Kramer üsulu

Kramer üsulu — xətti cəbrdə xətti tənliklər sisteminin həlli üsuludur. Bu üsul 2021-ci ildə onu dərc etmiş Qabriel Kramerin adına adlandırılıb.^[1][2] Lakin Kolin Maklaurin də həmçinin bu üsulu 1748-ci ildə dərc etmişdi^[3] (və ehtimalən 1729-cu ildə bu üsul barədə bilirdi).^[4][5][6]

Təsviri

Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi (<yəni ${\displaystyle n}$ məchullu ${\displaystyle n}$ tənlik) verilmişdir

${\displaystyle {\begin{cases}uja_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{cases}},(1)}$

və əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir.

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}\dots &a_{2n}\\&\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}\dots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}\neq 0,(2)}$

Tutaq ki, ${\displaystyle x_{1},x_{1},...,x_{n}}$ (1) sisteminin hər hansı bir həllidir. Onda (1) bərabərliklərini uyğun olaraq əsas matrisin ${\displaystyle \Delta }$ determinantının hər hansı ${\displaystyle j}$ sütunun (${\displaystyle j={\overrightarrow {1,n}}}$) elementlərinin ${\displaystyle A_{1j},x_{1j},...,x_{nj}}$ cəbri tamamlayıcılarına vurub və sonra alınan bərabərlikləri toplasaq alarıq:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}x_{1}(a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj})=b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+...+b_{n}A_{nj}}$

burada ${\displaystyle i}$ sütun elementlərinin ${\displaystyle j}$ sütunun elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcılarına hasaillərin cəmi ${\displaystyle i\neq j}$ olanda sıfıra və ${\displaystyle i=j}$ olanda determinanta bərabər olmasını nəzərə alsaq son bərabərlikdən alarıq:

${\displaystyle x_{j}\Delta =b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+...+b_{n}A_{nj}.}$

(3)

Əsas matrisin determinantından ${\displaystyle j}$ sütununu ${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}$ sabit hədlər sütunu ilə əvəz etməklə (${\displaystyle \Delta }$-nın bütün başqa sütunlarını saxlamaq şərti ilə) alınan determinantı ${\displaystyle \Delta _{j}}$ ilə işarə edək.

Qeyd edək ki, (3)-ün sağ tərəfində elə həmin ${\displaystyle \Delta _{j}}$ determinantı durur və bu bərabərlik aşağıdakı şəklə düşər:

${\displaystyle x_{j}\Delta =\Delta _{j}(j={\overrightarrow {1,n}})(4)}$

Əsas matrisin ${\displaystyle \Delta }$ determinantı sıfırdan fərqli olduğundan (4) bərabərlikləri aşağıdakı nisbətlərlə ekvivalentdirlər

${\displaystyle x_{j}=\ {\frac {\Delta _{j}}{\Delta }}(j={\overrightarrow {1,n}})(5)}$.

Beləliklə əsas matrisin (2) determinantı sıfırdan fərqli olan (1) sisteminin ${\displaystyle x_{1},x_{1},...,x_{n}}$ həllərinin birqiymətli olaraq (5) düsturları vasitəsilə təyin edilir. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.

Nəticə1. Əgər sistemin həlli yoxdursa, onun baş determinantı sıfırdır.

İstinadlar

1. Cramer, Gabriel. "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (French). Geneva: Europeana. 1750. 656–659. 2019-09-15 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2012-05-18.
2. Kosinski, A. A. "Cramer's Rule is due to Cramer". Mathematics Magazine. 74. 2001: 310–312. doi:10.2307/2691101.
3. MacLaurin, Colin. A Treatise of Algebra, in Three Parts. 1748.
4. Boyer, Carl B. A History of Mathematics (2nd). Wiley. 1968. 431.
5. Katz, Victor. A History of Mathematics (Brief). Pearson Education. 2004. 378–379.
6. Hedman, Bruce A. "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4). 1999: 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. 2018-07-21 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 2018-08-18.