মাধ্যিকা মতদাতা উপপাদ্য

অৰ্থনীতি আৰু ৰাজনীতি বিজ্ঞানত মাধ্যিকা মতদাতা উপপাদ্যই কয় যে যদি কোনো সমষ্টিত অধিকতা মতদান ব্যৱহাৰ কৰা হয় (অৰ্থাৎ, সৰ্বাধিক ভোট লাভ কৰা প্ৰতিযোগী বিজয়ী হয়), কেৱল দুই প্ৰতিদ্বন্দ্বী আছে আৰু সকলো মতদাতাৰ অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধৰ এটি শৃংগ আছে, তেন্তে দুয়ো প্ৰতিদ্বন্দ্বীয়ে প্ৰত্যেক নীতিত একেই স্থিতি গ্ৰহণ কৰিব- সেই স্থিতি যি মাধ্যিকা মতদাতাৰ প্ৰিয়। এই উপপাদ্যৰ কথা অৰ্থনীতিবিদ ডাউন্সে নিজৰ গ্ৰন্থ "এন ইকনমিক থিয়ৰি অৱ ডেমক্ৰেচি"ত উল্লেখ কৰিছিল^[1]।

কণ্ডৰ্চে চৰ্তসমূহ

কণ্ডৰ্চে বিজেতাৰ ধাৰণা ফঁৰাচী অৰ্থনীতিবিদ, গণিতজ্ঞ আৰু দাৰ্শনিক মাৰ্কি ডে কণ্ডৰ্চেই আগবঢ়াইছিল। ধৰি লওক যে কোনো নিৰ্বাচনত এটি সমষ্টিত তলত দিয়া চৰ্তসমূহ পূৰ্ণ হৈছে-

• প্ৰত্যক্ষ গণতন্ত্ৰ: ৰাইজে অধিকতা মতদানেৰে নীতি নিৰ্বাচন কৰে।
• অকপট মতদান: মতদাতাই নিজৰ আটাইতকৈ পচন্দৰ প্ৰতিদ্বন্দ্বীক ভোট দিয়ে।
• মুকলি কাৰ্য-সূচী: প্ৰত্যেক প্ৰতিদ্বন্দ্বীয়ে ২-২ কৈ আন প্ৰতিদ্বন্দ্বীৰ বিৰুদ্ধে যুঁজে (যেনে, যদি ক, খ আৰু গ প্ৰতিদ্বন্দ্বী, নিৰ্বাচনত ক-খ, ক-গ আৰু খ-গ তুলনা কৰা হয়, অৰ্থাৎ সকলো প্ৰতিদ্বন্দ্বী অকলে আন প্ৰতিদ্বন্দ্বীৰ মুখামুখী হয়।)^[2]

কণ্ডৰ্চেই দেখাইছিল যে এনে অৱস্থাত ৰাজহুৱা পচন্দ বা অগ্ৰাধিকাৰৰ "চক্ৰ" সৃষ্টি হ'ব পাৰে।

কণ্ডৰ্চে বিৰোধাভাস

ধৰি লওক তিনিজন প্ৰতিদ্বন্দ্বী আছে- ${\displaystyle a,b}$ আৰু ${\displaystyle c}$ আৰু তিনিজন মতদাতা আছে, ${\displaystyle 1,2}$ আৰু ${\displaystyle 3}$। তিনিওজন মতদাতাৰ পচন্দ এনে ধৰণৰ-

অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধসমূহ

মতদাতা	প্ৰথম পচন্দ	দ্বিতীয় পচন্দ	তৃতীয় পচন্দ
1	a	c	b
2	b	a	c
3	c	b	a

মন কৰক, যে ৩ৰ ভিতৰত ২জন মতদাতাই aতকৈ bক ভাল পায়, সেয়ে bক ৰাইজে aতকৈ অধিক পচন্দ কৰে। আকৌ, ৩ৰ ভিতৰত ২জন মতদাতাই bতকৈ cক ভাল পায়, সেয়ে ৰাইজে bতকৈ cক পচন্দ কৰে। আৰু ৩ৰ ভিতৰত ২জন মতদাতাই cতকৈ aক ভাল পায়। অৰ্থাৎ, যদি ${\displaystyle \succ _{s}}$ সকলো ৰাইজৰ ৰাজহুৱা অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধ, তেন্তে ${\displaystyle a\succ _{s}b,\ b\succ _{s}c}$ আৰু ${\displaystyle c\succ _{s}a}$। অৰ্থাৎ ৰাইজৰ পচন্দসমূহে 'সংক্ৰামিতা'ৰ চৰ্ত পূৰ্ণ নকৰে। পচন্দসমূহ চক্ৰৰ দৰে, আৰু "আটাইতকৈ পচন্দৰ" কোনো প্ৰতিদ্বন্দী নাই। কিন্তু প্ৰতিদ্বন্দ্বীসমূহক ৰাইজে সমানে পচন্দও নকৰে, উদাহৰণ স্বৰূপে ৰাইজে aতকৈ bক অধিক পচন্দ কৰে। সেয়েহে ৰাইজে তিনিও প্ৰতিদ্বন্দ্বীক সমানে পচন্দ নকৰে, কোনো দুজন প্ৰতিদ্বন্দ্বীকো সমানে পচন্দ নকৰে, কিন্তু একেই সময়তে ৰাইজৰ তিনিওৰ মাজত আটাইতকৈ প্ৰিয় প্ৰতিদ্বিন্দ্বীও নাই। ই এক বিৰোধাভাস (paradox)^[3]।

কণ্ডৰ্চে বিজেতা

যদি কোনো ব্যৱস্থাত আৰু পৰিস্থিতিত এই বিৰোধাভাস উদয় নহয় আৰু ৰাইজৰ আটাইতকৈ পচন্দৰ প্ৰতিদ্বন্দ্বী ওপৰত উল্লিখিত চৰ্তেৰে থাকে, তেন্তে সেই প্ৰতিদ্বন্দ্বীক কণ্ডৰ্চে বিজেতা বোলা হয়^[4]।

মাধ্যিকা মতদাতা

এক-শৃংগযুক্ত অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধ

এটি সসীম সংহতি গণ্য কৰক- ${\displaystyle P\subset R}$ আৰু ধৰি লওক ${\displaystyle p(\alpha _{i})\in P}$ মতদাতা ${\displaystyle i}$ৰ ${\displaystyle P}$ত একমাত্ৰ আটাইতকৈ প্ৰিয় বিকল্প (পৰমানন্দ বিন্দু)। তেন্তে মতদাতাজনৰ অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধ (পচন্দসমূহ) এক-শৃংগযুক্ত যদি, আৰু কেৱল যদি-

${\displaystyle \forall p'',p\in P,}$ যদি ${\displaystyle p''<p\leq p(\alpha _{i})}$ ${\displaystyle or\ p''>p'\geq p(\alpha _{i}),}$ আমি দেখোঁ ${\displaystyle U(p'';\alpha _{i})<U(p';\alpha _{i})}$। ইয়াত ${\displaystyle U}$ মতদাতাৰ ভন-নয়মেন মৰ্গেনষ্টাৰ্ণ উপযোগিতা ফলন আৰু ${\displaystyle p}$ এটি ৰাজনৈতিক বিকল্প^[2]।

ইয়াৰ অৰ্থ এয়াই যে উপযোগিতা ফলন অৰ্ধ-অৱতল।

মাধ্যিকা মতদাতাৰ সংজ্ঞা

ওপৰৰ এক-শৃংগতাৰ চৰ্ত পূৰ্ণ হ'লে, আমি মতদাতাসকলক তেওঁলোকৰ পৰমানন্দ বিন্দুৰ আধাৰত ক্ৰমত সজাব পাৰোঁ। ধৰি লওক মতদাতাৰ সংখ্যা ${\displaystyle H}$ এটি অযুগ্ম সংখ্যা। তেন্তে মাধ্যিকা মতদাতা সেইজন মতদাতা, যাৰ পৰমানন্দ বিন্দুৰ তলত ${\displaystyle (H-1)/2}$ মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু আছে আৰু যাৰ পৰমানন্দ বিন্দুৰ ওপৰত ${\displaystyle (H-1)/2}$ মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু আছে। এই মতদাতাক ${\displaystyle \alpha _{m}}$ বুলি ধৰি লওক। তেওঁৰ পৰমানন্দ বিন্দুক ${\displaystyle p_{m}}$ বুলি ধৰি লওক^[2]।

