Dispersiya

Dispersiya təsadüfi dəyişənin sıçrama ölçüsüdür, yəni onun riyazi gözləmədən meyillənməsidir. O, ${\displaystyle D[X]}$ ilə işarə olunur. Statistikada çox vaxt ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ və ya ${\displaystyle \displaystyle \sigma ^{2}}$ işarələmələrindən istifadə edilir. Dispersiyanın kökü, yəni ${\displaystyle \displaystyle \sigma }$ orta kvadratik meyillənmə adlanır. Standart meyillənmə də təsadüfi qiymətin vahidi ilə ölçülür. Dispersiya isə bu vahidin kvadratı ilə göstərilir.

Təyinatı

Tutaq ki, ${\displaystyle X}$ təsadüfi qiymətdir, onda

${\displaystyle D[X]=M\left[|X-M[X]|^{2}\right]}$

burada M riyazi gözləməni göstərir.

Qeyd

• Əgər təsadüfi qiymət ${\displaystyle X}$ həqiqi ədədlərdirsə, onda riyazi gözləmənin xətti olması əsasında aşağıdakı düstur düzgündür:

  ${\displaystyle D[X]=M[X^{2}]-\left(M[X]\right)^{2};}$

• Dispersiya təsadüfi qiymətin mərkəzi momenti sayılır;
• Disperisya sonsuz ola bilər. Məsələn Koşi paylanması.
• Disperisya moment funksiya yaradıcılarının köməyi ilə hesablana bilir ${\displaystyle U(t)}$:

  ${\displaystyle D[X]=M[X^{2}]-\left(M[X]\right)^{2}=U''(0)-\left(U'(0)\right)^{2}}$

• Y1...Yn təsadüfi ardıcıllığın dispersiyasının riyazi gösləməsi belə hesablanır:

  ${\displaystyle \!D={\dfrac {\sum _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-{\dfrac {\left(\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\right)^{2}}{n}}}{n-1}}}$

Xassələri

• İstənilən təsadüfi qiymətlərin disperisyası müsbətdir: ${\displaystyle D[X]\geqslant 0;}$
• Əgər təsadüfi qiymətlərin disperisyası sonludursa,onda onun riyazi gözləməsi də sonludur;
• Əgər təsadüfi qiymət konstanta bərabərdirsə, onda onun dispersiya sıfırdır: ${\displaystyle D[a]=0.}$ Əksinə mülahizə də doğrudur: əgər ${\displaystyle D[X]=0,}$ olrsa, onda ${\displaystyle X=M[X]}$ ;
• İki təsadüfi qiymətlərin cəminin dispersiyası bərabərdir:

  ${\displaystyle \!D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}$, burada ${\displaystyle \!{\text{cov}}(X,Y)}$ — onların kovariyasiyasıdır;

• Bir neçə təsadüfi qiymətlərin xətti kombinasiyasının istənilən disperisyası üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

  ${\displaystyle \!D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})}$, burada ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$;

• Xüsusi halda, istənilən asılı olmayan və ya korrelyasiya olmayan təsadüfi qiymətlər üçün bu düsturdan istifadə edilir: ${\displaystyle D[X_{1}+...+X_{n}]=D[X_{1}]+...+D[X_{n}]}$ çünki, onların kovariyasiyası sıfıra bərabərdir;
• ${\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X];}$
• ${\displaystyle D\left[-X\right]=D[X];}$
• ${\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X].}$

Mənbə

• 1.Колмогоров А.Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
• 2.Боровков А.А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.