Esferoide

Un esferoide, nomáu tamién elipsoide de revolución o elipsoide rotacional, ye una superficie cuádrica obtenida faciendo rotar una elipse alredor d'ún de los sos exes principales; esto ye, ye un elipsoide con dos semidiámetros iguales y simetría esférica. Si facemos rotar la elipse sobre'l so exe mayor obtenemos un esferoide prolatu, que ye allargáu como un balón de rugbi. Si rotamos la elipse alredor del so exe menor obtiénse un esferoide oblatu, aplanáu como una llenteya. Si la elipse xeneradora ye un círculu el resultáu qu'hemos obrener será una esfera.

L'efectu combináu de la gravedá ya la rotación faen que la forma de la Tierra (y la de tolos planetes en xeneral) nun seya una esfera perfecta, sinón que tea llixeramente aplanada na dirección del so exe de rotación. Por esi motivu, en cartografía y xeodesia aveza a aproximase la so forma a la d'un esferoide obletu, nomáu elipsoide de referencia, en cuenta de representala como una esfera. El modelu actual de Sistema Xeodésicu Mundial usa un esferoide que tien un radiu de 6.378.137 km nel ecuador y 6.356.752 km nos polos.

Ecuación

The assignment of semi-axes on a spheroid. It is oblate if c < a (left) and prolate if c > a (right).

La ecuación d'un elipsoide triaxial, centráu nel orixe y colos semiexes a, b y c qe siguen los exes de coordenaes ye

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

La ecuación d'un esferoide con z como exe de simetría obtiense afitando que a = b:

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

El semiexe a ye'l radiu ecuatorial del esteroide, y c ye la distancia dende'l centru hasta un polu a lo llargo del exe de simetría. Hai dos posibilidaes:

• Si c < a tenemos un esferoide oblatu;
• y si c > a tenemos un esferoide prolatu.

Cuando a = c tenemos una esfera, non un esferoide.

Propiedaes

Área

Un esferoide oblatu, nel que c < a, tien la siguiente superficie:

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

L'esferoide oblatu xenérase a partir de la rotación, alredor del exe z, d'una elipse con un exe semimayor a y un exe semimenor c. De resultes, puede identificase e como la so escentricidá^[1].

Un esferoide prolatu, nel que c > a, tien la siguiente superficia:

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

L'esferoide prolatu xenérase a partir de la rotación, alredor del exe z, d'una elipse con un exe semimayor c y un exe semimenor a. Tamién nesti casu podemos identificar e como la so escentricidá^[2].

Estes fórmules son idéntiques, nel sentíu de que la fórmula primera puede usase pa calcular la superficie de cualesquier esferoide prolatu, y viceversa. Por embargu, si facemos eso e conviértese nún númberu imaxinariu, y yá nun puede ser identificáu cola escentricidá. Dambos resultaos pueden ser convertíos en munches otres formes usando identidaes matemátiques estándar y rellaciones ente dellos parámetros de la elipse.

Volume

El volume comprendíu dientru d'un esferoide (de cualesquier tipu) ye

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

Si A = 2a ye'l diámetru ecuatorial, y C = 2c ye'l diámetru polar, entóncenes el volumen ye

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

Curvatura

Si parametrizamos un esferoide como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

donde β ye la llatitú reducida o llatitú paramétrica, λ ye la llonxitú, y −π/2 < β < +π/2 y −π < λ < +π, entóncenes la curvatura gaussiana del esferoide ye

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

y la so curvatura media ye

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Dambes curvatures son siempre positives, de lo que podemos deducir que tolos puntos d'un esferoide son elípticos.

Rellación d'aspectu

La rellación d'aspectu d'un esferoide oblatu, c : a, ye la rellación ente les sos llonxitúes polar y equatorial, mentantu que l'achaplamientu, f, ye la rellación ente la diferencia de llonxitú ente ecuador y polos y la llonxitú ecuatorial.

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

Munches veces úsase, en cuenta l'achaplamientu, la primera escentricidá (o, a cencielles, escentricidá)^[3]. Esta defínese asina:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Les rellaciones ente escentricidá y achaplamientu son:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

Tolos elipsoides xeodésicos modernos defínense pola so rellación d'aspectu (exe semimayor más exe semimenor), el so achaplamientu o la so primer escentricidá. Magar que toes estes definiciones son matemáticamente intercambiables los cálculos, aplicaos al mundu real, pierden daqué precisión. Pa evitar confusioones toles definiciones elipsoidales, usen la definición qu'usen, consideren los valores de so como exactos na forma na que tán espresaos.

Aplicaciones

Les formes más comunes que toma la distribución de densidá de protones y neutrones nún nucleu atómicu son la esférica, la esferoidal prolata y la esferoidal oblata, formes nes que l'exe polar asúmese que ye'l exe de xiru (o la dirección del vector de momentu angular de xiru). L'apaición de formes nucleares deformaes ye'l resultáu de la competencia ente la repulsión electromagnética ente protones, la tensión superficial y los efectos de capa cuántica.

Esferoides oblatos

Xúpiter ye un esferoide oblatu, y tien un achaplamientu de 0,06487.

L'esferoide oblatu ye la forma aproximada de tolos planetes que roten, como la Tierra, Saturnu o Xúpiter, y d'otros oxetos celestiales, como la estrella de rotación rápida Altair. Saturny, con un achaplamientu de 0,09796, ye'l planeta más oblatu del Sistema Solar.

Isaac Newton, a partir de los esperimentos pendulares de Jean Richer y de les teoríes de Christiaan Huygens pa interpretalos, razonó que Xúpiter y la Tierra son esferoides oblatos por culpa de la so fuerza centrífuga^[4][5]. Tolos sistemes cartográficos y xeodésicos aplicaos a la Tierra básanse n'elipsoides de referencia oblatos.

Esferoides prolatos

Balón de rugbi.

El balón de dellos deportes, como'l rugbi, tien una forma aproximada a la d'un esferoide prolatu. Tamién la tienen delles llunes del Sistema Solar, magar que son en realidá elipsoides triaxiales: los satélites de Saturnu Mimas, Enceláu y Tetis, y el satélite d'Uranu Miranda.

Los oxetos celestiales, que son distorsionaos en forma oblata pola rotación rápida, distorsiónense llixeramente en forma prolata, por culpa de les fuerces de marea, cuando orbiten un cuerpu masivu nuna órbita cercana. L'exemplu más estremu ye la lluna de Xúpiter Io, que ye llixeramente más o menos prolatu a lo llargo la so órbita por culpa d'una llixera escentricidá, y tien un intensu volcanismu por esi fenómenu. Nesti casu l'exe mayor del esferoide prolatu nun pasa polos polos del satélite, sinón polos dos puntos del so ecuador más alloñaos que miren directamente al exe primariu.

Considérase tamién que tienen esta forma delles nebuloses, como la Nebulosa del Cámbaru^[6]. Les zones de Fresnel, que s'usen p'analizar la propagación de les ondes y la interferencia nel espaciu, son series d'esferoides prolatos concéntricos colos exes principales aliniaos a lo llargo de la llinia directa que separta a un tresmisor y un receptor.

Tamién tienen forma d'esferoide prolatu: los nucleos atómicos de los elementos actínidos y lantánidos^[7]; órganos antaómicos cuasi-esferoidales, como los testículos, que pueden medise polos sos exes mayores y menores^[8]; y munchos submarinos^[9].

Propiedaes dinámiques

Cuando un esferoide tien una densidá uniforme, el so momentu d'inercia ye'l mesmu que'l d'un elipsoide con un exe de simetría adicional. Como la definición d'un esferoide establez qu'esti tien un exe mayor c, y exes menores a = b, entóncenes los momentos d'inercia a lo llargo d'esos exes principales son C, A, y B. Por embargu, nún esferoide los exes menores son simétricos. D'ello podemos deducir que los términos d'inercia a lo llargo los exe mayores son^[10]:

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

siendo M la masa del cuerpu, definida pola siguiente fórmula:

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$

Referencies

1. Puede vese una derivación d'esti resultáu en «Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com. Archiváu dende l'orixinal, el 2000-09-03. Consultáu'l 24 June 2014.
2. Puede vese una derivación d'esti resultáu en «Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com (7 October 2003). Archiváu dende l'orixinal, el 2000-06-21. Consultáu'l 24 June 2014.
3. Brial P., Shaalan C.(2009), Introduction à la Géodésie et au geopositionnement par satellites Archiváu 2020-10-30 en Wayback Machine, p.8
4. «Isaac Newton and the Problem of the Earth's Shape». History of Exact Sciences (Springer) 49 (4):  páxs. 371–391. 1995. doi:10.1007/BF00374704. 
5. Durant, Will; Durant, Ariel MJF Books: The Story of Civilization: The Age of Louis XIV. ISBN 1567310192.
6. Trimble, Virginia Louise (October 1973), «The Distance to the Crab Nebula and NP 0532», Publications of the Astronomical Society of the Pacific 85 (507): 579, doi:10.1086/129507, Bibcode: 1973PASP...85..579T 
7. «Nuclear fission - Fission theory». Archiváu dende l'orixinal, el 2015-09-07.
8. Page 559 in: (2012) Elsevier Health Sciences: Introduction to Vascular Ultrasonography. ISBN 9781455737666.
9. «What Do a Submarine, a Rocket and a Football Have in Common?». Scientific American (8 November 2010). Archiváu dende l'orixinal, el 2014-03-28. Consultáu'l 13 June 2015.
10. Weisstein, Eric W.. «Spheroid.». MathWorld--A Wolfram Web Resource.. Archiváu dende l'orixinal, el 2000-05-20. Consultáu'l 16 May 2018.