Ecuación de movimientu

Ecuación de movimientu
ecuación diferencial

En física, una ecuación de movimientu ye la formulación matemática que define la evolución temporal d'un sistema físicu nel espaciu. Esta ecuación rellaciona la derivada temporal d'una o delles variables que caractericen l'estáu físicu del sistema, con otres magnitúes físiques que provoquen los cambeos n'este.

Na dinámica del puntu material, la ecuación de movimientu determina la posición futura d'un oxetu o partícula móvil en función d'otres variables como, la so velocidá, la so aceleración, la so masa y cuantes variables puedan afecta-y nel so movimientu xunto coles condiciones iniciales. N'otres árees de la física como la mecánica de los medios continuos o la teoría de campos falar d'ecuación de movimientu polo xeneral pa describir les ecuaciones d'evolución o variación temporal del sistema.

Ecuaciones de movimientu en mecánica clásica

Históricamente'l primer exemplu d'ecuación del movimientu que s'introdució en física foi la segunda llei de Newton pa sistemes físicos compuestos d'amestaos partícules materiales puntuales. Nestos sistemes l'estáu dinámicu d'un sistema quedaba afitáu pola posición y velocidá de toles partícules nun intre dau. Escontra finales del sieglu XVIII introducióse la mecánica analítica o racional, como xeneralización de les lleis de Newton aplicables a sistemes de referencia inerciales. Concibiéronse dos enfoques básicamente equivalentes conocíos como mecánica lagrangiana y mecánica hamiltoniana, que pueden llegar a un eleváu grau d'astracción y formalización n'ecuaciones diferenciales.

Sistemes discretos

Artículos principales: Dinámica del puntu material y Mecánica del sólidu ríxidu

Un sistema discretu de partícules o de sólidos ríxidos tien un númberu finito de graos de llibertá. Los exemplos clásicos d'ecuación del movimientu más conocíos son:

1. La segunda llei de Newton que s'usa en mecánica newtoniana: ${\displaystyle m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}-\mathbf {F} =0}$
2. Les ecuaciones de Euler-Lagrange qu'apaecen en mecánica lagrangiana: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L(q_{i},{\dot {q}}_{i})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L(q_{i},{\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}=0}$
3. Les ecuaciones de Hamilton qu'apaecen en mecánica hamiltoniana: ${\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H(p_{i},q_{i})}{\partial p_{i}}}\qquad {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H(p_{i},q_{i})}{\partial q_{i}}}}$

Sistemes continuos

Artículos principales: Mecánica de sólidos deformables y Mecánica de fluyíos

Munchos sistemes de la mecánica clásica se modelizan como un mediu continuu ente ellos los sólidos deformables y la mecánica de fluyíos. Estos sistemes riquen ecuaciones d'evolución temporal qu'arreyen ecuaciones diferenciales en derivaes parciales otra gran diferencia

Ecuaciones de movimientu en teoría de la relatividá

Na teoría de la relatividá esisten dos tipos d'entidaes físiques, les partícules y los campos. Anque n'última instancia, tal como establez la teoría cuántica de campos, les partícules son campos materiales altamente alcontraos, en teoría de la relatividá pueden tratase les partícules como entes físicos alcontraos nel espaciu-tiempu. La distinción ente estos tipos d'entidaes físiques fai qu'en teoría de la relatividá esistan dos tipos d'ecuaciones de movimientu:

1. Les ecuaciones de movimientu de les partícules materiales, que son la xeneralización relativista de les ecuaciones de la mecánica clásica.
2. Les ecuaciones de "movimientu" o evolución temporal de los campos físicos.

Ecuaciones de movimientu de partícules

L'análogu de la primer llei de Newton en teoría de la teoría de la relatividá postula que cuando sobre les partícules nun actúa nenguna fuercia estes muévense a lo llargo de les xeodésiques del espaciu-tiempu, esto ye, sobre les llinies más "rectes" posibles o de combadura mínima. Cuando sobre les partícules actúa dalguna fuercia, la ecuación del movimientu en términos de tiempu propiu de la partícula, los símbolos de Christoffel dependientes de la combadura del espaciu tiempu, y la fuercia total sobre la partícula vien dada por:

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}x^{k}}{\partial \tau ^{2}}}+m\sum _{i,j=0}^{3}\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial x^{i}}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{j}}{\partial \tau }}=F^{k}}$

Pa una partícula moviéndose al traviés d'un espaciu-tiempu planu (${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=0}$), con velocidá pequeña al respective de la de la lluz (${\displaystyle \tau \approx t}$) l'anterior ecuación amenorgar a la segunda llei de Newton.

