Дәрәжәгә күтәреү

Дәрәжәгә күтәреү — тәү башлап натураль һанды үҙ-үҙенә күп тапҡыр ҡабатлау һөҙөмтәһе итеп билдәләнгән бинар операция. Нигеҙе a һәм күрһәткесе b булған дәрәжә: ${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b}}$, тип тамғалана, бында ${\displaystyle b}$ — ҡабатлашыусылар (ҡабатланыусы һандар) һаны. Дәрәжәгә күтәреү тиҫкәре, рациональ, ысын һәм хатта комплекслы дәрәжә күрһәткестәре өсөн дә билдәләнергә мөмкин.

Натураль дәрәжә

${\displaystyle c}$ һаны ${\displaystyle a}$ һанының n-се дәрәжәһе тип атала, әгәр: ${\displaystyle c=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}}$.

Үҙсәнлектәре:

1. ${\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}$
2. ${\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}$
3. ${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}$
4. ${\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}$
5. ${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}$
6. ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ аңлатмаһы ассоциативлыҡ (төркөмләү) үҙсәнлегенә эйә түгел, йәғни дөйөм осраҡта һул ассоциативлыҡ уң ассоциативлыҡҡа тигеҙ түгел ${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}}$, һөҙөмтә ғәмәлдәрҙе башҡарыу тәртибенә бәйле, мәҫәлән, ${\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$, ә ${\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}$. ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ яҙыуын ${\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}$ яҙыуы менән бер мәғәнәле тип иҫәпләү ҡабул ителгән, бынан алдағы үҙсәнлекте иҫәпкә алып, ${\displaystyle (a^{n})^{m}}$ урынына ${\displaystyle a^{nm}}$ тип яҙырға мөмкин. Ләкин ҡайһы бер программалау телдәре был килешеүҙе иҫәпкә алмайҙар (түбәндә ҡара);
7. Дәрәжәгә күтәреү коммутативлыҡ (урын алмаштырыу) үҙсәнлегенә эйә түгел: ғөмүмән алғанда, ${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$, мәҫәлән, ${\displaystyle 2^{5}=32}$, ләкин ${\displaystyle 5^{2}=25}$.

Тиҙ генә, дәрәжәгә күтәреүҙе билдәләмәләгегә ҡарағанда әҙерәк һанда ҡабатлауҙар башҡарып, дәрәжәгә күтәреү алгоритмы бар.

Бөтөн күрһәткесле дәрәжә

${\displaystyle a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\end{cases}}}$

${\displaystyle a=0}$ һәм ${\displaystyle z\leqslant 0}$ осрағында аңлатманың мәғәнәһе юҡ.

Рациональ күрһәткесле дәрәжә

Билдәләмә буйынса, ${\displaystyle a^{p \over q}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p},\quad p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle a=0}$ һәм ${\displaystyle p/q\leqslant 0}$ булғанда аңлатманың мәғәнәһе юҡ.

${\displaystyle a}$ тиҫкәре һаны өсөн, ${\displaystyle p}$ таҡ һәм ${\displaystyle q}$ йоп һан булғанда, дәрәжәне иҫәпләү һөҙөмтәһендә комплекслы һан килеп сыға. Ентекләберәк «Тамыр» тема8ын ҡара.

Ысын күрһәткесле дәрәжә

${\displaystyle a\geqslant 0,r}$ — ысын һандар булһын, ти, шуның менән бергә ${\displaystyle r}$ — иррациональ һан. ${\displaystyle a^{r}}$ ҡиммәтен ошолай итеп билдәләйбеҙ. Билдәле булыуынса, теләһә ниндәй ысын һанды өҫтән һәм аҫтан ике рациональ һанға яҡынайтып була, йәғни ${\displaystyle r}$ һаны өсөн теләһә ниндәй дәрәжәләге аныҡлыҡ менән шундай рациональ интервал ${\displaystyle [p,q]}$ табып була. Ул саҡта бөтә ярашлы ${\displaystyle [a^{p},a^{q}]}$ интервалдарҙың уртаҡ өлөшө бер нөктәнән тора, шул ${\displaystyle a^{r}}$ тип ҡабул ителә.

Икенсе ҡараш рәттәр һәм логарифмдар теорияһына нигеҙләнгән (Комплекслы күрһәткесле дәрәжә билдәләмәһен ҡара).

Потенцирләү

Потенцирләү (нем. potenzieren һүҙенән — дәрәжәгә күтәреү) — ул билдәле логарифмы буйынса һанды табыу, йәғни ${\displaystyle \log _{a}~x=b}$ тигеҙләмәһен сығарыу. Логарифмдың билдәләмәһенән ${\displaystyle x=a^{b}}$ булыуы килеп сыға. Шулай итеп, «потенцирләү» логарифмдың нигеҙен логарифмдың ҡиммәтенә тигеҙ булған дәрәжәгә күтәреү тигән һүҙ. Мәҫәлән, әгәр һандың унарлы логарифмы ${\displaystyle L}$ тигеҙ булһа, ул саҡта эҙләнгән һан ${\displaystyle 10^{L}}$ тигеҙ.

