Álxebra astrauta

Álxebra astrauta
área de les matemátiques
álxebra

L'álxebra astracta, dacuando llamada álxebra moderna, ye la parte de la matemática qu'estudia les estructures alxebraiques como les de grupo, aniellu, cuerpu o espaciu vectorial. Munches d'estes estructures fueron definíes formalmente nel sieglu XIX, y, ello ye que l'estudiu de la álxebra astracta foi motiváu pola necesidá de más exactitú nes definiciones matemátiques.

N'álxebra astracta, los elementos combinaos por diverses operaciones xeneralmente nun son interpretables como númberos, razón pola cual la álxebra astracta nun puede ser considerada una simple estensión de l'aritmética. L'estudiu de la álxebra astracta dexó reparar con claridá lo intrínseco de les afirmaciones lóxiques nes que se basen toes la matemática y les ciencies naturales, y úsase anguaño práuticamente en toles cañes de la matemática. Amás, a lo llargo de la historia, los alxebristes afayaron qu'estructures lóxiques aparentemente distintes bien de cutiu pueden caracterizase de la mesma forma con un pequeñu conxuntu d'axomes.

El términu álxebra astracta usar pa estremar esti campu del álxebra elemental o de la álxebra de la escuela secundaria qu'amuesa les regles correutes pa manipoliar fórmules y espresiones alxebraiques que concernen a los númberos reales y númberos complexos. La álxebra astracta foi conocida mientres la primer metá del sieglu XX como álxebra moderna"

Historia y exemplos

Definición histórica

Birkhoff y McLane dícennos:

"Puede definise la álxebra astracta como l'estudiu de les propiedaes de los sistemes alxebraicos que se caltienen nos isomorfismos."

Vide páx. 37 del so Álxebra Moderna (1960), Barcelona

Históricamente, delles temes surdieron en dalguna disciplina distinta a la álxebra -caso d'espacios lliniales y álxebra de Boole-. Darréu, fueron axiomatizadas y depués estudiaes de mesmu derechu en dichu marco. Por eso, esta materia tien numberoses y granibles conexones con toles demás cañes de la matemática y fora d'ella.

Llistáu de sistemes alxebraicos

Con una sola operación matemática son los:

• Cuasigrupos
• Semigrupos
• Monoides
• Grupos

Con dos o más operaciones son:

• Dominios d'integridá
• Aniellos y cuerpos
• Módulos y Espacios vectoriales
• Álxebres asociatives y Álxebres de Lie
• Retículos y álxebres de Boole

El álxebra universal ye un campu de les matemátiques qu'aprove del formalismu pa comparar les distintes estructures alxebraiques. Más allá de les estructures anteriores pueden definise otru tipu d'estructures alxebraiques:

• Álxebra homológica
• Llinguaxes formales (concebíos como cadenes de signos bien formaos)
• Álxebra sobre un cuerpu

Un exemplu

L'estudiu sistemáticu de la álxebra dexó a los matemáticos llevar so una descripción lóxica común conceutos aparentemente distintos. Por casu, podemos considerar dos operaciones bastante distintes: la composición d'aplicaciones, ${\displaystyle f(g(x))}$, y el productu de matrices, ${\displaystyle AB}$. Estos dos operaciones son, ello ye que la mesma. Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadraes ${\displaystyle (AB)}$ por un vector d'una columna, ${\displaystyle x}$. Esto, ello ye que define una función que ye equivalente a componer ${\displaystyle Ay}$ con ${\displaystyle Bx}$ ${\displaystyle Ai}$ = ${\displaystyle A(Bx)}$ = ${\displaystyle (AB)x}$. Les funciones so composición y les matrices so multiplicación formen estructures llamaos monoides. Un monoide so operación ye asociativu pa tolos sos elementos ${\displaystyle ((ab)c=a(bc))}$ y contién un elementu ${\displaystyle y}$ tal que, pa cualquier valor de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle ae=ea=a}$. Verdaderamente, que dos conxuntos isomorfos considérense idénticos, lo qu'interesen son les operaciones y les sos lleis en dichos conxuntos.

Referencies

Bibliografía

• Fraleigh, John B.: Álxebra astracta (1987).

Enllaces esternos

• John Beachy: Abstract Algebra On line, Llista de definiciones y teoremas, n'inglés.
• Joseph Mileti: Mathematics Museum: Abstract Algebra, una bona introducción a la materia en términos senciellos, n'inglés.