اقتصار (رياضيات)

الدالة ${\displaystyle x^{2}}$ ليس لديها دالة عكسية على المجال ${\displaystyle .\mathbb {R} }$ إذا قمنا باقتصار ${\displaystyle x^{2}}$ على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة، عندها يكون لها دالة عكسية، المعروفة بأسم الجذر التربيعي لـ${\displaystyle x}$.

في الرياضيات، اقتصار دالة ${\displaystyle f}$ ^[1] هي دالة جديدة يرمز لها بـ ${\displaystyle f\vert _{A}}$ أو ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}$، يُحْصَلُ عليها من خلال اختيار أصغر مجال للدالة الأصلية ${\displaystyle f}$.

تعريف

بفرض أن ${\displaystyle f:E\to F}$ هي دالة من مجموعة ${\displaystyle E}$ لمجموعة ${\displaystyle F}$، وإذا كانت المجموعة ${\displaystyle A}$ هي مجموعة فرعية من ${\displaystyle E}$، فإن اقتصار ${\displaystyle f}$ على ${\displaystyle A}$ هي الدالة:^[2]$${\displaystyle {f|}_{A}:A\rightarrow F}$$حيث ${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$ لكل قيم ${\displaystyle x\in A}$، بمعنى أن اقتصار ${\displaystyle f}$ على ${\displaystyle A}$ هي نفس الدالة ${\displaystyle f}$، ولكن معرفة فقط على ${\displaystyle A}$.

إذا نظرنا للدالة ${\displaystyle f}$ على أنها علاقة رياضية ${\displaystyle (x,f(x))}$ في الجداء الديكارتي ${\displaystyle E\times F}$، فإن اقتصار ${\displaystyle f}$ على ${\displaystyle A}$ يمكن تمثيله بالرسم البياني الخاص بها ${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$ حيث العلاقة ${\displaystyle (x,f(x))}$ تمثل الأزواج المرتبة في الرسم البياني ${\displaystyle .G}$

امتدادات

يُقال أن دالة ${\displaystyle F}$ امتداد ( باللغة الأنجليزية "extension") دالة أخرى ${\displaystyle f}$ إذا كان في كل مرة تكون ${\displaystyle x}$ في مجال ${\displaystyle f}$، فإنها أيضا في مجال ${\displaystyle F}$ و ${\displaystyle f(x)=F(x)}$. تحديدًا إذا كانت ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ و ${\displaystyle .F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f}$

الامتداد الخطي (باللغة الأنجليزية "linear extension" وأيضًا الامتداد المستمر) للدالة ${\displaystyle f}$ هو تحويل خطي لـ ${\displaystyle f}$ (وأيضًا تحويل مستمر).

أمثلة

1. اقتصار الدالة الغير متباينة ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ على المجال ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ هو التباين ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$.
2. دالة المضروب تنتج من اقتصار الدالة غاما على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة لأننا نطرح 1 من ${\displaystyle n}$ ، أي: ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$.

خصائص الاقتصار

• اقتصار دالة ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ على المجال بأكمله ${\displaystyle X}$ يعيد إلى الدالة الأصلية، أي ${\displaystyle f|_{X}=f}$ .
• اقتصار دالة مرتين هو نفسه اقتصارها مرة واحدة، أي إذا كان ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f}$ ، فإنّ:${\displaystyle (f|_{B})|_{A}=f|_{A}}$ .
• اقتصار الدالة المحايدة المعرفة على مجموعة ${\displaystyle X}$ على مجموعة فرعية ${\displaystyle A}$ من ${\displaystyle X}$ هو مجرد تباين قانوني من ${\displaystyle A}$ إلى ${\displaystyle .X}$^[3]
• اقتصار دالة مستمرة هو عبارة عن دالة مستمرة.^[4][5]

تطبيقات

دوال عكسية

المقالة الرئيسة: دالة عكسية

لكي يكون لـ الدالة ${\displaystyle f}$ دالة عكسية، يجب أن تكون تقابلية، وإذا لم تكن f كذلك، يمكن تحديد دالتها العكسية عن طريق اقتصارها (تقييدها) على جزء من المجال.

على سبيل المثال، دالة ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$المُعرّفة عموماً على ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ليست تقابلية لأن ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ وذلك لكل ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle .\mathbb {R} }$

ومع ذلك، تصبح الدالة ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ تقابلية إذا اقتصرنا على المجال ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty [}$، في هذه الحالة

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

ملاحظة:

إذا كنا نود أن نقتصر على المجال ${\displaystyle ]-\infty ,0]}$، فإن دالتها العكسية ستكون( ${\displaystyle -{\sqrt {y}}}$) بدلًا من ذلك، ليست هناك حاجة لاقتصار المجال إذا كنا لا نريد إيجاد الدالة العكسية كونها دالة متعددة القيم.

اختيار المؤثرات

الحزم

المقالة الرئيسة: حزمة (رياضيات)

انظر أيضاً

• قيد
• انكماش تشويهي
• علاقة ثنائية

مراجع

1. ترجمة و معنى restriction في قاموس المعاني. قاموس عربي انجليزي نسخة محفوظة 3 يناير 2020 على موقع واي باك مشين.
2. Stoll، Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (ط. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman and Company. ص. [36]. ISBN:0-7167-0457-9.
3. Halmos، Paul (1960). Naive Set Theory  ^{[لغات أخرى]}‏. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ردمك 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (ردمك 978-1-61427-131-4) (Paperback edition).
4. Munkres، James R. (2000). Topology (ط. 2nd). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN:0-13-181629-2.
5. Adams، Colin Conrad؛ Franzosa، Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN:978-0-13-184869-6.

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات