متسلسلة متداخلة

في الرياضيات ، المتسلسة المتداخلة هي متسلسة، تكتب على شكل ${\displaystyle t_{n}}$ بحيث ${\displaystyle t_{n}=a_{n}-a_{n+1}}$ ، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية ${\displaystyle (a_{n})}$ .^{[بحاجة لمصدر]}

نتيجة لذلك ، تتكون المجاميع الجزئية فقط من عبارتين من المتتالية ${\displaystyle (a_{n})}$ بعد أن يلغيا بعضهما.^[1][2]

على سبيل المثال ، المتسلسلة :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

(مجموع مقلوبات الأعداد البرونية ) يمكن أن تبسط كالآتي :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

تعميم

متسلسلة متداخلة من القوى

المجاميع المتداخلة هي مجاميع محدودة تلغي فيها العبارات المتتالية بعضها البعض ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.^[3]

لتكن ${\displaystyle a_{n}}$ متسلسلة من الأعداد. إذاً،

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}}$

إذا كانت ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$، فإن :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}}$

الجداءات المتداخلة هي جداءات محدودة حيث تلغي العبارات المتتالية المقام بالبسط ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية. لتكن ${\displaystyle a_{n}}$ متسلسلة من الأعداد. إذاً،

${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}}$

إذا كانت ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 1}$، فإن :

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$

أمثلة أخرى

• يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية كفرق بين مجموعة من العبارات ، مما يسمح بالإلغاء بين العبارات المتتالية.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

• بعض المجاميع تحت الشكل الآتي :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}$

بحيث ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ هم دوال متعددة الحدود يمكن تقسيم كسرهما إلى كسور جزئية ،  هذه الطريقة لا تستوفي الجمع. على وجه الخصوص :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}$

المشكلة هي أنه هنا العبارات لا تلغي بعضها البعض.

مراجع

1. Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3
2. Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85
3. Weisstein, Eric W. "Telescoping Sum". MathWorld (بالإنجليزية). Wolfram. Archived from the original on 2020-11-11.

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات