Күрһәтмәләр теорияһы

Күрһәтмәләр теорияһы
Өйрәнеү объекты	линейное представление^[d]
Вики-проект	Проект:Математика^[d]
Күрһәтмәләр теорияһы Викимилектә

Күрһәтмәләр теорияһы — математиканың, абстрактлы алгебраик структураларҙы, уларҙың элементтарын векторлы арауыҡтарҙың һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәре күренешендә күрһәтеү ярҙамында өйрәнеүсе бүлеге. Асылда, күрһәтмә, уларҙың элементтарын матрицалар менән, ә был объекттарҙы ҡушыу һәм ҡабатлау операцияларын — матрицаларҙы ҡушыу һәм ҡабатлау менән һүрәтләп биреп, абстрактлы алгебраик объекттарҙы анығыраҡ итә. Бындай тасуирлауға бирелгән объекттар араһында төркөмдәр, ассоциатив алгебралар һәм Ли алгебралары бар. Иң билдәлеһе булып (һәм, тарихи беренсе барлыҡҡа килгән) төркөмдәрҙең күрһәтмәләр теорияһы тора.

Күрһәтмәләр теорияһы ҡеүәтле инструмент булып тора, сөнки ул дөйөм алгебра мәсьәләләрен һыҙыҡлы алгебра мәсьәләләренә ҡайтарып ҡалдыра, ә уның темаһы яҡшы аңлайышлы. Бынан тыш, төркөм уның ярҙамында күрһәтелгән векторлы арауыҡ сикһеҙ үлсәмле булырға мөмкин, һәм әгәр уға Гильберт арауығы структураһын өҫтәһәң, математик анализ ысулдарын ҡулланырға була. Күрһәтмәләр теорияһы шулай уҡ физика өсөн мөһим әһәмиәткә эйә, сөнки ул, мәҫәлән, нисек физик системаның симметриялар төркөмө был системаны һүрәтләүсе тигеҙләмәләрҙең сығарылышына тәьҫир иткәнен тасуирлай.

Күрһәтмәләр теорияһының һоҡландырғыс үҙенсәлеге — уның математикала киң таралғанлығы. Бының беренсе аспекты — күрһәтмәләр теорияһының күп төрлө ҡушымтаһы: үҙенең алгебраға тәьҫиренә өҫтәмә рәүештә ул Фурье анализын гармоник анализ ярҙамында аңлатып бирә һәм байтаҡ дөйөмләштерә, ул инварианттар теорияһы һәм Эрланген программаһы аша геометрия менән тығыҙ бәйләнгән, автоморфлы формалар һәм Ленглендс программаһы аша һандар теорияһына ҙур тәьҫир яһай. Икенсе аспект булып күрһәтмәләр теорияһына ҡараштарҙың төрлөлөгө тора. Бер үк объекттар алгебраик геометрия, модулдәр теорияһы, һандарҙың аналитик теорияһы, дифференциаль геометрия, операторҙар теорияһы, алгебраик комбинаторика һәм топология ысулдары менән өйрәнелергә мөмкиндәр.

Күрһәтмәләр теорияһының уңышы уның күп һандағы дөйөмләштереүҙәренә килтерә. Иң дөйөмдәренең береһен категориялар теорияһы ҡуллана. Күрһәтмәләр теорияһы ҡулланылған алгебраик объекттар билдәле бер категорияның объекттары, ә күрһәтмәләр — был категориянан векторлы арауыҡ категорияһына функторҙар итеп ҡаралырға мөмкиндәр. Бындай һүрәтләү ике күренеп торған дөйөмләштереүгә күрһәтә: беренсенән, алгебраик объекттар дөйөмөрәк булған категорияларға алмаштырыла алалар; икенсенән, векторлы арауыҡтар категорияһы башҡа яҡшы аңлашылған категориялар менән алмаштырыла ала.

Билдәләмәләр һәм концепциялар

V — F яланы өҫтөндә векторлы арауыҡ икән, ти. Миҫал өсөн, V — ул Rⁿ йәки Cⁿ, ярашлы рәүештә ысын йәки комплекслы һандар яланы өҫтөндә стандарт n-үлсәмле векторҙар-бағаналар арауығы тип уйлайыҡ. Был осраҡта күрһәтмәләр теорияһының идеяһы, абстрактлы алгебраны, элементтары булып ысын йәки комплекслы һандар торған n × n матрицаларын ҡулланып, аныҡлауҙан тора.

Был мөмкин булған алгебраик объекттарҙың өс төрө бар: төркөмдәр, ассоциатив алгебралар һәм Ли алгебралары.

• Бөтә әйләндерелмәле n × n матрицалар күмәклеге матрицаларҙы ҡабатлау буйынса төркөм булып тора, һәм төркөмдәрҙең күрһәтмәләр теорияһы, уның элементтарын әйләндерелмәле матрицалар терминдары менән һүрәтләп (күрһәтеп), төркөмдө анализлай.

• Матрицаларҙы ҡушыу һәм ҡабатлау бөтә n × n матрицалар күмәклеген ассоциатив алгебра итә, һәм, шуға күрә, ассоциатив алгебраларҙың ярашлы күрһәтмәләр теорияһы бар.

• Әгәр беҙ MN матрицалы ҡабатлауҙы MN — NM матрицалы коммутатор менән алмаштырһаҡ, ул саҡта n × n матрицалары Ли алгебраһын алмаштыралар, был Ли алгебралары күрһәтмәләр теорияһын булдырыуға килтерә.

Был теләһә ниндәй F яланына һәм F өҫтөндә теләһә ниндәй V векторлы арауығына, һыҙыҡлы сағылышты матрицалар менән һәм сағылыштар композицияһын матрицалы ҡабатлау менән алмаштырылып, дөйөмләштерелә: V өҫтөндә GL(V,F) автоморфизмдар төркөмөн, V өҫтөндә бөтә эндоморфизмдарҙың End_F(V) ассоциатив алгебраһын һәм ярашлы gl(V,F) Ли алгебраһын алабыҙ.

Билдәләмә

Күрһәтмәгә билдәләмә биреүҙең ике ысулы бар. Беренсеһе, матрицаның вектор-бағаналарға матрицалы ҡабатлау ярҙамында тәьҫир итеү ысулын дөйөмләштереп, төркөм ғәмәлдәре идеяһын ҡуллана. V векторлы арауығында G төркөмөнөң йәки A алгебраһының күрһәтмәһе (ассоциатив йәки Ли) — ул ике үҙсәнлеккә эйә

${\displaystyle \Phi \colon G\times V\to V\quad {\text{or}}\quad \Phi \colon A\times V\to V}$ сағылышы. Беренсенән, G-нан теләһә ниндәй g өсөн (йәки A-нан a өсөн),

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (g)\colon V&\to V\\v&\mapsto \Phi (g,v)\end{aligned}}}$

сағылышы һыҙыҡлы (F өҫтөндә).

Күрһәтелгән төркөмгә бәйле рәүештә күрһәтмәләр теорияһының бүлектәрен айырып ҡарайҙар:

• сикле төркөмдәр — Ҡарағыҙ. Сикле төркөмдәрҙең күрһәтмәләр теорияһы.
• топологик төркөмдәр — сикле төркөмдәрҙең күрһәтмәләрен төҙөү өсөн ҡайһы бер төҙөүҙәрҙе сикһеҙ төркөмдәр өсөн дә дөйөмләштерергә була. Локаль компактлы топологик төркөмдәр өсөн быны Хаара үлсәме ярҙамында эшләргә була. Гармоник анализ, шулай уҡ дөйөм Фурье теорияһы күбеһенсә йомғаҡлау теорияһына нигеҙләнгән.
• Ли төркөмдәре — күп Ли төркөмдәре компактлылар. Ярашлы рәүештә уларға компактлы төркөмдәрҙең күрһәтмәләр теорияһын ҡулланырға була. Ҡарағыҙ. Ли төркөмдәренең күрһәтмәләр теорияһы.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Төркөм күрһәтмәһе

Һылтанмалар