Topoloxía xeneral

El senu del topólogo, un exemplu útil en topoloxía xeneral. Ye conexu pero non Espaciu conexu per caminos conexu per caminos.

En matemátiques, la topoloxía xeneral ye la caña de topoloxía que trata les definiciones y construcciones básiques de teoría de conxuntos usaes en topoloxía. Contién los fundamentos de la mayoría de les otres cañes de la topoloxía, incluyendo topoloxía diferencial, topoloxía xeométrica, y topoloxía alxebraica.

Los conceutos fundamentales en topoloxía xeneral son continuidá, compacidad y conexón:

• Les funciones continues, intuitivamente, lleven puntos cercanos a puntos cercanos.
• Los conxuntos compactos son los que pueden ser cubiertos por finitos conxuntos arbitrariamente pequeños.
• Los conxuntos conexos son los que nun pueden ser estremaos en pieces alloñaes.

Les idees de «cercanu», «arbitrariamente cercanu» y «llonxanu» pueden espresase de forma precisa usando los conxuntos abiertos. Si camudamos qué conxuntos son abiertos, camudamos qué funciones son continues y qué conxuntos son compactos y/o conexos. Llámase topoloxía a cada eleición de conxuntos abiertos». Llámase espaciu topolóxicu a un conxuntu dotáu d'una topoloxía.

Los espacios métricos son una clase importante d'espacios topolóxicos nos que puede asignase un númberu a les distancies, llamada una métrica. La esistencia d'una métrica simplifica la mayoría de les demostraciones, y munchos de los espacios topolóxicos más comunes son tamién espacios métricos.

Historia

La topoloxía xeneral desenvolvióse gracies a delles árees, siendo les más importantes:

• l'estudiu detalláu de los soconxuntos de la llinia real
• la introducción del conceutu de variedá
• l'estudiu de los espacios métricos, especialmente de los espacios vectoriales normados, mientres los entamos analís funcional.

La topoloxía xeneral algamó la forma que se conoz anguaño n'alredor de 1940. Práuticamente tou prindar nuna forma apropiada de la noción de continuidá, que puede ser usada en cualquier área de la matemática.

Una topoloxía nun conxuntu

Sía X un conxuntu y sía τ una familia de soconxuntos de X. Dizse que τ ye una topología si:^[1][2]

1. El conxuntu vacíu y X son elementos de τ
2. Cualesquier unión d'elementos de τ ye un elementu de τ
3. Cualesquier interseición d'una cantidá finita d'elementos de τ ye un elementu de τ

Si τ ye una topoloxía en X, entós el par (X, τ) dizse espaciu topolóxicu. La notación X_τ puede ser usada pa denotar un conxuntu X dotáu de la topoloxía particular τ.

Llamamos a los elementos de τ los conxuntos abiertos en X. Un subconxuntu de X dizse zarráu si'l so complementu pertenez a τ (esto ye, el so complementu ye abiertu). Un subconxuntu de X puede ser abiertu, zarráu, dambos (conxuntu clopen), o nengunu. El conxuntu vacíu y X siempres son, al empar, abiertos y zarraos.

=== Base pa una topoloxía Una base B pa un espaciu topolóxicu (X,τ) ye una coleición de conxuntos abiertos en τ tal que cada conxuntu abiertu en τ puede ser escritu como unión d'elementos de B. Dicimos que la base xenera la topoloxía τ. Les bases son útiles porque munches propiedaes d'una topoloxía pueden escrites namái en términu d'una base que xenera tal topoloxía, y porque en munchos casos ser más senciellu definir una topoloxía en términos d'una base que la xenera.^[3][4]

Subespacio, productu y cociente

Un subconxuntu d'un espaciu topolóxicu pue ser vistu como un espaciu topolóxicu al dotalo de la topoloxía traza, definida como la topoloxía que los sos abiertos son les interseiciones de los abiertos del espaciu orixinal col subespacio.

Dada cualesquier familia indexada d'espacios topolóxicos, el productu puede ser dotáu de la topología producto, que ta xenerada poles preimágenes de los abiertos de los factores al traviés de les proyeiciones. Por casu, en productos finitos una base pa la topoloxía productu consta de tolos productos de conxuntos abiertos. Pa productos infinitos, ye necesariu amestar el requisitu adicional que toos salvu finitos abiertos sían la totalidá del espaciu.

Un espaciu cociente defínese como sigue: si X ye un espaciu topolóxicu, Y ye un conxuntu y f: X → Y ye una función sobreyectiva, entós la topoloxía cociente en Y ye la coleición de subconxuntos de Y que tienen preimágenes por f abiertes. N'otres pallabres, la topoloxía cociente ye la topoloxía más fina en Y pa la cual f ye continua. Un exemplu común de topología cociente ye la inducida por una rellación d'equivalencia en X. L'aplicación f ye entós la proyeición natural al conxuntu de clases d'equivalencia.

Exemplos d'espacios topolóxicos

Un conxuntu dau puede tener munches topoloxíes distintes. Si dotar a un conxuntu d'una topoloxía distinta, l'espaciu topolóxicu resultante ye distintu. Cualquier conxuntu puede ser dotáu de la topoloxía discreta na que tou subconxuntu ye abiertu. Les úniques socesiones o redes converxentes nesta topoloxía son les que son últimamente constantes. Tamién, cualquier conxuntu puede ser dotáu de la topoloxía trivial (tamién llamada topoloxía indiscreta), na que namái'l conxuntu vacíu y l'espaciu na so totalidá son abiertos. Toa socesión y toa rede nesta topoloxía converxen a tou puntu del espaciu. Esti exemplu amuesa que, nun espaciu topolóxicu xeneral, les llendes de socesiones nun son necesariamente únicos. Sicasí, ye frecuente riquir que los espacios topolóxicos sían espacios de Hausdorff, espacios nos que les llendes de socesiones sí son únicos.

Hai munches maneres de definir una topoloxía en R, el conxuntu de los númberos reales. La topoloxía estándar en R ta xenerada polos intervalos abiertos, esto ye, el conxuntu de tolos intervalos abiertos forma una base pa la topoloxía. En particular, esto implica qu'un conxuntu ye abiertu si esiste un intervalu abiertu de radio non nulu centráu en cada puntu del conxuntu y dafechu conteníu en tal conxuntu.

Referencies

1. Munkres, James R. Topology.
2. Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa.
3. Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard Y. (1989) John Wiley & Sons: Topological Methods in Chemistry. ISBN 0-471-83817-9. Consultáu'l 27 de xunetu de 2012.
4. Armstrong, M. A. (1983). Springer: Basic Topology. ISBN 0-387-90839-0. Consultáu'l 13 de xunu de 2013.