Grupu fundamental

Por aciu llazos con base nun puntu fixu podemos esplorar l'espaciu topolóxicu al que pertenez. Les clases d'equivalencia d'estos llazos van formar el grupu fundamental.

En topoloxía, podemos acomuñar a cada puntu p d'un espaciu topolóxicu X un grupu que nos informa sobre la estructura 1-dimensional de la porción d'espaciu qu'arrodia a esti puntu. Los elementos d'esti grupu, llamáu grupu fundamental de X relativu al puntu base p,^[1] son clases d'equivalencia de llazos (curves zarraes) con orixe nel puntu p.

Esisten xeneralizaciones a dimensión cimera d'esti grupu, que reciben el nome de grupos de homotopía. El grupu fundamental recibe tamién el nome de primer grupu de homotopía. D'ende la forma común de notalo como ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)\,}$.

Definiciones

Llazu

Sía ${\displaystyle X}$ un espaciu topolóxicu, y ${\displaystyle p}$ un puntu fixu de ${\displaystyle X}$. Un llazu con base en ${\displaystyle p}$ ye una aplicación continua ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to X}$ que verifica ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$.

El productu ${\displaystyle \alpha *\beta }$ de dos llazos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ defínese como ${\displaystyle (\alpha *\beta )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\\beta (2t-1)&{\frac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}}$ Esto ye, el llazu ${\displaystyle \alpha *\beta }$ primero percuerre'l camín de ${\displaystyle \alpha }$, pero a "doble velocidá" y dempués el de ${\displaystyle \beta }$, tamién a doble velocidá.

Clases de homotopía

Les clases de homotopía son les clases d'equivalencia debíes a la rellación de ser homotópico. Dos llazos ${\displaystyle \alpha ,\beta :[0,1]\to X\,}$ con base nun puntu común p son homotópicos si esiste una aplicación continua ${\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\to X\,}$ tal que

${\displaystyle H(s,0)=\alpha (s)\,}$

${\displaystyle H(s,1)=\beta (s)\,}$

${\displaystyle H(0,t)=p\,}$

${\displaystyle H(1,t)=p\,}$.

Intuitivamente una clase de homotopía representa un paquete de curves que son deformables ente sigo.

Grupu fundamental

El productu de dos clases de homotopía de llazos [f] y [g] defínese como [f ∗ g]. Puede demostrase qu'esti productu ta bien definíu al ser independiente de la eleición de representantes. Esti productu déxanos llograr una estructura de grupu: l'elementu neutru va ser la clase [γ] del llazu trivial definíu como γ(t) = p pa tou t; l'inversu de la clase d'un llazu [f] va ser la clase del mesmu llazu percorríu en sentíu contrariu (esto ye, g ye l'elementu simétricu de f si y solu si f(t)=g(1-t) pa tou t ∈ [0,1]).

El grupu fundamental d'un espaciu topolóxicu ${\displaystyle X\,}$ basáu nun puntu ${\displaystyle p\in X}$, notáu como ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)\,}$, ye'l conxuntu de clases de homotopía de curves zarraes cola operación yuxtaponer clases.

Propiedaes

• Si l'espaciu ye arcu-conexu, los distintos grupos ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)\,}$ y ${\displaystyle \pi _{1}(X,q)\,}$ pa dos puntos ${\displaystyle p,q\in X}$ son isomorfos. Siendo posible falar de el grupu fundamental del espaciu: ${\displaystyle \pi _{1}(X)\,}$. Esti isomorfismu nun ye natural polo xeneral.
• Una aplicación continua ${\displaystyle f:X\to Y}$ ente dos espacios topolóxicos induz una aplicación del conxuntu de llazos de X sobre'l de llazos de Y. Esta aplicación induzse tamién sobre les clases respeutives y conviértese nun homomorfismo ${\displaystyle f_{*}}$ ente los grupos fundamentales definíu d'esta miente: ${\displaystyle f_{*}[\alpha ]=[f\circ \alpha ]}$.
• La asignación dada por ${\displaystyle X\to \pi _{1}(X)\,}$ que va de la categoría d'espacios topolóxicos a la categoría de grupos ye un functor.
• Esti invariante puede ser calculáu por aciu la téunica de grafo de grupos conocida como'l Teorema de Seifert-van Kampen. Con esta resultancia basta descomponer l'espaciu en 2 espacios más simples onde'l grupu fundamental seya conocíu.

Exemplos

• En munchos espacios namái esiste una clase de homotopía de llazos, y arriendes d'ello, el grupu fundamental ye trivial. Un espaciu topolóxicu con grupu fundamental trivial dizse a cencielles conexu. Rⁿ, o cualesquier soconxuntu convexu de Rⁿ ser. La esfera de dimensión n con n mayor o igual que 2 tamién lo ye.

• L'espaciu topolóxicu más simple non a cencielles conexu ye la circunferencia: el so grupu fundamental ye isomorfu al grupu aditivu de los númberos enteros Z. El númberu enteru asociáu a cada llazu de ${\displaystyle S^{1}}$ ye'l númberu de vueltes qu'esi llazu da en redol a ella.

• Si X y Y son dos espacios topolóxicos arcoconexos, el grupu fundamental del productu X x Y ye isomorfu al productu de los grupos de dambos espacios. Por casu, si pa la circunferencia, ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$. Pal toru, homeomorfo a un productu de circunferencies,${\displaystyle \pi _{1}(T^{2})=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$.

• El grupu fundamental nun tien por qué ser conmutativu. Por casu, el grupu fundamental del planu priváu de dos puntos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{a;b\}}$ ye isomorfu al grupu llibre con dos xeneradores ${\displaystyle F_{2}}$. Estos dos xeneradores son les clases de los llazos que pasando por un puntu p arrodien a cada unu de los puntos esaniciaos. En delles clases particulares d'espacios topolóxicos, como por casu na de los grupos topolóxicos, el grupu fundamental sí resulta ser siempres abeliano.

Notes y referencies

1. Munkres: "Topoloxía" ISBN 978-84-205-3180-9, printed in spain

Bibliografía

• Masey, W.S. A basic course in algebraic topology. GTM 127. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X
• Munkres, J., Topology, Prentice Hall (2000) ISBN 0131816292

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Grupu fundamental.