«Потенцирләү» термины тәү башлап швейцар математигы Иоганн Ранда осрай (1659 йыл).

Комплекслы күрһәткесле дәрәжә

Тәүҙә экспонента ${\displaystyle e^{z}}$ нисек иҫәпләнгәнен ҡарайыҡ, бында e — Эйлер һаны, z — ирекле комплекслы һан, ${\displaystyle z=x+yi}$.

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.}$

Хәҙер дөйөм осраҡты ҡарайыҡ ${\displaystyle a^{b}}$, бында ${\displaystyle a,b}$ икеһе лә комплекслы һандар. Әгәр ${\displaystyle a}$ һанын экспоненциаль күренештә яҙһаҡ, ${\displaystyle a^{b}=e^{b\ \operatorname {Ln} (a)}}$ тождествоһын ҡулланып, бында ${\displaystyle \operatorname {Ln} }$ — комплекслы логарифм, быны бик ябай эшләп була:

${\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i)b}.}$

Комплекслы логарифм — күп ҡиммәтле функция икәнен күҙ уңында тотор кәрәк, шулай итеп, дөйөм алғанда, комплекслы күрһәткесле дәрәжә аныҡ билдәләнмәй.

Дәрәжә функция булараҡ

${\displaystyle x^{y}}$ аңлатмаһында ике символ ҡулланылғанлыҡтан, (${\displaystyle x}$ һәм ${\displaystyle y}$), уны өс функцияның береһе итеп ҡарап була:

• ${\displaystyle x}$ үҙгәреүсәнле функцияһы (был осраҡта ${\displaystyle y}$ — параметр). Бындай функция дәрәжәле функция тип атала (полиномиаль функцияның айырым осрағы);
• ${\displaystyle y}$ үҙгәреүсәнле функция (был осраҡта ${\displaystyle x}$ — параметр). Бындай функция күрһәткесле функция тип атала (айырым осраҡ — экспонента);
• ике үҙгәлеүсәнле функция.

Файҙалы формулалар

${\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}$

${\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}$

${\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}$

Һуңғы ике формуланы ${\displaystyle x^{y}}$ функцияһы ҡуйылмаған электрон калькуляторҙа ыңғай һандарҙы теләһә ниндәй дәрәжәгә күтәреү өсөн ҡулланалар (компьютер программаларын да индереп).

Телдән телмәрҙә ҡулланыу

${\displaystyle a^{n}}$ яҙыуы ғәҙәттә «a ${\displaystyle n}$-се дәрәжәлә тип уҡыла» йәки «a n дәрәжәһендә». Мәҫәлән, ${\displaystyle 10^{4}}$ «ун дүртенсе дәрәжәлә», ә ${\displaystyle 10^{3/2}}$ «ун өстән икенсе дәрәжәлә» тип уҡыла. Икенсе һәм өсөнсө дәрәжәләр өсөн махсус исемдәр бар: ярашлы рәүештә квадратҡа һәм кубҡа күтәреү. Шулай, мәҫәлән, ${\displaystyle 10^{2}}$ «ун квадратта» тип уҡыла, ${\displaystyle 10^{3}}$ «ун кубта» тип уҡыла. Был терминология Боронғо Греция математикаһында барлыҡҡа килгән. Боронғо гректар алгебраик конструкцияларҙы геометрик алгебра (Greek geometric algebra) телендә әйтеп биргәндәр. Айырып әйткәндә, «ҡабатлау» һүҙен ҡулланаһы урынға улар тура дүртмөйөштөң майҙаны йәки тура мөйөшлө параллелепипедтың күләме тураһында һөйләгәндәр: ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle \ a^{3}}$ урынына боронғо гректар «a киҫегендә квадрат», «a киҫегендә куб» тип әйткәндәр. Шул сәбәптән дүртенсе һәм юғарыраҡ күрһәткесле дәрәжәләрҙе боронғо гректар ҡулланмаҫҡа тырышҡандар^[1]. Ҡайһы берҙә һөйләү телмәрендә, мәҫәлән, ${\displaystyle a^{3}}$ — ул «a үҙ-үҙенә өс тапҡыр ҡабатланған тиҙәр»^[2], бында өс ${\displaystyle a}$ ҡабатлашыусыһы алына тип күҙ уңында тотола. Был бик үк тап килмәй, һәм ике төрлө мәғәнәлеккә килтерергә мөмкин, сөнки ҡабатлау ғәмәле һаны берәүгә кәм буласаҡ: ${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$ (өс ҡабатлашыусы, ләкин ике ҡабатлау ғәмәле). Йыш ҡына, «a үҙ-үҙенә өс тапҡыр ҡабатланған» тип әйткәндә, ҡабатлауҙар һанын күҙ уңында тоталар, ә ҡабатлашыусылар һанын түгел, йәғни ${\displaystyle a^{4}}$^[3]. Ике төрлө мәғәнәлелектән ҡасыу өсөн, мәҫәлән ошолай тип әйтергә була: өсөнсө дәрәжә — ул «һан өс тапҡыр ҡабатлауға ингәндә»^[4].

Дәрәжә тамғаһы

Европала тәүҙә дәрәжәне ҡабатландыҡ һымаҡ яҙғандар — мәҫәлән, ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle xxxx.}$ тип яҙылған. Беренсе башлап XVII быуатта Пьер Эригон һәм шотландия математигы Джеймс Юм ҡыҫҡартып яҙырға маташып ҡарайҙар, улар ярашлы рәүештә ${\displaystyle x^{4}}$ аңлатмаһын ${\displaystyle x4}$ һәм ${\displaystyle x^{IV}}$ күренешендә яҙалар ^[5]. Рене Декарттан башлап, дәрәжәне ${\displaystyle a^{b}}$ күренешендәге «ике этажлы» яҙыу менән тамғалай башлайҙар. Компьютерҙар һәм компьютер программалары барлыҡҡа килеү менән проблема тыуа, сөнки компьютер программалары тексында дәрәжәне «ике этажлы» күренештә яҙып булмай. Ошоға бәйле дәрәжәгә күтәреү ғәмәлен тамғалау өсөн айырым тамға уйлап табыла. Бындай тәүге тамға икәү була: Фортран телендә ҡулланылған йондоҙсоҡтар «**». Бер аҙ һуңыраҡ барлыҡҡа килгән Алгол телендә уҡ тамғаһы ҡулланыла: «↑» (Кну́т уҡтары). Бейсик телендә «^» тамғаһы тәҡдим ителә («циркумфлекс»). Был тамға ҙурыраҡ популярлыҡ яулай; уны йыш ҡына формулаларҙы һәм математик аңлатмаларҙы яҙыу өсөн программалау телендә һәм компьютер системаларында ғына түгел, ә текслы файлдарҙа, шулай уҡ Интернетта аралашҡанда ҡулланалар. Миҫалдар:

3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125.

Циркумфлекс тамғаһын ҡатмарлы, ҙур күләмле математик аңлатмаларҙы һәм формулаларҙы ҡағыҙҙа яҙған осраҡта ла ҡулланыу күҙәтелә (бигерәк тә ҙур күләмле күрһәткесле). Ҡайһы берҙә компьютер системаларында һәм программалау телдәрендә, математикала ҡабул ителгән дәрәжәгә күтәреүҙең уң ассоциативлығы тураһында килешеүҙән айырмалы рәүештә, дәрәжәгә күтәреү тамғаһы һул ассоциативлыҡ үҙсәнлегенә эйә. Йәғни, ҡайһы бер программалау телдәре (мәҫәлән, Excel программаһы) a^b^c яҙыуын (a^b)^c тип ҡабул итергә мөмкин, шул уҡ ваҡытта башҡа системалар һәм телдәр (мәҫәлән, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha һәм башҡа) был яҙыуҙы математикала ҡабул итергән кеүек: ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left({b^{c}}\right)}}$ уңдан һулға ҡарай уҡый: a^(b^c). Программалау телдәрендә һәм компьютер системаларында ҡулланылған ҡайһы бер дәрәжәгә күтәреү тамғалары:

• x ↑ y: Алгол, Бейсиктың ҡайһы бер диалекттары;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 1]}, Haskell^{[К 2]}, Lua, Active Server Pages (ASP) һәм күпселек компьютер алгебраһы системалары;
• x ^^ y: Haskell^{[К 3]}, D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 4]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 5]}, Turing , VHDL, JavaScript^[6];
• ^/: Haskell^{[К 6]};
• x⋆y: APL.

Си һәм Паскаль телдәренең махсус тамғалары юҡ һәм дәрәжәгә күтәреү өсөн функциялар ҡулланалар.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• e (һаны)
• Логарифм — дәрәжәгә күтәреүгә кире функция.
• n-сы дәрәжә тамыр — дәрәжәгә күтәреүгә кире функция.
• Дәрәжәгә күтәреү функцияһы
• Тетрация — дәрәжәгә күтәреүҙе дөйөмләштереү.
• Гипероператор
• Экспоненциаль яҙыу
• Экспонента
• xʸ=yˣ тигеҙләмәһе

Иҫкәрмәләр

1. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165-167. — 456 с.
2. Морган Джонс. Ламповые усилители. — Litres, 2014-01-16. — С. 29. — 762 с. — ISBN 9785457531772.
3. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с.
4. Румовский С. Я. Сокращения математики. — Directmedia, 2014. — С. 80. — ISBN 978-5-4458-1644-7.
5. Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
6. Оператор «**» описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.

Комментарийҙәр

1. бөтөн дәрәжә өсөн
2. тиҫкәре булмаған бөтөн дәрәжә өсөн
3. тик эҙмә-эҙ ҡабатлау булараҡ ҡына башҡарылыусы ^ -тан айырмалы рәүештә, тиҫкәре дәрәжәләр өсөн хеҙмәт итә
4. Начиная с версии 5.6 [1]
5. Өтөрө күсеп йөрөгән һан менән күрһәтелгән дәрәжә өсөн — логарифм аша тормошҡа ашырыла.
6. Рациональ дәрәжәләр өсөн

Әҙәбиәт

• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Экспонент // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)

Һылтанмалар

• А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ
• Что такое степень с натуральным показателем (рус.)