مترية رايسنر-نوردستروم

في الفيزياء وعلم الفلك، مترية رايسنر-نوردستروم (بالإنجليزية: Reissner–Nordström metric)‏ هي حل ساكن لمعادلات حقل أينشتاين-ماكسويل، والتي تتطابق مع مجال جاذبية جسم كتلته M غير مشحون وغير دوّار ومتناظر كروياً.

اكتشف المترية كل من هانز رايسنر^[1] وغونار نوردستروم.^[2]

المترية

بتعيين إحداثيات كروية (t, r, θ, φ)، يكون عنصر المستقيم لمترية رايسنر-نزردستروم:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\,d\Omega _{(2)}^{2},}$

حيث c هي سرعة الضوء، و t إحداثي الزمن (مقاساً بساعة ساكنة عند اللانهاية)، r هو الإحداثي الشعاعي، ${\displaystyle \textstyle d\Omega _{(2)}^{2}}$ هو كرة محددة بالعلاقة:

${\displaystyle d\Omega _{(2)}^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

حيث r_S هو نصف قطر شفارتزشايلد لجسم معطى:

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

وتمثل r_Q هي مقياس طول يعطى بالعلاقة:

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$

حيث 1/4πε₀ هو ثابت قوة كولوم.

عملياً فإن النسبة ${\displaystyle {r_{S} \over r}}$ غالباً ما تكون صغيرة جداً. على سبيل المثال نصف قطر شفارتزشايلد للأرض هو تقريباً يساوي 9 مم (3/8 إنش)، حيث قمر صناعي في مدار أرضي جغرافي متزامن له نصف القطر r وهو تقريباً أربعة مليارات أكبر وذلك عند 42,164 كم (26,200 ميل). حتى على سطح الأرض فالتصحيحات للجاذبية النيوتونية هي فقط جزء واحد من مليار. أما عند الأجسام عالية الكثافة مثل الثقوب السوداء والنجوم النيوترونية فعندها تصبح النسبة فقط أكبر.

الثقوب السوداء المشحونة

رغم أن الثقوب السوداء المشحونة المحققة للشرط r_Q ≪ r_s تتشابه مع ثقوب شوارتزشايد السوداء، إلّا أنه لديها أفقين: أفق الحدث وأفق كوشي داخلي.^[3] مثل مترية شوارتزشايد، تقع أفاق الحدث للزمكان حيث مكون المترية g^rr يتباعد وذلك حيث:

${\displaystyle 0={\frac {1}{g^{rr}}}=1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}.}$

إن لهذه المعادلة حلين:

${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}$

تصبح أفاق الحدث المتمركزة هذه منفطرة عند تحقيقها 2r_Q = r_s وهو ما يقابله ثقب أسود أقصى. لا يمكن للثقوب السوداء المحققة للشرط 2r_Q > r_s أن توجد في الطبيعة لأن كون الشحنة أكبر من الكتلة يمنع وجود أفق حدث فيزيائي^[4] (يصبح الحد تحت الجذر التربيعي سالباً). من الممكن للأجسام ذات الشحنة الأكبر من كتلتها أن توجد في الطبيعة، لكنها لا يمكن لها الانهيار إلى ثقب أسود، وإذا استطاعت ذلك فإنها ستؤدي إلى تفرد مجرد.^[5] عادةً ما تضمن نظريات التناظر الفائق عدم وجود مثل هذه الثقوب السوداء «البالغة لحدودٍ قصوى».

بحساب الكمون الكهرومغناطيسي:

${\displaystyle A_{\alpha }=\left(Q/r,0,0,0\right).}$

في حال تضمين أحاديات القطب المغناطيسية في النظرية، فإنه يمكن إيجاد تعميم لتضمين الشحنة المغناطيسية P باستبدال Q² بـ Q² + P² في المترية وتضمين الحد Pcos θ dφ في الكمون الكهرومغناطيسي.^{[بحاجة لتوضيح]}

إبطاء الزمن الثقالي

يُعطى الإبطاء الزمني الثقالي في جيرة الجسم المركزي بالعلاقة:

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}}}$

المتعلقة بسرعة الإفلات الموضعية نصف القطرية لجسيم محايد

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}}$.

رموز كريستوفل

تُحسب رموز كريستوفل كما يلي:

${\displaystyle {\Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {{g}^{is}}{2}}\left({\frac {\partial {g}_{sj}}{\partial {x^{k}}}}+{\frac {\partial {g}_{sk}}{\partial {x^{j}}}}-{\frac {\partial {g}_{jk}}{\partial {x^{s}}}}\right)}}$

مع الأدلَّة:

${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \phi \}}$

وبكتابة التعابير الرياضية غير المعدومة:

${\displaystyle \Gamma _{10}^{0}={\frac {Mr+Q^{2}}{r\left(r(r-2M)-Q^{2}\right)}}}$

${\displaystyle \Gamma _{00}^{1}={\frac {\left(Mr+Q^{2}\right)\left(r(2M-r)+Q^{2}\right)}{r^{5}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{11}^{1}={\frac {Mr+Q^{2}}{2Mr^{2}+Q^{2}r-r^{3}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=2M-{\frac {Q^{2}}{r}}+r}$

${\displaystyle \Gamma _{33}^{1}={\frac {\sin ^{2}\theta \left(r(r-2M)-Q^{2}\right)}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=r^{-1}}$

${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta }$

${\displaystyle \Gamma _{31}^{3}=r^{-1}}$

${\displaystyle \Gamma _{32}^{3}=\cot \theta }$

وبعد استخراج رموز كريستوفل يمكن حساب جيوديسيات جسيم الاختبار.^[6][7]

مراجع

1. Reissner, H. (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie". Annalen der Physik (بالألمانية). 50: 106–120. Bibcode:1916AnP...355..106R. DOI:10.1002/andp.19163550905.
2. Nordström، G. (1918). "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory". Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam. ج. 26: 1201–1208.
3. Chandrasekhar، S. (1998). The Mathematical Theory of Black Holes (ط. Reprinted). Oxford University Press. ص. 205. ISBN:0-19850370-9. مؤرشف من الأصل في 2013-04-29. اطلع عليه بتاريخ 2013-05-13. And finally, the fact that the Reissner-Nordström solution has two horizons, an external event horizon and an internal 'Cauchy horizon,' provides a convenient bridge to the study of the Kerr solution in the subsequent chapters.
4. Andrew Hamilton: The Reissner Nordström Geometry (Casa Colorado) نسخة محفوظة 28 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
5. Brandon Carter. Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields, Physical Review, page 174 نسخة محفوظة 6 يوليو 2020 على موقع واي باك مشين.
6. Leonard Susskind: The Theoretical Minimum: Geodesics and Gravity, (General Relativity Lecture 4, timestamp: 34m18s) نسخة محفوظة 18 أكتوبر 2017 على موقع واي باك مشين.
7. Eva Hackmann, Hongxiao Xu: Charged particle motion in Kerr-Newmann space-times نسخة محفوظة 16 سبتمبر 2017 على موقع واي باك مشين.

وصلات خارجية

• spacetime diagrams including Finkelstein diagram and Penrose diagram, by Andrew J. S. Hamilton
• "جسيم يتحرك حول ثقبين أسودين هائلين" على موقع مشروع وولفرام. (بالإنجليزية)

• بوابة الفيزياء
• بوابة علم الفلك