Paradoxa de Russell

La paradoxa de Russell o paradoxa del barberu, acreditada a Bertrand Russell, demuestra que la teoría orixinal de teoría de conxuntos conxuntos formulada por Cantor y Frege ye contradictoria.

La paradoxa en términos de conxuntos

Supongamos los casos de conxuntos que son miembros de sigo mesmos. Un exemplu descritu ye'l que supón un conxuntu que consta de "idees astractes". Dichu conxuntu ye miembru de sigo mesmu porque'l mesmu conxuntu ye una idea astracta. Otru exemplu sería una bolsa con bolses dientro. Per otru llau un conxuntu que consta de "llibros" nun ye miembru de sigo mesmu porque'l conxuntu en sí nun ye un llibru. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si'l conxuntu de los conxuntos que nun formen parte de sigo mesmos (esto ye, aquel conxuntu que engloba a toos aquellos conxuntos que nun tán incluyíos en sí mesmos, como'l de "llibros" nel exemplu anterior) forma parte de sigo mesmu. La paradoxa consiste en que si nun forma parte de sigo mesmu, pertenez al tipu de conxuntos que nun formen parte de sigo mesmos y polo tanto forma parte de sigo mesmu. Esto ye, va formar parte de sigo mesmu namái si nun forma parte de sí mesmu.^{[ensin referencies]}

Enunciáu formal de la paradoxa

Llamemos ${\displaystyle M_{}^{}}$ al "conxuntu de tolos conxuntos que nun se contienen a sigo mesmos como miembros". Ye dicir

(1)${\displaystyle M=\{x:x\notin x\}}$

Según la teoría de conxuntos de Cantor, la ecuación (1) puede representase por Ecuación|${\displaystyle \forall x\qquad x\in M\iff x\notin x}$|2}} ye dicir "Cada conxuntu ye elementu de ${\displaystyle M}$ si y namái si nun ye elementu de sí mesmu".

Agora, en vista de que ${\displaystyle M}$ ye un conxuntu, puédese substituir ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle M}$ na ecuación (2), d'onde se llogra

(3)${\displaystyle M\in M\iff M\notin M}$

Ye dicir que ${\displaystyle M}$ ye un elementu de ${\displaystyle M}$ si y namái si ${\displaystyle M}$ nun ye un elementu de ${\displaystyle M}$, lo cual ye absurdu.

La paradoxa en términos del barberu

La paradoxa de Russell foi espresada en dellos términos más cotidianos, el más conocíu ye la paradoxa del barberu que puede enunciase de la siguiente manera:

Nun llonxanu pobláu d'un antiguu emiratu había un barberu llamáu As-Samet diestru n'afaitar cabeces y barbes, maestru en escamondar pies y en poner sangrixueles. Un día l'emir dio cuenta de la falta de barberos nel emiratu, y ordenó que los barberos namái afaitaren a aquelles persones que nun pudieren afaitase. Ciertu día l'emir llamó a As-Samet por que lo afaitara y él cuntó-y el so congoxes: —Nel mio pueblu soi l'únicu barberu. Nun puedo afaitar al barberu del mio pueblu, ¡que soi yo!, yá que si facer, entós puedo afaitame por mi mesmu, polo tanto ¡nun tendría d'afaitar me! Pero, si pela cueta nun afaito, entós dalgún barberu tendría d'afaitame, ¡pero yo soi l'únicu barberu d'ellí! L'emir pensó que los sos pensamientos yeren tan fondos, que lo premió cola mano de la más virtuosa de les sos fíes. Asina, el barberu As-Samet vivió pa siempres feliz y barbón.[1]

En lóxica de primer orde, la paradoxa del barberu puede espresase como:

(4)${\displaystyle \forall x\qquad \mathrm {afaita} (x,barberu)\iff \neg \mathrm {afaita} (x,x)}$

Onde ${\displaystyle \mathrm {afaita} (x,y)}$ significa "${\displaystyle x}$ ye afaitáu por ${\displaystyle y}$". Lo anterior lleeríase como "Cada persona ye afaitada pol barberu si y namái si nun s'afaita a sigo mesma". Ye importante notar la semeyanza ente les ecuaciones (2) y (4). Al substituir ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle barberu}$ llógrase

(5)${\displaystyle \mathrm {afaita} (barberu,barberu)\iff \neg \mathrm {afaita} (barberu,barberu)}$

Ye dicir que'l barberu afaitar a sí mesmu si y namái si nun s'afaita a sigo mesmu, lo cual ye una contradicción.

Pero Russell dulda sobre esta formulación, él mesmu comenta “Nuna ocasión foime suxerida una formulación que nun yera válida; esto ye, la cuestión de si'l barberu afáitase o non a sigo mesmu. Ustedes pueden definir al barberu como “daquién qu'afaita a toos aquellos, y namái aquellos, que nun s'afaiten a sigo mesmos”. La entruga agora ye: ¿afáitase'l barberu a sigo mesmu?. Asina formulada, la contradicción nun ye bien malo de resolver.

Esplicación de la paradoxa

Los conxuntos son xuntes de coses, por casu de coches, llibros, persones, etc. y nesti sentíu vamos llamar conxuntos normales.

La carauterística principal d'un conxuntu normal ye que nun se contién a sigo mesmu. Pero tamién esisten conxuntos de conxuntos, como ${\displaystyle 2^{M}}$, que ye'l conxuntu de subconxuntos de M.

Un conxuntu de conxuntos ye normal salvu si podemos faer que se contenga a sigo mesmu. Esto postreru nun ye mal si tenemos el conxuntu de toles coses que NUN son llibros y como un conxuntu nun ye un llibru, el conxuntu de toles coses que NUN son llibros va formar parte del conxuntu de toles coses que NUN son llibros. Estos conxuntos que se contienen a sigo mesmos llámense conxuntos singulares.

Ta claro qu'un conxuntu dau o bien ye normal o bien ye singular, nun hai permediu, o se contién a sigo mesmu o nun se contién. Agora tomemos el conxuntu ${\displaystyle C}$ como'l conxuntu de tolos conxuntos normales. ¿Qué clase de conxuntu ye ${\displaystyle C}$? ¿Normal o Singular?

Si ye normal, va tar dientro del conxuntu de conxuntos normales, que ye ${\displaystyle C}$, depués yá nun puede ser normal, yá que se contién a sigo mesmu. Si ye singular, nun puede tar dientro del conxuntu de conxuntos normales, depués nun puede tar en ${\displaystyle C}$, pero si nun puede tar en ${\displaystyle C}$ entós nun ye singular, yá que nun se contién a sigo mesmu.

Referencies

1. López Mateos, Manuel (1978). Los Conxuntos. Méxicu D.F.: Publicaciones del Departamentu de Matemátiques, Facultá de Ciencies, UNAM.

Ver tamién

• Teoría de conxuntos
• Clase

Enllaces esternos

• Epsilones - Frege y la paradoxa de Russell
• conxuntos López Mateos, Manuel. Los conxuntos. N'Academia.edu.