মানক বিচলন

সাধাৰণ বিতৰণ (বা ঘণ্টা আকৃতিৰ বক্ৰ) ৰ এটা প্লট য'ত প্ৰতিটো বেণ্ডৰ প্ৰস্থ ১ মানক বিচ্যুতি&nbsp

প্ৰত্যাশিত মান বা গড় 0 আৰু মানক বিচলন ১ৰ সৈতে এটা স্বাভাৱিক বিতৰণ

মানক বিচলন বা মানক বিচ্যুতি (ইংৰাজী: Standard Deviation) হৈছে বিক্ষিপ্ততাৰ এক বহুলভাৱে ব্যৱহৃত পৰিমাপ যিয়ে তথ্যসমূহ (সংখ্যা বা ডাটা পইণ্ট) কিমান ‘বিস্তাৰিত’ তাক জুখিব পাৰে। কম মানক বিচ্যুতিয়ে সংখ্যাসমূহ গড় বা মাধ্যমানৰ অতি ওচৰত থকাৰ কথা সূচায়, আনহাতে উচ্চ মানক বিচ্যুতিয়ে সংখ্যাসমূহ গড় বা মাধ্যমানৰ পৰা দুৰৈত অৰ্থাৎ বহল পৰিসৰত বিস্তৃত হোৱাটো সূচায়। বীজগণিতীয় দৃষ্টিকোণৰ পৰা মানক বিচ্যুতি অধিক সুবিধাজনক যদিও কাৰ্যক্ষেত্ৰত ই প্ৰত্যাশিত বিচ্যুতি বা গড় নিৰপেক্ষ বিচ্যুতিতকৈ কম শক্তিশালী। ^{[1][2] [3]}

এটা নমুনাৰ মানক বিচলন SD বা লেটিন আখৰ s বুলি সংক্ষিপ্ত কৰি লিখা হয়, আৰু জনসংখ্যাৰ মানক বিচলনৰ বাবে গ্ৰীক আখৰ σ (চিগমা) চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰা হয়। নমুনাৰ মানক বিচলন আৰু জনসংখ্যাৰ মানক বিচলনৰ মাজত গননাৰ পাৰ্থক্য আছে। তলৰ উদাহৰণেৰে বুজোৱা হʼল।

মানক বিচলনৰ উদাহৰণ

জনসংখ্যা মানক বিচলন	${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\sum {(x_{i}-\mu )^{2}}}{N}}}}$	${\displaystyle \mu }$ = জনসংখ্যাৰ গড়, ${\displaystyle x_{i}}$ = জনসংখ্যাৰ তথ্য বিন্দু (ডাটা পইণ্ট বা নম্বৰ), ${\displaystyle N}$ = জনসংখ্যাৰ মুঠ ডাটা পইণ্টৰ সংখ্যা
নমুনা মানক বিচলন	${\displaystyle s={\sqrt {\frac {\sum {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{n-1}}}}$	${\displaystyle {\bar {x}}}$ = নমুনাৰ গড়, ${\displaystyle x_{i}}$ = নমুনাৰ তথ্য বিন্দু (ডাটা পইণ্ট বা নম্বৰ), ${\displaystyle n}$ = নমুনাৰ মুঠ ডাটাপইণ্টৰ সংখ্যা

জনসংখ্যাৰ মানক বিচ্যুতিৰ গণনা:

ধৰি লওক, আঠজনীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ (জনসংখ্যা বুলি ধৰি লৈ)এটা গোটে লাভ কৰা নম্বৰসমূহ (তথ্য বিন্দুসমূহ) এনে ধৰণৰ:

$${\displaystyle 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.}$$

এই আঠটা নম্বৰ বা সংখ্যা বা তথ্য বিন্দুৰ গড় ৫: $${\displaystyle \mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.}$$ প্ৰথমে গড়ৰ পৰা প্ৰতিটো তথ্য বিন্দু (ডাটা পইণ্ট বা নম্বৰ )ৰ বিচ্যুতি গণনা কৰক, আৰু প্ৰতিটো বিচ্যুতিৰ ফলাফলৰ বৰ্গ গণনা কৰক: $${\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}}$$

বিচলন বা বিচ্যুতি হৈছে এই মানসমূহৰ গড়:

$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4.}$$

জনসংখ্যা মানক বিচলন (মানক বিচ্যুতি) হৈছে বিচলনৰ বৰ্গমূল:

$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {4}}=2.}$$ [মানক বিচলন = √(বিচলন)]

