معيار (رياضيات)

  لمعانٍ أخرى، طالع معيار (توضيح).

في الجبر الخطي والتحليل الدالي والمجالات المتعلقة بهما في الرياضيات، معيار أو نظيم (بالإنجليزية: Norm)‏ هو دالة تعطي عددا حقيقيا موجبا لكل متجهة من فضاء متجهي ما. بحيث تحقق ثلاث خاصيات محددة (أنظر التعريف).

تعريف

ليكن ${\displaystyle E}$ فضاء متجهي معرف على حقل ${\displaystyle K}$مزود بقيمة مطلقة ${\displaystyle |\centerdot |}$

نعرف المعيار على أنه كل دالة ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {N}}:\quad &E\longrightarrow \mathbb {R} \\&x\longmapsto {\mathcal {N(x)}}\\\end{alignedat}}}$$حيث : ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}\quad {\mathcal {\forall }}\lambda \in K}$

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=0\quad \Longrightarrow \quad x=0_{E}}$ (حيث ${\displaystyle 0_{E}}$هي المتجهة المنعدمة ) .
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\lambda x)=|\lambda |\operatorname {\mathcal {N}} (x)}$ (التجانس المطلق).
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x+y)\leq {\mathcal {N}}(x)+{\mathcal {N}}(y)}$ (متباينة المثلث).

ملاحظة بخصوص التعريف

بعض الكتب تشترط في تعريفها أن تحقق ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ خاصية أخرى وهي ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\geq 0}$ لكل ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle E}$

لكنه لا توجد ضرورة لإدراجها في التعريف ما دامت الخاصيات المذكورة في التعريف تستلزم تحقيق هذه الخاصية :

${\displaystyle 0={\mathcal {N}}(0_{E})={\mathcal {N}}(x+(-x))\leq {\mathcal {N}}(x)+|-1|{\mathcal {N}}(x)=2{\mathcal {N}}(x)}$$${\displaystyle \Longrightarrow \qquad 0\leq {\mathcal {N}}(x)}$$

أمثلة

المعيار الاقليدي

في فضاء متجهي إقليدي ${\displaystyle E}$ وهو فضاء متجهي ${\displaystyle E}$ معرف على حقل الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$ مزود بجداء سلمي ${\displaystyle \langle x|y\rangle }$ (لكل عنصر${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$من ${\displaystyle E}$) و بُعده منتهٍ كمثال الفضاء المتجهي ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$

نعرف ونرمز للمعيار الاقليدي بـ :

${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x\rVert _{2}:={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$

في حالة المثال ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$ يكون الجداء السلمي غالبا (لأنه يمكن إنشاء جداء سلمي مختلف ) :

${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\sum _{k=1}^{n}x_{k}.y_{k}}$

انظر أيضا

• فضاء متجهي معياري

||x|| و ||−x|| ليسا بالضرورة متساويين.

مراجع

• بوابة رياضيات