قابلية التحكم لجرايمان

في نظرية التحكم، تستخدم قابلية التحكم لجرايمان في تحديد هل النظام الخطي قابل للتحكم أم لا .
لأي منظومة رصينة (نظام مستقل زمنيًا)

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

وإذا كانت القيم الذاتية ل ${\displaystyle A}$ لها قيمة سالبة حقيقة، فإن الحل الفريد ${\displaystyle W_{c}}$ لمعادلة ليابونوف

${\displaystyle AW_{c}+W_{c}A^{T}=-BB^{T}}$

موجبًا إذا كان ${\displaystyle (A,B)}$ قابلين للتحكم.
ويمكن التعبير عن قابلية التحكم لجريمان بالرمز ${\displaystyle W_{c}}$ وتكون المعادلة بالشكل التالي:

${\displaystyle W_{c}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }BB^{T}e^{A^{T}\tau }\;d\tau }$

وتستخدم مصفوفة أخرى لتحديد قابلية التحكم وهي:

${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}e^{A(t_{0}-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t_{0}-\tau )}\;d\tau }$

ويكون ${\displaystyle (A,B)}$ قابلين للتحكم إذا كانت المصفوفة ${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})}$ مصفوفة قابلة للعكس لأي قيم${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ .^[1][2]
وللنظام غير المستقل زمنيًا:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}$,

${\displaystyle y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)}$

يمكن التحكم فيه على الفترة ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ . بشرط أن تكون مصوفة جرايمان ${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})}$ مصفوفة قابلة للعكس:^[3]

${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )\;d\tau }$

انظر أيضًا

• معادلة جرايمان
• قابلية ملاحظة لجرايمان

مراجع

1. Controllability Gramian Lecture notes to ECE 521 Modern Systems Theory by Professor A. Manitius, ECE Department, George Mason University. نسخة محفوظة 11 فبراير 2012 على موقع واي باك مشين.
2. Chen، Chi-Tsong (1999). Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. ص. 145. ISBN:0-19-511777-8.
3. Franklin، Gene F. (2002). Feedback Control of Dynamic Systems Fourth Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ص. 854. ISBN:0-13-032393-4.

وصلات خارجية

• Mathematica function to compute the controllability Gramian

• بوابة رياضيات