زمن محلي (رياضيات)

نهج بسيط لعملية ايتو Itō process مع سطح أزمنتها المحلية.

في النظرية الرياضياتية للعمليات العشوائية, يكون الزمن المحلي (بالإنجليزية: local time)‏ هو عبارة عن خاصية لعملية الانتشار مثل الحركة البراونية التي تميز الزمن التي تقضيها الجسيم عند مستوى معين. الزمن المحلي مفيد جداً و تظهر في الغالب في الصيغ التكاملية العشوائية المختلفة إذا كانت الكميّة المتكاملة سلسة بشكل صحيح, مثل ما هو موجود في صيغة تاناكا Tanaka's formula.

رسمياً, تعريف الزمن المحلي هو

${\displaystyle \ell (t,x)=\int _{0}^{t}\delta (x-b(s))\,ds}$

حيث أن ${\displaystyle b(s)}$ هي عملية الانتشار و ${\displaystyle \delta }$ هي دالة ديراك دلتا Dirac delta function. و هي فكرة من اختراع باول بيار ليفي Paul Pierre Lévy. الفكرة الأساسية هي أن ${\displaystyle \ell (t,x)}$ هي مقياس (متغير) للمدة التي أستهلكتها ${\displaystyle b(s)}$ عند ${\displaystyle x}$ اعتماداً على الزمن ${\displaystyle t}$. يمكن أن تُكتب بهذه الصيغة

${\displaystyle \ell (t,x)=\lim _{\epsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\epsilon }}\int _{0}^{t}1\{x-\epsilon <b(s)<x+\epsilon \}ds,}$

التي تشرح لماذا تسمى بالزمن المحلي للقيمة ${\displaystyle b}$ عند ${\displaystyle x}$.

انظر أيضًا

• حركة براونية,

المراجع

• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8 .

• بوابة رياضيات