قانون القيم المتوقعة الكلية

الافتراض في نظرية الاحتمالات المعروف باسم قانون التوقع الكلي ، ^[1] قانون التوقعات المتكررة ^[2] ( LIE ) ، وقانون آدم ، ^[3] قاعدة البرج ، ^[4] ونظرية التنعيم ، ^[5] من بين أسماء أخرى ، تنص على أنه إذا ${\displaystyle X}$ هو متغير عشوائي قيمته المتوقعة ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ يتم تعريفه و ${\displaystyle Y}$ هو أي متغير عشوائي على نفس فضاء احتمالي ، إذن

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}$

على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة للقيمة المتوقعة المشروطة لـ ${\displaystyle X}$ معطى ${\displaystyle Y}$ هي نفس القيمة المتوقعة لـ ${\displaystyle X}$ .

حالة خاصة واحدة تنص على أنه إذا ${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}_{i}}$ هو قسم منتهي أو معدود من فضاء العينة ، إذن

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

ملاحظة: القيمة المتوقعة المشروطة E ( X | Z ) هي متغير عشوائي تعتمد قيمته على قيمة Z. لاحظ أن القيمة المتوقعة المشروطة لـ X بالنظر إلى الحدث Z = z هي دالة لـ z . إذا كتبنا E ( X | Z = z ) = g ( z ) فإن المتغير العشوائي E ( X | Z ) هو g ( Z ). تنطبق تعليقات مماثلة على التغاير الشرطي.

مثال

لنفترض أن هناك مصنعين فقط يزودان السوق بمصابيح كهربائية . مصنع ${\displaystyle X}$ تعمل المصابيح لمدة 5000 ساعة في المتوسط ، في حين أن المصنع ${\displaystyle Y}$ تعمل المصابيح لمدة 4000 ساعة في المتوسط. من المعروف أن المصنع ${\displaystyle X}$ تزود 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي المدة المتوقعة التي ستعمل فيها لمبة تم شراؤها؟

بتطبيق قانون التوقع الكلي ، لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}$

بحيث أن:

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ هي العمر المتوقع للمصباح ؛
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع ${\displaystyle X}$ ؛
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع ${\displaystyle Y}$ ؛
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة ${\displaystyle X}$ ؛
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة ${\displaystyle Y}$ .

وبالتالي فإن عمر كل مصباح كهربائي يتم شراؤه يبلغ 4600 ساعة.

الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة

دع المتغيرات العشوائية ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ ، المعرفة على نفس فضاء الاحتمال ، تفترض مجموعة منتهية أو لا حصر لها من القيم المنتهية. افترض أن ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ يتم تعريفه ، أي ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$ . إذا ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ هو قسم من فضاء الاحتمال ${\displaystyle \Omega }$ ، ومن بعد

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

برهان - إثبات.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}$

إذا كانت السلسلة منتهية ، فيمكننا تبديل التجميعات ، وسيصبح التعبير السابق

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}$

من ناحية أخرى ، إذا كانت السلسلة لا نهائية ، فلا يمكن أن يكون تقاربها مشروطًا ، نظرًا لافتراض أن ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .}$ السلسلة تتقارب تمامًا إذا كان كلاهما ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ و ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ منتهية ، وتتباعد إلى ما لا نهاية عند أي منهما ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$ أو ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$ لانهائية. في كلا السيناريوهين ، يمكن تبادل الملخصات أعلاه دون التأثير على المجموع.

يترك ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ تكون فضاء احتمالية يكون فيها جبران فرعيان ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$ يتم تعريفها. لمتغير عشوائي ${\displaystyle X}$ في مثل هذه الفضاء ، ينص قانون التنعيم على أنه إذا ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ يتم تعريفه ، أي ${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$ ، ومن بعد

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.}$

إثبات . نظرًا لأن التوقع المشروط هو أحد مشتقات Radon-Nikodym ، فإن التحقق من الخواص التالية يؤسس قانون التسوية:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$ - قابل للقياس
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,}$ للجميع ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

أول هذه الخصائص تحمل من خلال تعريف التوقع الشرطي. لإثبات الثانية ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

لذلك لا يتجزأ ${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$ تم تعريفه (لا يساوي ${\displaystyle \infty -\infty }$ ).

وهكذا فإن الخاصية الثانية قائمة منذ ذلك الحين ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ يدل

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}$

اللازمة - النتيجة. في حالة خاصة عندما ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ و ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$ ، فإن قانون التجانس يخفض إلى

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

برهان بديل ل ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

هذه نتيجة بسيطة لتعريف القياس النظري للتوقع المشروط . حسب التعريف، ${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]}$ هو ${\displaystyle \sigma (Y)}$ - متغير عشوائي قابل للقياس يرضي

${\displaystyle \int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]d\operatorname {P} =\int _{A}Xd\operatorname {P} ,}$

لكل مجموعة قابلة للقياس ${\displaystyle A\in \sigma (Y)}$ . مع الأخذ ${\displaystyle A=\Omega }$ يثبت المطالبة.

إثبات صيغة التقسيم

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle I_{A_{i}}}$ هي وظيفة المؤشر للمجموعة ${\displaystyle A_{i}}$ .

إذا كان التقسيم ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}}$ منتهي ، إذن ، بالخطية ، يصبح التعبير السابق

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}$

وانتهينا.

إذا ، ومع ذلك ، فإن القسم ${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }}$ لانهائية ، ثم نستخدم مبرهنة التقارب المحدود لإظهار ذلك

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}$

في الواقع ، لكل ${\displaystyle n\geq 0}$ و

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}$

منذ كل عنصر من عناصر المجموعة ${\displaystyle \Omega }$ يقع في قسم معين ${\displaystyle A_{i}}$ ، فمن السهل التحقق من أن التسلسل ${\displaystyle {\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }}$ يتقارب بشكل نقطي إلى ${\displaystyle X}$ . بالافتراض الأولي ، ${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$ . يؤدي تطبيق نظرية التقارب المهيمن إلى النتيجة المرجوة.

أنظر أيضا

• قانون الاحتمالات الكلية

مراجع

1. Weiss، Neil A. (2005). A Course in Probability. Boston: Addison–Wesley. ص. 380–383. ISBN:0-321-18954-X.
2. "Law of Iterated Expectation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بالإنجليزية الأمريكية). Archived from the original on 2023-03-28. Retrieved 2018-03-28.
3. "Adam's and Eve's Laws". مؤرشف من الأصل في 2022-11-11. اطلع عليه بتاريخ 2022-04-19.
4. Rhee، Chang-han (20 سبتمبر 2011). "Probability and Statistics" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.^{[وصلة مكسورة]}
5. Wolpert، Robert (18 نوفمبر 2010). "Conditional Expectation" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.

• Billingsley، Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN:0-471-00710-2. (Theorem 34.4)
• Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

• بوابة إحصاء
• بوابة رياضيات