এইদৰে ওপৰৰ উদাহৰণটোৱে দেখুৱাইছে যে জনসংখ্যাৰ মানক বিচ্যুতি ২। ওপৰৰ উদাহৰণটোৱে আঠজনীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ গোট এটা সম্পূৰ্ণ জনসংখ্যা বুলি ধৰি লৈছে। যদি কোনো মূল জনসংখ্যাৰ পৰা যাদৃচ্ছিকভাৱে নমুনা সংগ্ৰহ কৰি আঠজনীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ নমুনা এটা লোৱ হয়, তেন্তে নমুনাৰ মানক বিচ্যুতি গণনাত ৮ৰ পৰিৱৰ্তে ৭ অৰ্থাৎ (৮-১)ৰে ভাগ কৰা হ’ব।^[4][5]

ব্যাখ্যা আৰু প্ৰয়োগ

একে গড় কিন্তু বেলেগ মানক বিচ্যুতিৰ দুটা জনসংখ্যাৰ নমুনাৰ উদাহৰণ। ৰঙা জনসংখ্যাৰ গড় (average) ১০০ আৰু মানক বিচ্যুতিয়ে (SD) ১০; নীলা জনসংখ্যাৰ গড় ১০০ আৰু SD ৫০।

এটা বৃহৎ মানক বিচ্যুতিয়ে ইংগিত দিয়ে যে তথ্য বিন্দুসমূহ গড়ৰ পৰা বহু দূৰলৈ বিয়পি আছে, আৰু এটা সৰু মানক বিচ্যুতে ইংগিত দিয়ে যে বিন্দুসমূহ গড়ৰ চাৰিওফালে ঘনিষ্ঠভাৱে গোট খাই আছে।

উদাহৰণস্বৰূপে, {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} আৰু {6, 6, 8, 8} তিনিটা জনসংখ্যাৰ প্ৰতিটোৰ গড় 7। ইহঁতৰ মানক বিচ্যুতি ক্ৰমে 7, 5 , আৰু ১। তৃতীয় জনসংখ্যাৰ মানক বিচ্যুতি আন দুটাতকৈ বহুত কম কাৰণ ইয়াৰ মান সকলো ৭ৰ ওচৰত। এই মানক বিচ্যুতিবোৰৰ একক তথ্য বিন্দুবোৰৰ সৈতে একে। উদাহৰণস্বৰূপে, তথ্যৰ সমষ্টি {0, 6, 8, 14}য়ে চাৰিজন ভাই-ভনীৰ জনসংখ্যাৰ বয়সক বছৰত বুজাইছে। এই তথ্য সমষ্টিৰ মানক বিচ্যুতি হ'ল 5 বছৰ। আন এটা উদাহৰণ হিচাপে চাৰিজন খেলুৱৈয়ে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বক মিটাৰত জুখি {1000, 1006, 1008, 1014} পোৱা গʼল। ইয়াৰ গড় 1007 মিটাৰ, আৰু মানক বিচ্যুতি 5 মিটাৰ (চাৰিজন খেলুৱৈক জনসংখ্যা হিচাপে ধৰি লোৱা হৈছে)। জোখবোৰ তাত্ত্বিক ভৱিষ্যতবাণী (prediction)ৰ সৈতে একমত হয় নে নহয় সিদ্ধান্ত লওঁতে, সেই জোখবোৰৰ মানক বিচ্যুতি গুৰুত্বপূৰ্ণ: যদি জোখবোৰৰ গড় ভৱিষ্যতবাণীৰ পৰা বহু দূৰত থাকে (মানক বিচ্যুতিত জোখা দূৰত্বৰ সৈতে), তেনেহ'লে পৰীক্ষা কৰা তত্ত্বটো সংশোধন কৰা প্ৰয়োজন।

উৎস

1. Gauss, Carl Friedrich (1816). "Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen". Zeitschrift für Astronomie und Verwandte Wissenschaften খণ্ড 1: 187–197. 
2. Walker, Helen (1931). Studies in the History of the Statistical Method. প্ৰকাশক Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co. পৃষ্ঠা. 24–25. 
3. Gravetter, F. J., Wallnau, L. B., Forzano, L. A. B., & Witnauer, J. E. (2021). Essentials of statistics for the behavioral sciences. Cengage learning.
4. Livingston, E. H. (2004). The mean and standard deviation: what does it all mean?. Journal of Surgical Research, 119(2), 117-123.
5. https://digitalcommons.unl.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1008&context=imseteach#:~:text=measures%20the%20squared%20deviations%20from,%2D1)%20rather%20than%20n.