আনুষ্ঠানিক উদ্ধৃতি (অকপট মতদানৰ ক্ষেত্ৰত)

ওপৰত উল্লিখিত সংজ্ঞাসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি, মাধ্যিকা মতদাতা উপপাদ্যক এনেদৰে উল্লেখ কৰিব পাৰি-

যদি ${\displaystyle H}$ এটি অযুগ্ম সংখ্যা, আৰু প্ৰত্যক্ষ গণতন্ত্ৰ আৰু অকপট মতদানৰ চৰ্ত পূৰ্ণ হৈছে, আৰু যদি মতদাতাসকলৰ অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধ এক-শৃংগযুক্ত, প্ৰদান কৰা হোৱা বিকল্পৰ ক্ৰম ${\displaystyle P}$ত, তেন্তে এজন কণ্ডৰ্চে বিজেতা আছে। সেই কণ্ডৰ্চে বিজেতাজনৰ নীতি মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু ${\displaystyle p_{m}}$। তদুপৰি ${\displaystyle p_{m}}$ একমাত্ৰ সাম্যাৱস্থা নীতি (স্থিৰ বিন্দু), যদি প্ৰত্যক্ষ গণতন্ত্ৰ আৰু অকপট চৰ্তৰ লগতে মুকলি কাৰ্য-সূচীৰ চৰ্তও পূৰ্ণ হৈছে।^[2]

উপপাদ্যটি সহজে যুগ্ম ${\displaystyle H}$ৰ ক্ষেত্ৰতো প্ৰযোজ্য বুলি প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায়।

প্ৰমাণ

মতদাতাসকলক তেওঁলোকৰ পৰমানন্দ বিন্দুৰ (${\displaystyle p(\alpha _{i})}$ৰ) ক্ৰমত সজাওক। ধৰি লওক ${\displaystyle p_{m}}$ মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু। যদি ${\displaystyle p_{m}}$ আৰু কোনো অন্য নীতি ${\displaystyle p''}$ৰ মাজত নিৰ্বাচন অনুষ্ঠিত কৰা হৈছে, আৰু ${\displaystyle p''<p_{m}}$, তেন্তে আমি জানো, যে অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধৰ এক-শৃংগতাৰ বাবে প্ৰত্যেক এনে মতদাতা ${\displaystyle i}$ৰ বাবে যাৰ ${\displaystyle p_{m}<p(\alpha _{i})}$, আমি পাওঁ- ${\displaystyle U(p_{m};\alpha _{i})>U(p'';\alpha _{i})}$। অকপট ভোটদানৰ বাবে, তেনে প্ৰত্যেকজন ব্যক্তিয়ে ${\displaystyle p_{m}}$ক ভোট দিব। যিহেতু ${\displaystyle p_{m}}$ হ'ল মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু, ${\displaystyle p_{m}<p(\alpha _{i})}$ থকা মতদাতাৰ সংখ্যা ${\displaystyle (H-1)/2}$। তদুপৰি, মাধ্যিকা মতদাতাই নিজেও নিজৰ পৰমানন্দ বিন্দু ${\displaystyle p_{m}}$কে ভোট দিব। আন কোনোৱেও ${\displaystyle p_{m}}$ক ভোট দিব পাৰে, কিন্তু নিদিলেও, ${\displaystyle p_{m}}$ বিজয়ী হ'ব কাৰণ ইতিমধ্যে ${\displaystyle {\frac {H-1}{2}}+1>{\frac {H}{2}}}$ মতদাতাই ${\displaystyle p_{m}}$ক ভোট দিয়াটো নিশ্চিত।

একেই যুক্তি ${\displaystyle p''>p_{m}}$ৰ ক্ষেত্ৰতো দিব পৰা যায়। এই পৰিস্থিতিত, অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধৰ এক-শৃংগতাৰ বাবে প্ৰত্যেক এনে মতদাতা ${\displaystyle i}$ৰ বাবে যাৰ ${\displaystyle p_{m}>p(\alpha _{i})}$, আমি পাওঁ- ${\displaystyle U(p_{m};\alpha _{i})>U(p'';\alpha _{i})}$। অকপট ভোটদানৰ বাবে, তেনে প্ৰত্যেকজন ব্যক্তিয়ে ${\displaystyle p_{m}}$ক ভোট দিব। যিহেতু ${\displaystyle p_{m}}$ হ'ল মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু, ${\displaystyle p_{m}>p(\alpha _{i})}$ থকা মতদাতাৰ সংখ্যা ${\displaystyle (H-1)/2}$। তদুপৰি, মাধ্যিকা মতদাতাই নিজেও নিজৰ পৰমানন্দ বিন্দু ${\displaystyle p_{m}}$কে ভোট দিব। আন কোনোৱেও ${\displaystyle p_{m}}$ক ভোট দিব পাৰে, কিন্তু নিদিলেও, ${\displaystyle p_{m}}$ বিজয়ী হ'ব কাৰণ ইতিমধ্যে ${\displaystyle {\frac {H-1}{2}}+1>{\frac {H}{2}}}$ মতদাতাই ${\displaystyle p_{m}}$ক ভোট দিয়াটো নিশ্চিত।

আনুষ্ঠানিক উদ্ধৃতি (ৰণনীতিগত মতদানৰ ক্ষেত্ৰত)

আমি দেখিলোঁ যে কণ্ডৰ্চে চৰ্তসমূহ পূৰ্ণ হ'লে মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ আৰু আন কোনো নীতিৰ মাজত নিৰ্বাচন অনুষ্ঠিত কৰিলে, মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দুৱেই বিজয়ী হ'ব। কিন্তু সকলো অৱস্থাত প্ৰত্যেক কণ্ডৰ্চে চৰ্ত পূৰ্ণ নহবও পাৰে। যদিও প্ৰত্যক্ষ গণতন্ত্ৰ আৰু মুকলি কাৰ্য-সূচী সাংগঠনিক চৰ্তহে, আৰু সেয়ে বাস্তৱত নিশ্চিত কৰিব পৰা যায়, অকপট মতদান ভোটাৰৰ আচৰণৰ ওপৰত ৰখা চৰ্ত। এই চৰ্ত সকলো অনুষ্ঠানত পূৰ্ণ নহবও পাৰে^[5]। উদাহৰণ স্বৰূপে, যদি এজন ভোটদাতাই নিজৰ প্ৰিয় প্ৰতিদ্বন্দ্বীক ভোট দিয়াৰ ঠাইত অন্য প্ৰতিদ্বন্দ্বীক ভোট দি, এই কথাৰ সম্ভাৱনীয়তা বৃদ্ধি কৰিব পাৰে যে তেওঁৰ প্ৰিয় প্ৰতিদ্বন্দ্বী বিজয়ী হ'ব, তেন্তে ভোটদাতাজনে অকপট মতদানৰ সলনি এনেধৰণৰ ৰণনীতিগত মতদান কৰিব। সেয়েহে, আমি তলত ৰণনীতিগত মতদানক সংজ্ঞায়িত কৰিছোঁ-

• ৰণনীতিগত মতদান: ধৰি লওক ${\displaystyle v_{i}(p',p'')\in \{p',p''\}}$এ এটি ভোট ফলন সংজ্ঞায়িত কৰে মতদাতা ${\displaystyle i}$ৰ বাবে। অৰ্থাৎ, মতদাতা ${\displaystyle i}$এ ${\displaystyle p'}$ আৰু ${\displaystyle p''}$ৰ মাজত নিৰ্বাচন হ'লে, ${\displaystyle v_{i}(p',p'')}$ক ভোট দিব। এতিয়া আমি এটি ভোট গণনা ফলন সংজ্ঞায়িত কৰোঁ- ${\displaystyle V:\{p',p''\}^{n}\rightarrow \{p',p''\}}$, যিকোনো দুই প্ৰতিদ্বন্দ্বী ${\displaystyle p'}$ আৰু ${\displaystyle p''}$ৰ বাবে। তদুপৰি, ধৰি লওক ${\displaystyle v_{\smallsetminus i}(p',p'')}$ মতদাতা ${\displaystyle i}$ক বাদ দি, আন মতদাতাসকলে মতদানেৰে সমৰ্থন দিয়া নীতিৰ সদিশ। তেন্তে, ${\displaystyle V(v_{i}(p',p''),v_{\smallsetminus i}(p',p'')))}$ নিৰ্বাচনত বিজয়ী হ'ব, যদি নিৰ্বাচনত দুই প্ৰতিদ্বন্দ্বী ${\displaystyle p'}$ আৰু ${\displaystyle p''}$ আছে। এনে ক্ষেত্ৰত ৰণনীতিগত মতদানৰ সংজ্ঞা এনে ধৰণৰ- ${\displaystyle v_{i}(p',p'')\in }$${\displaystyle \arg \max _{{\tilde {v}}(p',p'')}}$${\displaystyle U(V({\tilde {v}}_{i})(p',p''),v_{\smallsetminus i}(p',p'');\alpha _{i})}$।

কোনো ব্যক্তি ${\displaystyle i}$ৰ বাবে সেই নীতি দুৰ্বলভাৱে আধিপত্যবাদী যদি সেই নীতিয়ে যি পৰিস্থিতেয়েই নহওক, আন নীতিতকৈ কম উপযোগিতা প্ৰদান নকৰে, আৰু কোনো কোনো পৰিস্থিতিত আন নীতিতকৈ অধিক উপযোগিতা প্ৰদান কৰে। এনে নীতি চয়ন কৰাত কোনো লোকচান নাথাকে।

মাধ্যিকা মতদাতা উপপাদ্য- ৰণনীতিগত মতদানৰ ক্ষেত্ৰত

যদি মতদাতাৰ সংখ্যা ${\displaystyle H}$ অযুগ্ম, প্ৰত্যক্ষ গণতন্ত্ৰ আৰু ৰণনীতিগত মতদানৰ চৰ্ত পূৰ্ণ হৈছে, আৰু প্ৰত্যেক মতদাতাৰ অগ্ৰাধিকাৰ সম্বন্ধ এক-শৃংগযুক্ত, নীতিৰ ক্ৰম ${\displaystyle P}$ত, তেন্তে অকপট মতদান প্ৰত্যেক মতদাতাৰ বাবে দুৰ্বলভাৱে আধিপত্যবাদী আৰু এনে এটি মাত্ৰ দুৰ্বলভাৱে আধিপত্যবাদী ৰণনীতি আছে, আৰু তাৰ এটি সদস্য মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু, ${\displaystyle p_{m}}$, সদস্যসমূহ কণ্ডৰ্চে বিজেতা হিচাপে আছে।

প্ৰমাণ

যিহেতু প্ৰত্যক্ষ গণতন্ত্ৰৰ চৰ্ত পূৰ্ণ হৈছে, সেয়ে ভোট গণনা ফলন এনে যাতে সদায় গৰিষ্ঠসংখ্যকে ভোট দিয়া প্ৰতিদ্বন্দ্বী বিজয়ী হ'ব। এই ফলনক ${\displaystyle V^{m}}$ আখ্যা দিওঁ। দুটি নীতি ${\displaystyle p',p''\in P}$ গণ্য কৰক, আৰু এজন মতদাতা ${\displaystyle i}$। ধৰি লওক যে ${\displaystyle U(p';\alpha _{i})\geq U(p'';\alpha _{i})}$। দুটি পৰিস্থিতি উৎপন্ন হ'ব পাৰে।

পৰিস্থিতি ১: ${\displaystyle \forall v_{i}\in {p',p''}}$, ${\displaystyle V^{m}(v_{i},v_{\smallsetminus i}(p',p''))=p'}$ বা ${\displaystyle \forall v_{i}\in {p',p''}}$, ${\displaystyle V^{m}(v_{i},v_{\smallsetminus i}(p',p''))=p''}$। অৰ্থাৎ, মতদাতা ${\displaystyle i}$এ যাকেই ভোট নিদিয়ক কিয়, নিৰ্বাচনৰ পৰিণাম সলনি নহয়। এনে ক্ষেত্ৰত মতদাতা ${\displaystyle i}$ৰ বাবে দুয়ো প্ৰতিদ্বন্দ্বীক ভোট দিয়াৰ পৰা লাভ কৰা উপযোগিতা সমান। ইয়াৰ অৰ্থ হ'ল, নিজৰ পচন্দৰ নীতি ${\displaystyle p'}$ক ভোট দিয়াৰ কোনো লোকচান নাই।

পৰিস্থিতি ২: ধৰি লওক ${\displaystyle V^{m}(v_{i},v_{\smallsetminus i}(p',p''))=p'}$ যদি মতদাতা ${\displaystyle i}$এ ${\displaystyle p'}$ক ভোট দিয়ে আৰু ${\displaystyle V^{m}(v_{i},v_{\smallsetminus i}(p',p''))=p''}$, যদি মতদাতা ${\displaystyle i}$এ ${\displaystyle p'}$ক ভোট নিদিয়ে। এনে ক্ষেত্ৰত, মতদাতাজনে নিজৰ প্ৰিয় প্ৰতিদ্বন্দ্বী ${\displaystyle p'}$ক ভোট দিলে অধিক উপযোগিতা লাভ কৰিব।

দুয়ো পৰিস্থিতিতেই, ${\displaystyle p'}$ক ভোট দিয়া অন্ততঃ ${\displaystyle p''}$ক ভোট দিয়াতকৈ বেয়া নহয়, আৰু পৰিস্থিতি ২ত, ই নিশ্চিত ৰূপত অধিক উপযোগী। সেয়ে ${\displaystyle p'}$ক ভোট দিয়া, অৰ্থাৎ নিজৰ প্ৰিয় প্ৰতিদ্বন্দ্বীক ভোট দিয়া বা অকপট মতদান কৰা ভোটাৰজনৰ বাবে দুৰ্বলভাৱে আধিপত্যবাদী।

যিহেতু এই যুক্তি প্ৰত্যেকজন মতদাতাৰ ক্ষেত্ৰতে প্ৰযোজ্য, সেয়ে যদি আমি ধৰি লওঁ যে প্ৰত্যেক মতদাতা তৰ্কসংগত আৰু নিজৰ দুৰ্বলভাৱে আধিপত্যবাদী নীতি চয়ন কৰে, তেন্তে প্ৰত্যেক মতদাতাই অকপটভাৱে মতদান কৰিব^[2]।

আৰু অকপটভাৱে মতদান কৰিলে মাধ্যিকা মতদাতাৰ পৰমানন্দ বিন্দু কণ্ডৰ্চে বিজেতা বুলি ইতিমধ্যেই পূৰ্বৰ দফাত প্ৰমাণ কৰা হৈছে।

তথ্য সংগ্ৰহ

1. An Economic Theory of Democracy। এঞ্চাইক্ল'পিডিয়া ব্ৰিটেনিকা।
2. ডাৰণ আকেমগলু। পলিটিকেল ইকনমি অৱ ইনষ্টিট্যুচন্স এণ্ড ডেভেলপমেণ্ট। লেক্সাৰ্ছ ১ আৰু ২: ষ্টেটিক ভ'টিং মডেল্স। এম আই টি, ২০১২।
3. https://math.hmc.edu/funfacts/social-choice-and-the-condorcet-paradox/
4. https://www.whydomath.org/node/voting/impossible.html
5. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5153667/#:~:text=A%20strategic%20vote%20is%20defined,2001%3B%20Cain%201978).

লগতে লাওক

• কল্যাণ অৰ্থনীতিৰ মৌলিক উপপাদ্য
• নাশ্ব সাম্যাৱস্থা
• উপভোক্তা আচৰণ তত্ত্ব
• উৎপাদকৰ আচৰণৰ তত্ত্ব
• সেন সূচক