حالة غير قابلة للتبسيط (معادلات تكعيبية)

في الجبر وبالتحديد في إطار محاولات حلحلة المعادلات التكعيبية، حالة غير قابلة للتبسيط (باللاتينية: Casus irreducibilis) (بالإنجليزية: The irreducible case)‏ ، هي حالة من الحالات اللائي يظهرن أثناء حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة أو أكبر من ذلك بمعاملات صحيحة من أجل الحصول على أصفار لهذه المعادلة عُبر عنهن باستعمال الجذور النونية.

الحالات الثلاث للمميز

لتكن المعادلة

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

• المميز أكبر قطعا من الصفر
• المميز أصغر قطعا من الصفر
• المميز يساوي الصفر

النص الرسمي والبرهان

ليكن ${\displaystyle K}$ حقلا ولتكن ${\displaystyle P\in K\!\left[X\right]}$ متعددة حدود من الدرجة الثالثة، غير قابلة للاختزال على K، ولكنها تملك ثلاث جذور حقيقية (جذور تنتمي إلى الحقل المغلق الحقيقي ل K). إذن، الحالة غير القابلة للتبسيط تتمثل في كون التعبير عن جذور هذه المتعددة للحدود بواسطة الجذور، أمرا مستحيلا.

من أجل البرهان على ذلك، ينبغي الإشارة إلى أن المميز ${\displaystyle \Delta }$ هو عدد موجب. نشكل إذن، امتداد الحقل ${\displaystyle K\!\left({\sqrt {D}}\right)}$

انظر إلى زمرة غالوا وإلى حقل مرتب وإلى امتداد أبيلي وإلى حقل شاطر.

${\displaystyle F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})}$

الحلول المثلثية بدلالة كميات حقيقية

${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$

العلاقة مع تثليث الزاوية

${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.}$

${\displaystyle -4y^{3}+3y-\sin(\theta )=0.}$

انظر أيضا

• دالة جبرية
• دالة متسامية

مراجع

وصلات خارجية

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات