Математик формула

Математик формула

Математик формула Викимилектә

Математик формула (лат. formula[1] — forma — күренеш, төр һүҙҙәренән алынған) — математикала, шулай уҡ физикала һәм ғәмәли фәндәрҙә, термдар менән бер рәттән, математик аңлатма төрө булып тора; үҙ аллы мәғәнәһе булған тамғалар комбинацияһы күренешендә, һәм фекерҙең (ул логик фекерләүҙе сағылдыра^[1]), йә фекер формаһының символик яҙылышы булып тора^[2]. Киң мәғәнәлә формула — математикала геометрик коннотацияһы булған төрлө тасуирлау сараларына: һыҙмаларға, графиктарға, диаграммаларға, графтарға һ. б. ҡаршы ҡуйылыусы һәр символик яҙыу (ҡара: түбәндә).

(Һанлы) формулаларҙың төп төрҙәре

Ҡағиҙә булараҡ, формулаға үҙгәреүсәндәр (бер йәки күберәк) инә, шуның менән бергә формула үҙе ябай ғына аңлатма түгел, ә ниндәйҙер фекерләү. Бындай фекерләү үҙгәреүсәндәр тураһында, ә, бәлки — ҡулланылған ғәмәл тураһында нимәлер раҫларға мөмкин. Формуланың аныҡ мәғәнәһе йыш ҡына контекстан аңлашыла һәм туранан-тура уның күренешенән аңларға мөмкин түгел. Киң таралған өс осраҡты айырып ҡарарға мөмкин:

• Формула үҙгәреүсәндең (тигеҙләмәнең һ. б.) ҡиммәтен нисек эҙләргә икәнде хәбәр итергә тейеш;
• Формула («эҙләнгән дәүмәл = аңлатма» күренешендә яҙылған) дәүмәлде үҙенең параметрҙары аша билдәләй (программалауҙа ҡиммәт биреүгә (присваивание) оҡшаш һәм ҡайһы бер осраҡта Pascal телендәге кеүек «:=» диграф аша яҙыла, әммә асылда тигеҙләмәнең айырым осрағы булып иҫәпләнергә мөмкин);
• Формула асылда логик раҫлау булып тора: тождество (мәҫәлән, аксиома), теорема раҫлауы һ. б.

Тигеҙләмәләр

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Тигеҙләмә

x = f(x) тигеҙләмәһенең тамырҙарын табыу ысулы күрһәткән график

Тигеҙләмә — тышҡы (үрге) бәйләүесе тигеҙлек бинар бәйләнеше булған формула. Әммә тигеҙләмәнең мөһим үҙенсәлеге шунда, уға ингән символдар үҙгәреүсәндәргә һәм параметрҙарға бүленәләр (һуңғыларының булыуы, хәйер, мәжбүри түгел). Мәҫәлән,${\displaystyle x^{2}=1}$ тигеҙләмә булып тора, унда x — үҙгәреүсән. Үҙгәреүсәндең тигеҙлек дөрөҫ булғандағы ҡиммәттәре тигеҙләмәнең тамырҙары тип атала: был осраҡта тигеҙләмәнең тамырҙары ике һан, 1 һәм -1. Ҡағиҙә булараҡ, әгәр бер үҙгәреүсәнле тигеҙләмә тождество булмаһа (ҡара: түбәндә), тигеҙләмәнең тамырҙары дискрет, йыш ҡына сикле (буш күмәклек булырға ла мөмкин) күмәклек.

Әгәр тигеҙләмәгә параметрҙар инһә, ул саҡта уның мәғәнәһе — бирелгән параметрҙар өсөн тигеҙләмәнең тамырҙарын табыу (йәғни үҙгәреүсәндең тигеҙлек дөрөҫ булғандағы ҡиммәттәрен табыу). Ҡайһы саҡта быны үҙгәреүсәндең параметрҙан (параметрҙарҙан) күҙгә күренеп тормаған (неявный) бәйләнешен табыу тип әйтергә мөмкин. Мәҫәлән ${\displaystyle x^{2}=a}$ x үҙгәреүсәнле тигеҙләмә булараҡ ҡабул ителә (y, z һәм t менән бер рәттән был үҙгәреүсәнде билдәләү өсөн ғәҙәти хәреф булып тора). Тигеҙләмәнең тамыры булып a һанының квадрат тамыры тора (уның ике тамыры бар, төрлө тамғалы тип иҫәпләнә). Әйтергә кәрәк, бындай формула, бары тик x һәм a араһындағы бинар бәйләнеште генә бирә, һәм уны кире яҡҡа ла аңларға мөмкин, x-ҡа ҡарата a үҙгәреүсәнле тигеҙләмә ${\displaystyle x^{2}=a}$ . Был ябай осраҡта, һүҙ a-ны x аша табыу тураһында ғына булыуы мөмкин: ${\displaystyle a=x^{2}}$.

Тождестволар

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Тождество

Тождество — үҙгәреүсәндең теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә дөрөҫ булған фекер. Ғәҙәттә, тождество төшөнсәһе аҫтында тождестволы дөрөҫ тигеҙлекте күҙ уңында тоталар, тождество тышында тигеҙһеҙлек йәки ниндәй ҙә булһа башҡа бәйләнеш тә торорға мөмкин. Күп осраҡта тождествоны унда ҡатнашҡан ғәмәлдәрҙең ниндәйҙер үҙенсәлектәре тип аңларға мөмкин. Мәҫәлән a+b=b+a тождествоһы ҡушыу ғәмәленең коммутативлығын раҫлай.

