طريقة غاوس-زايدل

في الجبر الخطي العددي، طريقة غاوس-زايدل المعروفة أيضًا بطريقة ليبمان، هي طريقة تكرارية تستخدم في حل نظم المعادلات الخطية. وسميت على اسم عالمي الرياضيات الألمانيين كارل فريدريش غاوس وفيليب لودفيش فون زايدل. وذكرت فقط في رساله خاصة من غاوس إلى تلميذه كريستيان غيرلنغ عام 1823.^[1] لكنها لم تنشر إلا من قبل زايدل عام 1874.

الوصف

تعتمد طريقة غاوس زايدل على أسلوب التكرار لحل معادلات خطية عددها n بمجهول x.

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

وتعرّف بالتكرار:

${\displaystyle L_{*}\mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)},}$

بحيث: ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$ هو التكرار أو التقريب رقم k لـ${\displaystyle \mathbf {x} ,\,\mathbf {x} ^{k+1}}$ هو التكرار رقم k + 1 لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

وبالتفصيل:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle A=L_{*}+U\qquad {\text{where}}\qquad L_{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\quad U={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}.}$

ومن ثم يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كما يلي:

${\displaystyle L_{*}\mathbf {x} =\mathbf {b} -U\mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=L_{*}^{-1}(\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)}).}$

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j<i}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j>i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i,j=1,2,\ldots ,n.}$^[2]

مثال

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}16&3\\7&-11\\\end{bmatrix}}}$ و ${\displaystyle b={\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}}$

نحتاج لاستخدام المعادلة

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=L_{*}^{-1}(\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)})}$

في صورة

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=T\mathbf {x} ^{(k)}+C}$

حيث:

${\displaystyle T=-L_{*}^{-1}U}$ و${\displaystyle C=L_{*}^{-1}\mathbf {b} .}$

يجب أن نحلل المصفوفة ${\displaystyle A_{}^{}}$ إلى مجموع ${\displaystyle L_{*}^{}}$ و${\displaystyle U_{}^{}}$:

${\displaystyle L_{*}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\\\end{bmatrix}}}$ و${\displaystyle U={\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}.}$

ومعكوس ${\displaystyle L_{*}^{}}$ هو:

${\displaystyle L_{*}^{-1}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\\\end{bmatrix}}}$.

نستطيع الآن إيجاد:

${\displaystyle T=-{\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}.}$

بذلك نكون قد حصلنا على ${\displaystyle T_{}^{}}$ و${\displaystyle C_{}^{}}$

نفرض:

${\displaystyle x^{(0)}={\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}.}$

ثم يمكننا أن نحسب:

${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(3)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(4)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(5)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(6)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(7)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

وبذلك تكون قيمة x:

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

اقرأ أيضا

• الرقم الصغير.
• عدد غير أولي.
• معادلة xʸ=yˣ.
• الأس العشري.
• معادلات نيوتن-أويلر.

مراجع

1. Gauss 1903، صفحة 279; direct link. نسخة محفوظة 21 أبريل 2017 على موقع واي باك مشين.
2. Golub & Van Loan 1996، eqn (10.1.3).

• بوابة تحليل رياضي