Ecuación diferencial

Ecuación diferencial
Ecuación, problema computacional ^(es) y problema matemáticu

Una ecuación diferencial^[1] ye una ecuación na qu'intervienen derivaes d'una o más funciones desconocíes. Dependiendo del númberu de variables independientes respectu de les que se deriva, les ecuaciones diferenciales estremar en:

• Ecuaciones diferenciales ordinaries: aquelles que contienen derivaes al respective de una sola variable independiente.
• Ecuaciones en derivaes parciales: aquelles que contienen derivaes al respective de dos o más variables.

Un tercer tipu d'ecuación diferencial, usualmente non consideráu nos cursos introductorios del cálculu, son les ecuaciones diferenciales estocásticas que sirven pa definir exemplos de procesos estocásticos.

Historia

• La nacencia de la ciencia d'ecuaciones diferenciales afitar nel 11 de de payares de 1675, cuando Leibnitz asitió nun papel la ecuación Integral de y diferencial de y igual a la metá del cuadráu de y.^[2] En símbolos de Leibnitz

${\displaystyle \int {y{\text{ d}}y}={\frac {y^{2}}{2}}}$

• Newton formuló la llei de la gravitación, resolviendo dempués el sistema d'ecuaciones diferenciales correspondiente pa probar que la Tierra muévese alredor del Sol, describiendo aproximao una elipse, unu de que los sos focos ye'l Sol.
• Maxwell concibió una rellación ente corriente llétrica y el campu magnéticu correspondiente.
• Les ecuaciones diferenciales cumplieron un rol destacáu nel desenvolvimientu de les teoríes de radiu, radar, televisión y lletricidá xeneral.
• Les ecuaciones estremes estocásticas fueron introducíes con un tratamientu rigorosu por Kiyoshi Itō y Ruslan Stratonovich mientres los años 1940 y 1950.

Introducción

• Por casu considérase la llei, sofitada n'esperiencies, de que'l radiu se desintegra a una velocidá proporcional a la cantidá de radio presente, fechu que se describe por aciu la ecuación

${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=kQ}$ , Q la cantidá de radio ye función del tiempu t; de cuenta que Q = Q(t).^[3]

Una ecuación diferencial ye una ecuación qu'inclúi espresiones o términos qu'arreyen a una función matemática incógnita y les sos derivaes. Dellos exemplos d'ecuaciones diferenciales son:

• ${\displaystyle \,y'=2xy+1}$

ye una ecuación diferencial ordinaria, onde ${\displaystyle \,y}$ representa una función ensin especificar de la variable independiente ${\displaystyle \,x}$, esto ye, ${\displaystyle \,y=f(x)}$, ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}}$ ye la derivada de ${\displaystyle \,y}$ con al respective de ${\displaystyle \,x}$.

• La espresión ${\displaystyle {\frac {\partial o}{\partial x}}+{\frac {\partial o}{\partial y}}=0}$

ye una ecuación en derivaes parciales.

A la variable dependiente tamién se-y llama función incógnita (desconocida). La resolución d'ecuaciones diferenciales ye un tipu de problema matemáticu que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Puede llevase a cabu por aciu un métodu específicu pa la ecuación diferencial en cuestión o por aciu una tresformada (como, por casu, la tresformada de Laplace).

Orde de la ecuación

L'orde de la derivada más alta nuna ecuación diferencial denominar orde de la ecuación. Exemplos:

Orde 1: ${\displaystyle y'+y(x)=f(x)}$

Orde 2: ${\displaystyle y''+4y=0}$

Orde 3: ${\displaystyle xy'''-2xy''+4y'=0}$

Grau de la ecuación

Ye la potencia de la derivada de mayor orde qu'apaez na ecuación, siempres y cuando la ecuación tea en forma polinómica, de nun ser asina se considera que nun tien grau.

Ecuación diferencial llinial

Dizse qu'una ecuación ye llinial si tien la forma ${\displaystyle \,a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=g(x)}$, esto ye:

• Nin la función nin les sos derivaes tán alzaes a nenguna potencia distinta d'unu o cero.
• En cada coeficiente qu'apaez multiplicándoles namái intervién la variable independiente.
• Una combinación llinial de les sos soluciones ye tamién solución de la ecuación.

Exemplos:

• ${\displaystyle \,y'=y}$ ye una ecuación diferencial ordinaria llinial de primer orde, tien como soluciones ${\displaystyle y=f(x)=k\cdot y^{x}}$, con k un númberu real cualesquier.
• ${\displaystyle \,y''+y=0}$ ye una ecuación diferencial ordinaria llinial de segundu orde, tien como soluciones ${\displaystyle y=f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)\,}$, con a y b reales.
• ${\displaystyle \,y''-y=0}$ ye una ecuación diferencial ordinaria llinial de segundu orde, tien como soluciones ${\displaystyle \,a\cdot y^{x}+b\cdot 1/(y^{x})}$, con a y b reales.

Usos

Les ecuaciones diferenciales son bien utilizaes en toles cañes de la inxeniería pal modeláu de fenómenos físicos. El so usu ye común tantu en ciencies aplicaes, como en ciencies fundamentales (física, química, bioloxía) o matemátiques, como en economía.

• En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define'l movimientu d'una estructura ye:

${\displaystyle \mathbf {Mx} ''(t)+\mathbf {Cx} '(t)+\mathbf {Kx} (t)=\mathbf {P} (t)\,}$

Onde M ye la matriz que describe la masa de la estructura, C ye la matriz que describe'l amortiguamientu de la estructura, K ye la matriz de rixidez que describe la rixidez de la estructura, x ye vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P ye'l vector de fuercies (nodales equivalentes), y t indica tiempu. Esta ye una ecuación de segundu orde por cuenta de que tiense el desplazamientu x y el so primera y segunda derivada con respectu al tiempu.

• La vibración d'una cuerda ta descrita pola siguiente ecuación diferencial en derivaes parciales de segundu orde:

• ${\displaystyle {\partial ^{2}o \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}o \over \partial x^{2}},}$

onde ${\displaystyle t\,}$ ye'l tiempu y ${\displaystyle x\,}$ ye la coordenada del puntu sobre la cuerda y ${\displaystyle c\,}$ una constante que correspuende a la velocidá d'espardimientu de dicha onda. A esta ecuación llámase-y ecuación d'onda.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales

Nun esiste un procedimientu xeneral pa resolver ecuaciones diferenciales non lliniales. Sicasí, dellos casos particulares de non linealidad sí pueden ser resueltos. Son d'interés el casu semilineal y el casu cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria d'orde n llámase cuasilineal si ye "llinial" na derivada d'orde n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria pa la función ${\displaystyle \scriptstyle y(x)}$ puede escribise na forma:

${\displaystyle f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)=0,\qquad \qquad f_{1}(z):=f(z,\alpha _{n-1},\dots ,\alpha _{2},\alpha _{1},\alpha _{0},\beta _{0})}$

Dizse que dicha ecuación ye cuasilineal si ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}(\cdot )}$ ye una función allegada, esto ye, ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}(z)=az+b}$.

Una ecuación diferencial ordinaria d'orde n llámase semilineal si puede escribise como suma d'una función "llinial" de la derivada d'orde n más una función cualesquier del restu de derivaes. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria pa la función ${\displaystyle \scriptstyle y(x)}$ puede escribise na forma:

${\displaystyle f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)={\hat {f}}(y^{(n)},x)+g(y^{(n-1)},\dots ,y',y,x)\qquad \qquad f_{2}(z):={\hat {f}}(z,\beta _{0})}$

Dizse que dicha ecuación ye semilineal si ${\displaystyle \scriptstyle f_{2}(\cdot )}$ ye una función llinial.