Ecuaciones de movimientu en teoría clásica de campos

Los sistemes físicos formaos por un conxuntu de partícules interactuantes de la mecánica clásica y los sistemes físicos de partícules relativistes ensin interacción, son sistemes con un númberu finito de graos de llibertá, que les sos ecuaciones de movimientu vienen daes por ecuaciones diferenciales ordinaries como tolos exemplos anteriores. Sicasí, los campos físicos amás d'evolución temporal o variación nel tiempu, presenten variación nel espaciu. Esa carauterística fai que los campos físicos considérense informalmente como sistemes con un númberu infinitu de graos de llibertá. Les peculiaridaes de los campos faen que les sos ecuaciones de "movimientu" o evolución temporal vengan daes por ecuaciones en derivaes parciales en llugar d'ecuaciones diferenciales ordinaries.

El campu físico más importante nel contestu de la teoría de la Relatividá Especial ye'l campu electromagnéticu, que les sos ecuaciones d'evolución temporal vienen daes poles ecuaciones de Maxwell. Estes ecuaciones pueden escribise de diverses maneres y de diverses notaciones, anque nel contestu de la teoría de la relatividá convien escribiles en forma explícitamente covariante en términos del tensor campu electromagnéticu ${\displaystyle F^{\alpha \beta }}$. Nesa forma, les ecuaciones amenorgar a dos ecuaciones de la forma (unidaes cgs):

${\displaystyle {\partial F^{\alpha \beta } \over {\partial x^{\alpha }}}={4\pi \over c}J^{\beta }\qquad {\partial F_{\alpha \beta } \over \partial x^{\gamma }}+{\partial F_{\gamma \alpha } \over \partial x^{\beta }}+{\partial F_{\beta \gamma } \over \partial x^{\alpha }}=\epsilon _{\mu \beta \gamma }g^{\alpha \mu }{\partial F^{\beta \gamma } \over \partial x^{\alpha }}=0}$

Onde s'usó'l conveniu de sumación d'Einstein, ${\displaystyle J^{\beta }}$ son les componentes del cuadrivector densidá de corriente. Neses ecuaciones apaecen les coordenaes ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$ (onde c ye la velocidá de la lluz, t el tiempu, y (x,y,z) son les coordenaes cartesianes convencionales del espaciu tridimensional. Asina la evolución nel tiempu del campu electromagnéticu, si afitámonos nun puntu concretu del espaciu vien midida poles derivaes al respective de la coordenada x<el so>0</supo> = ct.

Nel contestu de la teoría xeneral de la relatividá apaez un problema adicional. La mesma xeometría del espaciu-tiempu vien representada por un campu tensorial llamáu tensor métricu. El mesmu campu gravitatoriu ye una manifestación de que la xeometría del espaciu-tiempu nun ye plana o euclídea. El campu gravitatoriu de fechu ye proporcional a la combadura del espaciu-tiempu. Les ecuaciones d'evolución vuelven ser ecuaciones diferenciales en derivaes parciales:

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{g_{\alpha \beta }R \over 2}+\Lambda g_{\alpha \beta }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }={R^{\rho }}_{\alpha \rho \beta }=\partial _{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\rho }-\partial _{\beta }\Gamma _{\rho \alpha }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }}$

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }={\frac {1}{2}}g^{\gamma \mu }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\mu }}}\right)}$

onde remanecen los símbolos de Christoffel qu'apaecíen na ecuación del movimientu de les partícules. A diferencia de les ecuaciones del campu electromagnéticu, estes ecuaciones del campu gravitatoriu o xeometría del espaciu-tiempu son ecuaciones non lliniales por cuenta de la presencia de términos que son el productu de dos Γ. Esto fai que les ecuaciones d'Einstein del campu gravitatoriu sían de mala solución.

Ecuaciones de movimientu en mecánica cuántica

En mecánica cuántica esisten diversos tipos d'ecuación de movimientu pa la función d'onda según el tipu de problema o sistema cuánticu estudiáu. Los exemplos más conocíos d'ecuación del movimientu son:

1. La ecuación de Schrödinger: ${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+O(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}$
2. La ecuación de Klein-Gordon: ${\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+\mu ^{2}\right]\psi =0}$
3. La ecuación de Dirac: ${\displaystyle i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=\left[c\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}p_{i}+\alpha _{0}mc^{2}\right]\psi }$

Referencies

Bibliografía

• Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6.
• Landau & Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.

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