Teorema de clasificación de grupos simples

En teoría de grupos, el teorema de clasificación de grupos simples, diseñar pa clasificar tolos grupos simples finitos. Estos grupos pueden ser vistos como los bloques que constrúin tolos grupos finitos, al mesma manera que los númberos primos constrúin los númberos naturales. El teorema de Jordan-Hölder ye la manera más precisa d'establecer esti fechu alrodiu de los grupos finitos.

El "teorema" ye principalmente una manera conveniente de describir gran cantidá d'escritos matemáticos, fechos en decenes de miles de páxines de más de 500 artículos escritos por más de cien autor en revistes matemátiques, la mayoría de los cualos fueron publicaes ente 1955 y 1983, dando cabida a duldar de la demostración y la completitud de la mesma, pol so llargor y complexidá.

El teorema de clasificación

El teorema ye enunciáu de la siguiente manera:

Tou grupu finito simple ye isomorfu a unu de los 26 grupos simples esporádicos o bien ye isomorfu a unu de los siguientes grupos: Un grupu cíclicu con orde primu *Un grupu alternante de grau siquier 5 Un grupu de Lie simple, incluyendo **Los grupos de Lie clásicos El grupu escepcional y grupos twisted incluyendo los grupos del Lie tipu Tit

Dalgunos consideren a los grupos Tit como grupos esporádicos por cuenta de que nun son puramente grupos de Lie, pero esta diferencia nun tien impautu nel teorema de clasificación.

Los primeros grupos esporádicos a ser descubiertos fueron los cinco primeros grupos de Mathieu, afayaos en 1860 por Émile Mathieu. Los otros 21 grupos esporádicos fueron atopaos ente los años 1965 y 1975. 20 de los 26 formen tres families (unu de los cualos ye la familia de los grupos de Mathieu), y son subgrupos o grupo cociente de los grupos de Monster, que ye'l grupu esporádicu col orde más altu. Los seis grupos esporádicos restantes definen una clasificación llamada los grupos paria.

El teorema de clasificación tien esvalixaes aplicaciones en munches cañes de les matemátiques, tales entrugues alrodiu de la estructura de los grupos finitos (y la so aición sobre otros oxetos matemáticos) pueden ser amenorgaes entrugues sobre grupos finitos simples. Ye debíu al teorema de clasificación , que tales entrugues puedes esclariase esaminando solo finitas configuracionessobremanera, caúna de les infinites families de cutiu pueden ser esaniciaes por un únicu argumentu.

Duldes alrodiu de la prueba

Esisten delles duldes tocantes a si la prueba, que estiéndese por más de 500 artículos, ye completa y correuta, y eses duldes xustificar en gran midida cuando s'atopen torgues y "buecos" en dellos argumentos. A pesar de toles torgues que s'atoparon partes de la supuesta prueba permanecen inamovibles. Jean-Pierre Serre ye un notable escépticu alrodiu de la supuesta prueba d'esti enorme teorema.^[1]

Mientres más d'una década, los espertos sabíen d'un "buecu" (acordies con Michael Aschbacher) nel teorema de clasificación ensin publicar por Geoff Mason de los grupos 'quasithin'. L'anunciu de Daniel Gorenstein en 1983 de que los grupos finitos simples fueren clasificaos, en parte basar nel so convencimientu de que'l casu de los grupos 'quasithin' fuera termináu. Foi hasta en 2004 que Aschbacher y Steve Smith publicaron una clasificación completa de dichos grupos que toma cerca de 1200 páxines.

Clasificación de segunda xeneración

La prueba del teorema, na so forma actual, pue ser llamada de primer xeneración. Por cuenta de l'estremu llargor de la prueba de la primer xeneración de la prueba, dedicóse enforma esfuerciu a la busca d'una prueba senciella, llamada prueba de segunda xeneración. Esti esfuerciu, llamáu "revisionismu", foi dirixíu por Daniel Gorenstein.

A partir de 2005, publicáronse seis volúmenes de la segunda xeneración de la prueba. Envalórase que la nueva prueba ye d'aproximao 5.000 páxines. Aschbacher y Smith escribieron los sos dos volúmenes dedicaos al casu quasithin, de tal manera que los volúmenes pueden ser parte de la segunda xeneración de la prueba.

Gorenstein y los sos collaboradores dieron delles razones poles qu'una simple prueba d'ello ye posible.

• Lo más importante ye que la declaración final del teorema qu'agora se conoz. La simplificación de téuniques que pueden aplicase a los grupos que sabemos conocemos como finitos y simples son afeches nesta xeneración. Sicasí, los que trabayaron na primer xeneración de la prueba nun conocíen la cantidá de grupos esporádicos, y de fechu dalgunos de los grupos esporádicos (por casu, el grupu de Janko) fueron descubiertos probando otros casos del teorema de clasificación. Como resultancia, munches de les pieces del teorema demostrar por aciu les téuniques que yeren demasiáu xenerales.

• Por cuenta de que la conclusión yera desconocida, la primer xeneración de la prueba componer de munchos teoremas autónomos, que traten d'importantes casos especiales. Gran parte del llabor de probar estos teoremas dedicar al analís de numberosos casos especiales. El preciu pagu en virtú de la presente estratexa, ye qu'estos teoremas de primer xeneración yá nun tienen pruebes curties, sinón que dependen de la clasificación completa.

• Munchos teorema de primer xeneración se superponen, y asina la los casos posibles en víes ineficientes. Como resultancia, les families y subfamilies de los grupos finitos simples identificáronse delles vegaes. La revisión de la prueba esanicia les redundancies esistentes na subdivisión de los casos.

• Anguaño los teóricos de grupos finitos tienen más esperiencia nesti tipu d'exerciciu, y tienen nueves téuniques a la so disposición.

Clasificación de tercer xeneración

Dalgunos designen los trabayos sobre'l problema de clasificación fechos por Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, y dalgunos otros, como prueba de tercer xeneración.

Referencies

1. Entrevista con Jean-Pierre Serre

Referencies

• Michael Aschbacher (2004) "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups," Notices of the American Mathematical Society.
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985) Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford University Press. ISBN 0198531990.
• Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, non. 6, páxs. 104-115.
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon (1994) The Classification of the Finite Simple Groups, Vol. 1, Volume 2. AMS, *

Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Introducción concisa al llector)

• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Ta, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (Otra introducción concisa al llector)
• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society.

Enllaces esternos

• ATLES of Finite Group Representations. (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). Base de datos de representaciones de grupos y otros datos alrodiu de grupos simples finitos.
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magacín, Issue 41, December 2006. For laypeople.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Archiváu 2005-04-04 en Wayback Machine Contién una llista de grupos simples non abelianos que'l so orde ye menor a 10¹⁰.