Математик индукция

Математик индукция
Асыусы йәки уйлап табыусы	Мавролико, Франческо^[d][1][2], Евклид[2], Бхаскара II[2], Якоб Бернулли^[d][2], Блез Паскаль[2], Пьер Ферма[2] һәм Платон[3]
Вики-проект	Проект:Математика^[d]
Математик индукция Викимилектә

Математик индукция — математик иҫбатлау ысулы. Ул ниндәйҙер раҫлауҙың бөтә натураль һандар өсөн дөрөҫлөгөн иҫбат итеү өсөн ҡулланыла. Бының өсөн тәүҙә ${\displaystyle 1}$ номерлы раҫлауҙың дөрөҫлөгө — индукцияның базаһы (базис) тикшерелә, ә артабан, әгәр ${\displaystyle n}$ номерлы раҫлау дөрөҫ булһа, артабанғы ${\displaystyle n+1}$ номерлы раҫлау ҙа дөрөҫ икәнлеге иҫбатлана — индукция аҙымы, йәки индукцион күсеү.

Индукция буйынса иҫбатлау домино принцибы тип аталған күренештә асыҡ күрһәтелергә мөмкин. Теләһә ниндәй һандағы домино һөйәге бер рәткә, һәр һөйәк ҡолағанда һис шикһеҙ үҙенән һуң килгән һөйәкте ҡолатырлыҡ итеп теҙелгән булһын, ти (индукцион күсеү ошонан ғибәрәт тә инде). Ул саҡта, әгәр беҙ беренсе һөйәкте этһәк (был индукцияның базаһы), бөтә һөйәктәр ҙә ҡолай.

Формулировкаһы

 Натураль һандар менән нумерланған раҫлауҙарҙың сикһеҙ эҙмә-эҙлелегенең: ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1},\ldots }$ дөрөҫлөгөн тикшерергә кәрәк булһын, ти.

${\displaystyle P_{1}}$ раҫлауы дөрөҫ булыуы асыҡланһын, ти. (Был раҫлау индукцияның базаһы тип атала.) Теләһә ниндәй n өсөн, әгәр ${\displaystyle P_{n}}$ раҫлауы дөрөҫ булһа, ${\displaystyle P_{n+1}}$ раҫлауы ла дөрөҫ икәне иҫбат ителһен, ти. (Был раҫлау индукцион күсеү тип атала.) Ул саҡта эҙмә-эҙлелектең бөтә раҫлауҙары ла дөрөҫ була.

Иҫбатлауҙың был ысулы өсөн индукция аксиомаһы тип аталған, натураль һандарҙы билдәләүсе Пеано аксиомаларының бишенсеһе логик нигеҙләү булып хеҙмәт итә. Индукция ысулының дөрөҫлөгө, натураль һандарҙың теләһә ниндәй буш булмаған аҫкүмәклегендә иң бәләкәй элемент бар, тигән раҫлауға эквивалентлы.

Тулы математик индукция принцибы

Тулы математик индукция принцибы тип аталған вариант бар. Бына уның ҡәтғи формулировкаһы:

${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ${\displaystyle P_{3}}$, ${\displaystyle \ldots }$ раҫлауҙар эҙмә-эҙлелеге булһын, ти. Әгәр теләһә ниндәй ${\displaystyle n}$ натураль һаны өсөн, бөтә ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$, ${\displaystyle P_{3}}$, ${\displaystyle \ldots }$, ${\displaystyle P_{n-1}}$ раҫлауҙары дөрөҫ булыуынан, ${\displaystyle P_{n}}$ раҫлауының да дөрөҫлөгө килеп сыҡһын, ул саҡта был эҙмә-эҙлелектең бөтә раҫлауҙары ла дөрөҫ, йәғни ${\displaystyle (\forall n\in {\mathbb {N} }){\Big (}(\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\longrightarrow P_{n}{\Big )}\longrightarrow (\forall n\in {\mathbb {N} })P_{n}}$.

Был вариантта индукция базаһы артыҡ булып сыға, сөнки индукцион күсеүҙең айырым осрағы булып тора. Ысынлап та, ${\displaystyle n=1}$ булғанда ${\displaystyle (\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\longrightarrow P_{n}}$ импликацияһы ${\displaystyle P_{1}}$-гә эквивалентлы. Ләкин йыш ҡына ${\displaystyle P_{1}}$ өсөн индукцион күсеүҙе барыбер айырым иҫбатларға тура килә, шуға күрә был өлөштө база сифатында айырыу дөрөҫ була. Тулы математик индукция принцибы Пеано аксиомаларынан индукция аксиомаһына эквивалентлы.

Ул шулай уҡ көслөрәк трансфинитлы индукцияның тура ҡулланылышы булып тора.

Тарихы

Блез Паскаль һәм Герсонид математик индукцияның айырым мөһим ысул икәнен аңлайҙар. Шулай ҙа боронғо замандарҙа уҡ Прокл Диадох һәм Евклид тарафынан был ысулды ҡулланыуҙың айырым осраҡтары булған^[4]. Ысулдың хәҙерге атамаһын де Морган Огастес 1838 йылда индерә.

Миҫалдар

Мәсьәлә. Теләһә ниндәй n натураль һаны һәм q ≠ 1 ысын һаны өсөн: ${\displaystyle 1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$ тигеҙлеге үтәлеүен иҫбат итергә.

Иҫбатлау. n буйынса индукция.

База, n = 1:

${\displaystyle 1+q={\frac {(1-q)(1+q)}{1-q}}={\frac {1-q^{1+1}}{1-q}}.}$

Күсеү:

${\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$ тип уйлайыҡ,

Ул саҡта

${\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}+q^{n+1}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+q^{n+1}=}$

${\displaystyle ={\frac {1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}}$,

Шуны иҫбат итергә һоралғайны ла инде.

Комментарий: был иҫбатлауҙа ${\displaystyle P_{n}}$ раҫлауының дөрөҫлөгө — шул уҡ,

${\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$ тигеҙлегенең дөрөҫлөгө кеүек үк.

Төрлөлөктәре һәм дөйөмләштереүҙәр

• Кире индукция
• Структур индукция
• Трансфинитлы индукция

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Доказательство по индукции
  • Доказательство одноцветности всех лошадей

Иҫкәрмәләр

1. Bussey W. H. Fermat's Method of Infinite Descent (ингл.) // Amer. Math. Monthly — Taylor & Francis, 1918. — Vol. 25, Iss. 8. — P. 333—337. — ISSN 0002-9890; 1930-0972 — doi:10.2307/2974148
2. Cajori F. Origin of the name of "Mathematical induction" (ингл.) // Amer. Math. Monthly — Taylor & Francis, 1918. — Vol. 25, Iss. 5. — P. 197—201. — ISSN 0002-9890; 1930-0972 — doi:10.2307/2972638
3. Acerbi F. History of Exact Sciences, Archive for history of exact sciences (ингл.) // Arch. Hist. Exact Sci. — Springer Science+Business Media, 2000. — Vol. 55, Iss. 1. — P. 57—76. — ISSN 0003-9519; 1432-0657
4. Nachum L. Rabinovih Раби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // Archive for History of Exact Sciences. — 1970. — В. 6. — С. 237—248.

Әҙәбиәт

• А. Шень. Математическая индукция. — МЦНМО, 2004. — 36 с.
• Н. Я. Виленкин. Индукция. Комбинаторика. — Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1976. — 48 с.
• Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрии. — Физматгиз, 1961. — Т. 21. — 100 с. — (Популярные лекции по математике).
• Р. Курант, Г. Роббинс. Глава I, § 2 // Что такое математика?
• И. С. Соминский. Метод математической индукции. — Наука, 1965. — Т. 3. — 58 с. — (Популярные лекции по математике).

Һылтанмалар

• Видео по методу математической индукции