সমবাহু ত্ৰিভুজ

সমবাহু ত্ৰিভুজ
প্ৰকাৰ	সাধাৰণ বহুভুজ
বাহু আৰু শীৰ্ষ	৩
Schläfli symbol	{৩}
Symmetry group	D৩
ক্ষেত্ৰফল	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
আন্তঃকোণ (ডিগ্ৰী)	৬০°

জ্যামিতিত, এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ (ইংৰাজী: Equilateral triangle) হৈছে এনে এটা ত্ৰিভুজ য'ত তিনিটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য একে। ইকুইডীয় জ্যামিতিত, এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কোণ কেইটাও সমান মাপৰ; অৰ্থাৎ, তিনিওটা অভ্যন্তৰীণ কোণ পৰস্পৰৰ সৈতে সমতাপূৰ্ণ আৰু প্ৰতিটোৰে মাপ ৬০°। ই এটা সাধাৰণ বহুভুজ, সেয়েহে ইয়াক এক সাধাৰণ ত্ৰিভুজ বুলিও কোৱা হয়।

নীতি বৈশিষ্ট্য

এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ। ইয়াৰ তিনিওটা বাহু সমান (${\displaystyle a=b=c}$), তিনিওটা কোণৰ মাপ সমান(${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$), আৰু সমান উচ্চতা যুক্ত (${\displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$)।

সমান বাহুবোৰৰ মাপ ${\displaystyle a}$ বুলি ধৰিলে, আমি পাইথাগোৰাচৰ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰিলে পাওঁ যে- *ক্ষেত্ৰফল বা কালি${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$,

• পৰিধি ${\displaystyle p=3a\,\!}$
• পৰিবৃত্ত ব্যাসাৰ্ধ ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$
• এটা ত্ৰিভুজৰ আন্তঃবৃত্ত আৰু বৰ্হি বৃত্তৰ ব্যসাৰ্ধ ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$ or ${\displaystyle r={\frac {R}{2}}}$
• ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰ বিন্দুটোৱেই ইয়াৰ আন্তঃবৃত্ত আৰু বৰ্হি বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ।
• ত্ৰিভুজৰ যিকোনো বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰ পৰা ইয়াৰ শীৰ্ষ বিন্দুৰ উচ্চতা ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

ত্ৰিভুজৰ বৰ্হি বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ R বুলি ধৰি ত্ৰিকোণমিতিৰ সহায়ত:

• ত্ৰিভুজটোৰ কালি বা ক্ষেত্ৰফল ${\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

শীৰ্ষ বিন্দু আৰু বিপৰীত বাহুৰ উচ্চতা(h)ৰ সৈতে এই পৰিমাণবোৰৰ সৈতে সৰল সম্পৰ্ক আছে:

• কালি বা ক্ষেত্ৰফল ${\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$
• শীৰ্ষ বিন্দুৰ পৰা কেন্দ্ৰ বিন্দুলৈ টনা ৰেখা খণ্ডৰ দৈঘ্য ${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$
• শীৰ্ষ বিন্দুক পৰিবেষ্টিত কৰা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ হৈছে

${\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}$

এটা সমবাহু ত্ৰিভুজত, উচ্চতা, কোণ ৰ দ্বিখণ্ডক, লম্ব দ্বিখণ্ডক, আৰু প্ৰতিটো বাহুৰ মধ্যমাবোৰ একে লগ হয়।

বিভিন্ন সূত্ৰ আৰু বৈশিষ্ট্য

এটা ABC সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰত-

বাহু

• ${\displaystyle \displaystyle a=b=c}$
• ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$^[1]

অৰ্ধ পৰিসীমা

• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}$^[2]
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$^[3]
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T}$^[4]
• ${\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$

কোণ সমূহ

• ${\displaystyle \displaystyle A=B=C=60^{\circ }}$
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}$^[5]

ক্ষেত্ৰফল বা কালি

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }$ (Weitzenböck)^[6]
• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}}$^[4]

সমবাহু ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা, কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক আৰু উচ্চতা ৰেখাৰ দৈঘ্য একেই।^[7]

• তিনিওডাল উচ্চতা ৰেখাৰ দৈঘ্য সমান।
• তিনিওডাল মধ্যমাৰ দৈঘ্য সমান।
• তিনিওটা কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক তিনিডালৰ দৈঘ্যও সমান।

জ্যামিতিক অংকন

স্কেল আৰু কম্পাছৰ দ্বাৰা সম ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা বৃত্তৰ অঙ্কনৰ দ্বাৰা এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ অঁকা হৈছে।

এডাল পেঞ্চিল কম্পাছ, আৰু স্কেলৰ সহায়ত অতি সহজেই এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব পৰা যায়।

• এডাল ৰেখাখণ্ড আঁকি ইয়াৰ মধ্যত যিকোনো এটা বিন্দু ল'ব লাগে।
• বিন্দুটোক কেন্দ্ৰ কৰি যিকোনো ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত অংকন কৰিব লাগিব। ই ৰেখাখণ্ডক দুটা বিন্দুত কাটিব।
• বৃত্তই স্পৰ্শ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ তলৰ বিন্দুৰ পৰা বৃত্তৰ পূৰ্বৰ ব্যাসাৰ্ধৰ সমান ব্যাসাৰ্ধ লৈ এটা বৃত্তচাপ আঁকিব লাগিব, ই পূৰ্বৰ বৃত্তক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰিব। স্কেলৰ সহায়ত এই বিন্দু দুটা সংযোগ কৰিব লাগিব। লগতে এই বিন্দু দুটাৰ পৰা বৃত্তই ছেদ কৰা ৰেখাখণ্ড ডালৰ শীৰ্ষ বিন্দুটোক সংযোগ কৰিলে এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ পোৱা যাব।

ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰৰ নিৰ্মাণ

ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰ ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

a দৈঘ্য যুক্ত বাহুৰ পৰা পাইথেগাৰাছৰ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি বা ত্ৰিকোণমিতিৰ সহায়ত সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰ নিৰ্মাণ কৰিব পাৰি।

পাইথেগাৰাছৰ উপপাদ্যৰ প্ৰয়োগ

এটা ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল ত্ৰিভুজৰ a দৈঘ্য আৰু উচ্চতা hৰ পূৰণফলৰ আধা:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$

২ একক বাহু দৈঘ্যৰ এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা √৩, যিহেতু sine ৬০° √৩/২।

সমকোণী ত্ৰিভুজৰ ভূমি দৈঘ্য "a" বাহু দৈঘ্যৰ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ভূমিৰ আধা, আৰু অতিভূজ ডাল হ'ব সমবাহু ত্ৰিভুজটোৰ এটা বাহু। গতিকে অতিভূজৰ দৈঘ্য হ'ব "a।" এতিয়া পাইথেগাৰাছৰ উপপাদ্যৰ প্ৰয়োগ কৰিলে ত্ৰিভুজটোৰ উচ্চতা পোৱা যাব:

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$

গতিকে

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$

এতিয়া ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰত ত্ৰিভুজৰ উচ্চতাৰ মান বহুৱালে পোৱা যাব:

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$

ত্ৰিকোণমিতিৰ ব্যৱহাৰৰ

যিকোনো দুটা বাহু ক্ৰমে a আৰু bৰ লগতে এটা কোন C যুক্ত এটা ত্ৰিভুজৰ কালি বা ক্ষেত্ৰফল ত্ৰিকোণমিতিৰ ব্যৱহাৰৰ দ্বাৰা নিৰ্ণয় কৰিলে সূত্ৰটো হ'ব-

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মাপ ৬০°, গতিকে

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$

sine ৬০° হৈছে ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$। গতিকে

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

যিহেতু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো বাহুৰ দৈঘ্য সমান।

বাস্তৱ জীৱনত প্ৰয়োগ

মানুহে তৈয়াৰ কৰা বিভিন্ন নিৰ্মাণ কাৰ্যত সমবাহু ত্ৰিভুজৰ বহুল ব্যৱহাৰ পৰিলক্ষিত হয়:

• আধুনিক স্থাপত্য যেনেঃ গেটৱে অৰ্চ। ^[8]

গেটৱে আৰ্চ

• পতাকাৰ আকৃতি বা ভিতৰৰ চিহ্ন আদিত। যেনেঃ নিকাৰাগুৱা, ফিলিপাইন দেশৰ মেপ।^{[9] [10]}
• পথ সুৰক্ষা সম্বন্ধীয় বিভিন্ন চিহ্ন আদিত সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ব্যৱহাৰ হয়।^[11]

তথ্যসূত্ৰ

1. Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). "An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications". Research Group in Mathematical Inequalities and Applications খণ্ড 11 (1). http://rgmia.org/papers/v11n1/equivalent.pdf. 
2. Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). "An elementary proof of Blundon's inequality". Journal of inequalities in pure and applied mathematics খণ্ড 9 (4). http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/220_08_JIPAM/220_08_www.pdf. 
3. Blundon, W. J. (1963). "On Certain Polynomials Associated with the Triangle". Mathematics Magazine খণ্ড 36 (4): 247–248. doi:10.2307/2687913. 
4. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). When less is more. Visualizing basic inequalities. Mathematical Association of America. পৃষ্ঠা. 71, 155. 
5. উদ্ধৃতি ত্ৰুটি: অবৈধ <ref> টেগ; Cosmin নামৰ refৰ বাবে কোনো পাঠ্য প্ৰদান কৰা হোৱা নাই
6. McLeman, Cam; Ismail, Andrei. "Weizenbock's inequality". PlanetMath. Archived from the original on 2012-02-18. https://web.archive.org/web/20120218055252/http://planetmath.org/encyclopedia/WeizenbocksInequality.html. 
7. Owen, Byer; Felix, Lazebnik; Deirdre, Smeltzer (2010). Methods for Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. পৃষ্ঠা. 36, 39. 
8. Pelkonen, Eeva-Liisa; Albrecht, Donald, eds (2006). Eero Saarinen: Shaping the Future. Yale University Press. পৃষ্ঠা. 160, 224, 226. ISBN 978-0972488129. https://archive.org/details/eerosaarinenshap0000saar/page/160. 
9. White, Steven F.; Calderón, Esthela (2008). Culture and Customs of Nicaragua. Greenwood Press. পৃষ্ঠা. 3. ISBN 978-0313339943. https://archive.org/details/culturecustomsof00stev/page/3. 
10. Guillermo, Artemio R. (2012). Historical Dictionary of the Philippines. Scarecrow Press. পৃষ্ঠা. 161. ISBN 978-0810872462. https://books.google.com/books?id=wmgX9M_yETIC&pg=PA161. 
11. Riley, Michael W.; Cochran, David J.; Ballard, John L. (December 1982). "An Investigation of Preferred Shapes for Warning Labels". Human Factors: The Journal of the Human Factors and Ergonomics Society খণ্ড 24 (6): 737–742. doi:10.1177/001872088202400610.