زمرة جزئية

زمرة جزئية

معلومات عامة

صنف فرعي من	زمرة submonoid ^(en) مجموعة مشاركة
جزء من	نظرية الزمر

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

الزمرة الجزئية (بالإنجليزية: Subgroup)‏ هي المجموعة الجزئية ${\displaystyle H\!}$ من عناصر الزمرة ${\displaystyle G\!}$ التي تحقق بديهيات الزمر الأربع، وبالتالي يجب أن تضم العنصر المحايد. للتعبير عن جزئية زمرة من أخرى، يُقال شفهيًّا "${\displaystyle H\!}$ هي زمرة جزئية من ${\displaystyle G\!}$"، وتُكتب رمزيًّا ${\displaystyle H\!\subseteq G\!}$، وتُكتب أحيانًا ${\displaystyle H\!\leq G\!}$. يجب أن تكون رتبة الزمرة الجزئية من الزمرة التي رتبتها ${\displaystyle h}$ عددا قاسمًا لـ${\displaystyle h}$. ويُقال على الزمرة الجزئية ${\displaystyle H\!}$ التي لا تضم كل عناصر الزمرة ${\displaystyle G\!}$ أنها زمرة جزئية فعلية، ويُرمز لهذه العلاقة بـ${\displaystyle H\!\subset G\!}$ أو ${\displaystyle H\!<G\!}$.^[1]

زمرة جزئية طبيعية

في الرياضيات، تكون N زمرة جزئية طبيعية من الزمرة G إذا كانت زمرة جزئية غير متباينة invariant بالنسبة لعملية الترافق conjugation.

من أجل كل عنصر n من N وكل عنصر g من G فإن العنصر g⁻¹ng يبقى موجودا ضمن N.

يمكن كتابة عبارة (N مجموعة جزئية طبيعية من G) كما يلي :

${\displaystyle N\triangleleft G}$.

المجموعات المشاركة ومبرهنة لاغرانج

المقالات الرئيسة: مجموعة مشاركة ومبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)

هي الزمرة ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$, مكونة من الأعداد الطبيعية بتردد 8 تحت عملية الجمع. الزمرة الجزئية H تحتوي على العنصرين 0 و4 فقط وهي في تقابل مع ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. هناك أربع مجموعات مشاركة يسارية للزمرة H: H ذاتها و 1+H و 2+H و 3+H (كُتبن في ترميز جمعي بما أن الزمرة ذاتها هي زمرة أبيلية). جميعهن يجزئن الزمرة G كلها إلى مجموعات جزئية متساوية من حيث عدد العناصر ومنعزلات بعضهن عن البعض. إذن، مؤشر [G: H] هو 4.

تنص مبرهنة لاغرانج على أنه كانت G زمرة منتهية وH زمرة جزئية منها فإن :

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

حيث |G| و |H| يشيران إلى رتبة الزمرتين G و H على التوالي. وبشكل خاص، رتبة كل عنصر من الزمرة G هو قاسم لرتبها. انظر إلى زمرة جزئية نظامية.

شبه الزمرة الجزئية

في الرياضيات، شبه الزمرة الجزئية للزمرة G ، هي مجموعة جزئية من G تحقق كونها نصف زمرة semigroup مغلقة بالنسبة للجداء في هذه الزمرة.

انظر أيضا

• اختبار الزمرة الجزئية

مصادر

1. إيريك ويستاين، Subgroup، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• بوابة جبر