006493.
9. Kulpa، Władysław (1998). "Poincaré and domain invariance theorem" (PDF). Acta Univ. Carolin. Math. Phys. ج. 39 ع. 1: 129–136. MR:1696596.
10. Madsen، Ib؛ Tornehave، Jørgen (1997). From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN:0-521-58059-5. MR:1454127.
11. Munkres، James R. (1966). Elementary differential topology. Annals of Mathematics Studies (ط. Revised). دار نشر جامعة برنستون. ج. 54. MR:0198479.
12. Spanier، Edwin H. (1966). Algebraic topology. New York-Toronto-London: McGraw-Hill.
13. Tao، Terence (2011). "Brouwer's fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert's fifth problem". terrytao.wordpress.com. مؤرشف من الأصل في 2013-09-03. اطلع عليه بتاريخ 2022-02-02.

• بوابة رياضيات