Solución d'una ecuación diferencial

Tipos de soluciones

Una solución d'una ecuación diferencial ye una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada casu coles derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, esto ye, convertir nuna identidá. Hai tres tipos de soluciones:

1. Solución xeneral: una solución de tipu xenéricu, espresada con una o más constantes.

Solución xeneral

Ye un fexe de curves. Tien un orde de infinitud d'alcuerdu a la so cantidá de constantes (una constante correspuende a una familia a cencielles infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En casu de que la ecuación seya llinial, la solución xeneral llógrase como combinación llinial de les soluciones (tantes como l'orde de la ecuación) de la ecuación homoxénea (que resulta de faer el términu non dependiente de ${\displaystyle y(x)}$ nin de les sos derivaes igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

1. Solución particular: Si afitando cualquier puntu ${\displaystyle P(X_{0},Y_{0})}$ por onde tien de pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, esiste un únicu valor de C, y polo tanto de la curva integral que satisfai la ecuación, ésti va recibir el nome de solución particular de la ecuación nel puntu ${\displaystyle P(X_{0},Y_{0})}$, que recibe'l nome de condición inicial.

Solución particular

Ye un casu particular de la solución xeneral, onde la constante (o constantes) recibe un valor específicu.

1. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que nun se llogra particularizando la solución xeneral.

Solución singular

Solución de la ecuación non consistente nuna particular de la xeneral.

Observaciones sobre les soluciones

• Sía la ecuación diferencial ordinaria d'orde n ${\displaystyle f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)=0,}$ ( ye fácil verificar que la función y= f(x) ye la so solución. Basta calcular les sos derivaes de f(x), depués reemplazales na ecuación , xunto con f(x) y probar que se llogra una identidá en x.
• Les soluciones de Y.D.O. se presentanen forma de funciones implícitamente definíes, y dacuando imposibles d'espresar de manera esplícita. Por casu^[4]

${\displaystyle xy=\log y+c}$

que ye solución de

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}={\frac {y^{2}}{1-xy}}}$

• La más simple de toles ecuación ye ${\displaystyle {\text{d}}y/{\text{d}}x=f(x)}$ que la so solución ye ${\displaystyle y=\int {f(x)\ {\text{d}}x}+c}$

En dellos casos ye posible resolver por métodos elmentales del cálculu. Sicasí, n'otros casos, la solución analítica rique téuniques de variable complexa o más sofisticaes como asocede coles integrales:

${\displaystyle y=\int {\exp(x^{2})\ {\text{d}}x}}$ y na integral ${\displaystyle y=\int {{\frac {\sin x}{x}}\ {\text{d}}x}}$

nun puede estructurase por aciu un númberu finito de funciones elementales.^[5]

Resolución de delles ecuaciones

• Ecuación diferencial de primer orde
• Ecuación diferencial llinial
• Ecuación diferencial exacta
• Ecuación de Jacobi
• Ecuación de Clairaut y tamién se llamen ecuaciones d'estáu diferencial que como les ecuaciones lliniales de dos variables, éstes son tanxentes.

Ver tamién

• Historia de les ecuaciones diferenciales
• Función diferenciable
• Ecuación integral
• Formulación débil d'una ecuación diferencial

Referencies

1. Esti términu apaez nel Diccionariu de l'Academia de la Llingua Asturiana. Ver: integral (Integración [d’una ecuación diferencial].)
2. Boyce-Di Prima. Ecuaciones diferenciales y problemes con valores na frontera. ISBN 968-18-0107-5
3. Kells. Ecuaciones diferenciales elementales.
4. Simmons. Ecuaciones diferenciales. Llibros Mc Graw Hill
5. Simmons. Op. cit.

Bibliografía

• Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupu Editorial Iberoamérica
• José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes d'ecuaciones diferenciales I. Universidá Complutense de Madrid.
• José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes d'ecuaciones diferenciales II (EDPs) Archiváu 2013-07-14 en Wayback Machine. Universidá Complutense de Madrid.

Enllaces esternos

• Soluciones exactes d'Ecuaciones Diferenciales Ordinaries
• Soluciones exactes d'Ecuaciones Diferenciales Lliniales en derivaes parciales
• diferenciales-y-de-diferencies Programa pa resolver Ecuaciones diferenciales ordinaries escritu en Matlab