شذوذ لا تمركزي

في الميكانيكا السماوية، الشذوذ اللا تمركزي هو الشذوذ الفعلي للكوكب في المدار الإهليليجي.وهو المعلمة الزاوية التي تحدد موقع الجرم الذي يتحرك على طول مدار كبلر الإهليلجي. وهي إحدى المعلمات الزاوية الثلاثة ("الشاذة") والتي تحدد الموقع على طول المدار، والعنصران الآخران هما الشذوذ الحقيقي وزاوية وسط الشذوذ.

التمثيل البياني

الشذوذ اللا تمركزي للنقطة P هى الزاوية E. ومركز القطع الناقص هو النقطة C, و البؤرة هى النقطة F.

تعطي قيمة القطع الناقص في المعادلة:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

حيث a المحور شبه الرئيسي الكبير وb هو المحور شبه الصغير.

لنقطة على القطع الناقص، P = P(x, y), تمثل موقع جرم يدور في مدار بيضاوي الشكل، والشذوذ اللا تمركزي هي الزاوية E في الشكل إلى اليسار. يرصد شذوذ اللا تمركزي، E ، عن طريق رسم مثلث قائم مع قمة واحدة في مركز القطع الناقص، وبعد الوتر a (ما يعادل المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص) والجانب الآخر (متعامد على المحور شبه الرئيسي الكبير ويماس النقطة P 'على نصف قطر القطع الناقص ' 'a' ') الذي يمر خلال النقطة P.

الشذوذ اللا تمركزي يقاس في نفس اتجاه الشذوذ الحقيقي، كما هو موضح في الشكل الذي يمثلة الحرف (f) الشذوذ اللا تمركزي في هذا النسق E يعطى بي ^[1]

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}},}$

و

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$

المعادلة الثانية تأسس باستخدام العلاقة

${\displaystyle {\left({\frac {y}{b}}\right)}^{2}=1-{\cos }^{2}E={\sin }^{2}E}$,

مما يدل على أن الخطيئة E = ±y/b. المعادلة الخطيئة E = −y/b يمكن استبعادها على الفور لانها تجتاز القطع الناقص في الاتجاه الخاطئ.

الصيغ

الشذوذ اللا تمركزي ونصف القطر

يتم تعريف اللاتمركزية على النحو التالي:

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}$

من نظرية فيثاغورس ينطبق على المثلث مع r (مسافة FP) والوتر:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}(1-e^{2})(1-\cos ^{2}E)+a^{2}(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}(1-e\cos E)^{2}\\\end{aligned}}}$

وبالتالي نصف القطر (المسافة من البؤرة إلى نقطة 'P' ') يرتبط بالشذوذ اللا تمركزي بواسطة الصيغة

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}$

من الشذوذ الحقيقي

وبهذه النتيجة الشذوذ اللا تمركزي يمكن تحديدة من الشذوذ الحقيقي.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {x}{a}}={\frac {ae+r\cos \theta }{a}}=e+(1-e\cos E)\cos \theta \ \to \ \cos E={\frac {e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }}\\\sin E&={\sqrt {1-\cos ^{2}E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\,\sin \theta }{1+e\cos \theta }}\ .\end{aligned}}}$

بالتالي:

${\displaystyle \tan E={\frac {\sin E}{\cos E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{e+\cos \theta }}\ .}$

لذا زاوية E هي الزاوية المتاخمة للمثلث قائم الزاوية مع الوتر 1 + e جتا θ والجانب الآخر e + جتا θ, والجانب المعاكس √1 − e² sin θ.

من زاوية وسط الشذوذ

يرتبط الشذوذ اللا تمركزي E إلى زاوية وسط الشذوذ M من معادلة كبلر:^[3]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

انظر أيضا

• حركة متوسطة
• مدار كبلر

مراجع

1. George Albert Wentworth (1914). "The ellipse §126". Elements of analytic geometry (ط. 2nd). Ginn & Co. ص. 141. مؤرشف من الأصل في 2017-02-17.
2. James Bao-yen Tsui (2000). Fundamentals of global positioning system receivers: a software approach (ط. 3rd). John Wiley & Sons. ص. 48. ISBN:0-471-38154-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-11.
3. Michel Capderou (2005). "Definition of the mean anomaly, Eq. 1.68". Satellites: orbits and missions. Springer. ص. 21. ISBN:2-287-21317-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-11.

• بوابة علم الفلك