Na matemática , el álxebra multilineal ye una área d'estudiu que xeneraliza los métodos del álxebra llinial . Los oxetos d'estudiu son los productos tensoriales d'espacios vectoriales y los tresformamientos multi-lliniales ente los espacios.
La álxebra multilineal fai un usu intensivu de la notación multi-índiz. Una notación d'esi tipu fai representar les combinaciones lliniales por un conxuntu de dos o más índices repitíos.
Nel casu elemental (tensores de rangu unu contravariantes ) tenemos, usando la convención de la suma d'Einstein :
X
=
X
s
e
s
{\displaystyle \scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,}
. Lo cual indica que l'oxetu X, ye la combinación llinial:
∑
s
=
1
n
X
s
e
s
=
X
1
y
1
+
X
2
y
2
+
⋯
+
X
n
e
n
{\displaystyle \sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}y_{1}+X^{2}y_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}}
sobre los vectores básicos
y
s
{\displaystyle \scriptstyle y_{s}\,}
, y los
X
s
{\displaystyle \scriptstyle X^{s}\,}
llamaos los componentes de X. Equí
n
{\displaystyle n}
ye la dimensión (alxebraica) d'espaciu onde "vive" X. Por convención llamar a estos 1-contra-tensores .
En rangu unu tamién tán los 1-co tensores , ye dicir mapeos lliniales dende l'espaciu escoyíu escontra'l campu d'esguilar. Ellos escríbense como combinación llinial de los funcionales lliniales
y
s
{\displaystyle y^{s}}
, tresformamientos lliniales
V
→
K
{\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} }
que satisfaen:
y
s
(
y
σ
)
=
δ
s
σ
{\displaystyle \scriptstyle y^{s}(y_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }}
, onde (como clásicamente) ta usándose la delta de Kronecker . Asina cualesquier covector
f
:
V
→
K
{\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} }
escríbese como
f
=
f
s
e
s
{\displaystyle \scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,}
, notación qu'embrive
f
=
f
1
y
1
+
⋯
+
f
n
e
n
{\displaystyle \scriptstyle f=f_{1}y^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,}
.
Tensores de rango dos :
Un tensor de rango dos contravariante ye
B
=
B
s
t
y
s
⊗
y
t
{\displaystyle \scriptstyle B=B^{st}y_{s}\otimes y_{t}}
.
Un tensor de rango dos covariante ye
C
=
C
s
t
y
s
⊗
y
t
{\displaystyle \scriptstyle C=C_{st}y^{s}\otimes y^{t}}
.
Y un tensor de rango dos mistu ye
D
=
D
s
t
y
s
⊗
y
t
{\displaystyle \scriptstyle D={D^{s}}_{t}y_{s}\otimes y^{t}}
. Esto indica una combinación llinial bi-indexada .
Por casu,
B
=
B
11
y
1
⊗
y
1
+
B
12
y
1
⊗
y
2
+
B
21
y
2
⊗
y
1
+
B
22
y
2
⊗
y
2
{\displaystyle B=B^{11}y_{1}\otimes y_{1}+B^{12}y_{1}\otimes y_{2}+B^{21}y_{2}\otimes y_{1}+B^{22}y_{2}\otimes y_{2}}
si la dimensión del espaciu ye dos.
Xeneralizando lo anterior escríbese
A
i
1
i
2
.
.
.
i
p
j
1
j
2
.
.
.
j
q
{\displaystyle \scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}}
pa representar los componentes d'un tensor mistu A, que ye p-contravariante y q-covariante. Pero
A
=
A
i
1
i
2
.
.
.
i
p
j
1
j
2
.
.
.
j
q
y
i
1
⊗
⋯
⊗
y
i
p
⊗
y
j
1
⊗
⋯
⊗
y
j
q
{\displaystyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}y_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes y_{i_{p}}\otimes y^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes y^{j_{q}}}
representa una combinación llinial multi-indexada.
Tou lo anterior namái foi considerando que l'espaciu vectorial ye de dinensión finita igual a n .
Teniendo dos espacios vectoriales V , W , con respeutives bases
{
b
1
,
.
.
.
,
b
n
}
{\displaystyle \{b_{1},...,b_{n}\}}
,
{
c
1
,
.
.
.
,
c
m
}
{\displaystyle \{c_{1},...,c_{m}\}}
defínese'l so productu tensorial
V
⊗
W
:=
⟨
{
b
i
⊗
c
j
}
⟩
{\displaystyle V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle }
ye dicir l'espaciu vectorial xeneráu polos nuevu símbolos
{
b
1
⊗
c
1
,
b
1
⊗
c
2
,
.
.
.
,
b
n
⊗
c
m
−
1
,
b
n
⊗
c
m
}
{\displaystyle \{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}}
Y por lo tanto si un oxetu X que vive en (pertenez a)
V
⊗
W
{\displaystyle \scriptstyle V\otimes W}
entós él puédese representar como una combinación llinial
X
=
X
11
b
1
⊗
c
1
+
X
12
b
1
⊗
c
2
+
⋯
+
X
i
j
b
i
⊗
c
j
+
⋯
+
X
n
m
b
n
⊗
c
m
{\displaystyle X=X^{11}b_{1}\otimes c_{1}+X^{12}b_{1}\otimes c_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}}
y la cual vase a embrivir como
X
=
X
s
t
b
s
⊗
c
t
{\displaystyle X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}}
los índices repitíos s o t , una vegada enriba y una vegada embaxo -ta conveníu- indica sumación, cada unu .
Esta definición ye absolutamente astracta, pero dende'l puntu de vista alxebraicu nun hai nengún problema esplorar toles posibilidaes del productu tensorial. Una plétora d'espacios surde (y d'importancia capital) a cencielles al considerar un espaciu vectorial V y el so dual
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
unu llogra los espacios:
V
⊗
V
⊗
V
=
V
3
⊗
{\displaystyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }}
V
⊗
V
∗
=
H
o
m
(
V
)
{\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)}
V
∗
=
Λ
1
(
V
)
{\displaystyle \scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,}
V
∧
V
{\displaystyle \scriptstyle V\wedge V}
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,}
Toos ellos d'usu cotidianu na xeometría diferencial , xeometría alxebraica , álxebra conmutativa , relatividá y cuántica , teoríes de campu , QFT , TQFT y otres.
Sía
V
{\displaystyle V}
xeneráu polos
b
i
{\displaystyle b_{i}}
. Simbolicemos con
β
μ
{\displaystyle \beta ^{\mu }}
la base de dual
V
∗
{\displaystyle \scriptstyle V^{*}}
.
Cualquier elementu de
V
∗
⊗
V
∗
{\displaystyle \scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}}
escribir de la forma
B
μ
ν
β
μ
⊗
β
ν
{\displaystyle \scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}
. Esta mesma espresión puede ser vista como un mapa bilineal
V
×
V
⟶
B
μ
ν
β
μ
⊗
β
ν
R
{\displaystyle \scriptstyle V\times V{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}\mathbb {R} }
(
b
i
,
b
j
)
↦
B
μ
ν
β
μ
⊗
β
ν
(
b
i
,
b
j
)
=
B
i
j
{\displaystyle \scriptstyle (b_{i},b_{j})\mapsto B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}}
sabiendo que
β
μ
⊗
β
ν
(
b
i
,
b
j
)
=
δ
μ
i
δ
ν
j
{\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}}
- kronecker.
Otru de rango dos ye
V
⊗
V
∗
{\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}}
. Los elementos d'equí vense como combinaciones lliniales bi-indexadas
B
μ
ν
b
μ
⊗
β
ν
{\displaystyle \scriptstyle {B^{\mu }}_{\nu }b_{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}
.