هوية سومرفيلد

هوية سومرفيلد هي هوية رياضياتية، اكتشفت عن طريق أرنولد سومرفيلد و تستعمل في نظرية انتشار الموجات.

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

حيث

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

تًُأخذ بالجزء الموجب الحقيقي، لتأكيد انحصار التكامل و تلاشيه عندما ${\displaystyle {\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }}$، و

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$

هنا ${\displaystyle R}$ هي المسافة من نقطة المركز بينما ${\displaystyle r}$ هي المسافة من المحور المركزي لاسطوانة كما في نظام الإحداثي أسطواني ${\displaystyle {\displaystyle (r,\phi ,z)}}$. هنا طريقة كتابة الرموز لدالة بيسل تتبع النظام الألماني، حت تكون على اتساق مع طريقة كتابة الرموز الأصلية المتبعة من سومرفيلد. الدالة ${\displaystyle {\displaystyle I_{0}(z)}}$ هل من المستوى صفر لدالة بيسل من النوع الأول، أو ما يعرف بـ ${\displaystyle {\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}}$ في الطريقة الإنجليزية. هذه الهوية هي هوية سومرفيلد.^[1]

يمكن كتابة هذه الهوية بطريقة أخرى، حيث أنها يمكن أن توجد بشكل أسهل كامتداد لموجة كروية بطريقة الموجات المتماثلة بشكل اسطواني:^[2]

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

حيث

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

طريقة كتابة الرموز هنا مختلفة عما سبق، إذ أن ${\displaystyle r}$ هنا هي المسافة من نقطة الأصل و ${\displaystyle {\displaystyle \rho }}$ هي المسافة نصف القطرية كما في نظام الإحداثي أسطواني المعرف كـ ${\displaystyle {\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}}$. المعنى الفيزيائي هنا هو أن الموجة الكروية يمك أن تتوسع إلى مجموع من الموجوات الأسطوانية في الاتجاه ${\displaystyle \rho }$، مضروبة بموجة مستوية ثنائية الأوجه في الاتجاه ${\displaystyle z}$. يجب أن يأخد هذا المجموع لجميع أرقام الموجة ${\displaystyle {\displaystyle k_{\rho }}}$.

تعتبر هوية سومرفيلد مرتبطة بشكل قريب بتحويل فورييه ثنائي الأبعاد مع تمثال أسطواني، على سبيل المثال، كتحويل هانكل. يمكن الحصول عليها عند تحويل الموجة الكروية على طول الإحداثيات المستوي ${\displaystyle {\displaystyle x},{\displaystyle y)}}$ أو ${\displaystyle {(\displaystyle \rho },{\displaystyle \phi }}$، مع عدم التحويل على طول الارتفاع ${\displaystyle z}$.

المراجع

1. "Book sources". Wikipedia (بالإنجليزية). Archived from the original on 2021-02-17.
2. "Book sources". Wikipedia (بالإنجليزية). Archived from the original on 2021-03-03.

• بوابة الفيزياء