Númberu imaxinariu

En matemátiques, particularmente n'álxebra, un númberu imaxinariu ye un númberu complexu que la so parte real ye igual a cero, por casu: ${\displaystyle 3i\ }$ ye un númberu imaxinariu, según ${\displaystyle i\ }$ o ${\displaystyle -i\ }$ son tamién númberos imaxinarios. Polo xeneral un númberu imaxinariu ye de la forma ${\displaystyle z=y\,i}$, onde ${\displaystyle y}$ ye un númberu real.

Definición

Los númberos imaxinarios pueden espresase como'l productu d'un númberu real pola unidá imaxinaria i, onde la lletra i denota la raigañu cuadráu de -1, esto ye:

${\displaystyle z=y\,i}$

Apaición y usos

Foi nel añu 1777 cuando Leonhard Euler dio-y a ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ el nome de i, por imaxinariu, de manera despreciatible dando a entender que nun teníen una esistencia real. Gottfried Leibniz, nel sieglu XVII, dicía que ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ yera una especie d'anfibiu ente'l ser y la nada.

N'inxeniería llétrica y campos rellacionaos, la unidá imaxinaria de cutiu indícase con j pa evitar el tracamundiu cola intensidá d'una corriente llétrica, tradicionalmente denotada por i.

Historia

Cronoloxía^[1]

Añu	----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"	1572	Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando númberos imaxinarios.
1777	Leonhard Euler utiliza'l símbolu “i” pa representar el raigañu cuadráu de -1.
1811	Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Planu complexu tamién conocida como planu de Argand

Otres representaciones

1. Como par ordenáu de númberos reales se denota: Z = (0; y)
2. Trigonométricamente z = cosπ/2 + isenα onde α ye un númberu real cualesquier.

Interpretación xeométrica

El productu por ${\displaystyle i}$ efectua rotaciones de 90 graos.

Geométricamente, los númberos imaxinarios representar na exa vertical del planu complexu y por tanto perpendicular a la exa real que ye horizontal, l'únicu elementu que comparten ye'l cero, yá que ${\displaystyle 0=0i}$. Esta exa vertical ye llamáu'l "exa imaxinaria" y ye denotado como ${\displaystyle i\mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {I} }$, o a cencielles ${\displaystyle \Im }$. Nesta representación tiense que:

• una multiplicación por –1 correspuende a una rotación de 180 graos sobre l'orixe.

• Una multiplicación por ${\displaystyle i}$ correspuende a una rotación de 90 graos nel sentíu "positivu" (nel sentíu antihorario), y el cuadráu de la ecuación ${\displaystyle i^{2}=-1}$ puede interpretase como efectuar dos rotaciones de 90 graos sobre l'orixe, equivalente a una rotación de 180 graos, ${\displaystyle -1}$.

• Una rotación de 90 graos na direición "negativa" (sentíu horariu) satisfai tamién esta interpretación, yá que ${\displaystyle -i}$ ye tamién una solución de la ecuación ${\displaystyle x^{2}=-1}$.

Polo xeneral, multiplicar por un númberu complexu ye lo mesmo que sufrir una rotación alredor del orixe pol argumentu del númberu complexu, siguíu d'un redimensionamiento a escala pola so magnitú.

Propiedaes

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle i^{-3}=\;\;\;i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}\;\;=\;\;\;1}$

${\displaystyle i^{1}\;\;=\;\;\;i}$

${\displaystyle i^{2}\;\;=-1}$

${\displaystyle i^{3}\;\;=-i}$

${\displaystyle i^{4}\;\;=\;\;\;1}$

${\displaystyle i^{5}\;\;=\;\;\;i}$

${\displaystyle i^{6}\;\;=-1}$

${\displaystyle \vdots }$

Tou númberu imaxinariu pue ser escritu como ${\displaystyle ib}$ onde ${\displaystyle b}$ ye un númberu real y ${\displaystyle i}$ ye la unidá imaxinaria.

Demostración

Como ${\displaystyle i^{2}=-1}$ tiense que: ${\displaystyle (bi)^{2}=b^{2}i^{2}=b^{2}(-1)=-b^{2}\;}$ que ye un númberu real. Sía ${\displaystyle -b}$ un númberu real negativu tiense que: ${\displaystyle {\sqrt {-b}}={\sqrt {(-1)b}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {-1}}{\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle =i\;{\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {b}}\;i.}$

Cada númberu complexu pue ser escritu unívocamente como una suma d'un númberu real y un númberu imaxinariu, d'esta forma:

${\displaystyle a+bi\,\!}$

Al númberu imaxinariu i denominar tamién constante imaxinaria.

Estos númberos estienden el conxuntu de los númberos reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ al conxuntu de los númberos complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Per otru llau, nun podemos asumir que los númberos imaxinarios tienen la propiedá, al igual que los númberos reales, de poder ser ordenaos d'alcuerdu al so valor.^[2] Esto ye, ye correutu afirmar que ${\displaystyle 1>0}$, y que ${\displaystyle -1<0}$; ésto deber a que ${\displaystyle 1-0>0}$ y ${\displaystyle -1-0<0}$. Esta regla nun aplica a los númberos imaxinarios, por cuenta de una simple demostración:

Recordemos que nos númberos reales, el productu de dos númberos reales, supónganse a y b, onde dambos son mayores que cero, ye igual a un númberu mayor que cero. Por casu ye xusto dicir que ${\displaystyle a=2>0}$, ${\displaystyle b=3>0}$, poro, ${\displaystyle (a)(b)=c>0}$, entós tenemos que ${\displaystyle (2)(3)=6}$, y obviamente ${\displaystyle 6>0}$.

Per otru llau, supóngase que ${\displaystyle i>0}$, entós tenemos que ${\displaystyle -1=(i)(i)>0}$, lo cual evidentemente ye falsu.

Y otramiente, faigamos l'erróneu camientu de que ${\displaystyle i<0}$, pero si multiplicamos por ${\displaystyle -1}$ quédanos que ${\displaystyle -i>0}$. Polo tanto tenemos que ${\displaystyle -1=(-i)(-i)>0}$. Lo que ye, igualmente que'l camientu anterior, totalmente falsu.

Vamos Concluyir qu'esti camientu y cualesquier otra d'intentar dar un valor ordinal a los númberos imaxinarios ye dafechu errónea.

Aplicaciones

• La unidá imaxinaria pue ser usada pa llograr formalmente los raigaños cuadraos de númberos negativos.
• Igualmente los raigaños cuadraos d'un númberu imaxinariu son númberos complexos, don una d'elles, ye de la forma k ( cos π/4 + i senπ/4) onde k ye un númberu real cualesquier.

• En física cuántica la unidá imaxinaria dexa simplificar la descripción matemática de los estaos cuánticos variables nel tiempu.
• En teoría de circuitos y corriente alterna la unidá imaxinaria usar pa representar ciertes magnitúes como fasores, lo cual dexa un tratamientu alxebraicu más simple de diches magnitúes.

Referencies

1. Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
2. Paul J. Nahin: Esto nun ye real. La hestoria de i. Libraria: Méxicu, 2008.