Математик формула ярҙамында бик ҡатмарлы һөйләмдәр йыйнаҡ һәм уңайлы күренештә яҙылырға мөмкин. Үҙгәреүсәнде ниндәйҙер өлкәнән теләһә ниндәй аныҡ объекттар менән алыштырып ҡуйғанда дөрөҫ булыусы формулалар, был өлкәлә тождестволы дөрөҫ формула тип аталалар. Мәҫәлән: «теләһә ниндәй a һәм b өсөн ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ тигеҙлеге дөрөҫ». Был тождествоны коммутатив ҡулсала ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре аксиомаһынан сығарырға мөмкин, улар шулай уҡ үҙҙәре тождество булып торалар.

Тождество үҙгәреүсәнһеҙ, арифметик (йәки ниндәй ҙә булһа тағы бер) тигеҙлек булырға ла мөмкин, мәҫәлән, 6^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}.

Яҡынса тигеҙлектәр

Мәҫәлән: ${\displaystyle x\approx \sin(x)}$ x-тың бик бәләкәй ҡиммәттәрендә яҡынса тигеҙлек;

Тигеҙһеҙлек

Формула-тигеҙһеҙлекте бүлектең башында тасуирланған ике мәғәнәлә аңларға мөмкин: тождество кеүек (мәҫәлән, Коши — Буняковский тигеҙһеҙлеге) йәки, тигеҙләмәләр кеүек, үҙгәреүсән йәки үҙгәреүсәндәр ингән күмәклекте (ә дөрөҫөрәге, билдәләнеү өлкәһенең аҫкүмәклеген) табыу мәсьәләһе итеп.

Ҡулланылған ғәмәлдәр

Был бүлектә алгебрала ҡулланылған ғәмәлдәр, шулай уҡ математик анализдан ҡайһы бер дөйөм ҡулланылыусы функциялар һанап кителәсәк.

Ҡушыу һәм алыу

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Ҡушыу һәм Алыу

"+ " һәм « −» тамғалары ҡулланыла (һуңғыһы яҙыуҙа һыҙыҡтан бик әҙ айырыла).

Унарный минус йышыраҡ тик беренсе (һул) ҡушылыусы янында ҡулланыла, сөнки «a + (−b)» һәм «a − (−b)» кеүек башҡа осраҡтар, мәғәнәһе буйынса ярашлы рәүештә ябайыраҡ «a − в» һәм «a + b.» аңлатмаларынан бер нәмә менән дә айырылып тормайҙар.

Ҡушыу ғәмәленең ассоциативлығы сәбәпле, йәйәләрҙең ҡуйылышы ҡушыу ғәмәлен башҡарыу тәртибен билдәләү өсөн математик мәғәнәгә эйә түгел. Алгебрала ҡушылыусы тип ҡушыуҙың да һәм алыуҙың да аргументтары атала. Йәйәләр булмағанда, алыу ғәмәлен башҡарыу тәртибе шундай, кәметеүсе булып тик туранан-тура алыу ғәмәленән уңда яҙылған быуын ғына һанала, ә уңдараҡ яҙылған ниндәйҙер ҡушыу һәм алыу ғәмәлдәрен үтәү һөҙөмтәләре түгел. Шулай итеп, һулдан туранан-тура «−» тамғаһы булған «ҡушылыусылар» ғына суммаға минус тамғаһы менән инә.

Ҡабатлау

Ҡабатлау тамғаһы йыш ҡына төшөрөп ҡалдырыла. Был мәғәнәлелек тыуҙыра, сөнки үҙгәреүсәндәр, ғәҙәттә, яңғыҙ хәрефтәр менән яҙыла, ә цифрҙар менән яҙылған константаларҙы бер-береһенә ҡабатлауҙы яҙыуҙың мәғәнәһе юҡ. Һирәк осраҡтарҙа, ике төрлө аңлауҙан ҡотола алмағанда, ҡабатлау ғәмәле «·» символы меенән тамғалана. «×» символы тик мәктәп арифметикаһында, техник текстарҙа (айырым контекста) ғына ҡулланыла, шулай уҡ ҡайһы бер системалар уны ҡабатлау тамғаһы урынына формуланы икенсе юлға күсергәндә (ғәҙәттә, ҡабатлау тамғаһы буйынса күсереүҙән ҡотолорға тырышалар) ҡуялар.

Бүлеү

Бүлеү формулаларҙа кәсер һыҙығы ярҙамында яҙыла. Шулай уҡ мәктәп арифметикаһында «÷» (обелюс) ҡулланыла.

Дәрәжәгә күтәреү.

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Возведение в степень

Элементар функциялар

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Элементарные функции

Абсолют дәүмәл, тамғалау һ. б.

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Абсолютная величина һәм sgn(x)

Йәйәләр һәм ғәмәлдәр өҫтөнлөктәре

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Приоритет операции

Ғәмәл йәки оператор өҫтөнлөгө, рангы йәки дәрәжәһе — оператор/операцияның, төрлө бер нисә оператор булған аңлатмала уларҙы башҡарыу тәртибенә асыҡ күрһәтмә (йәйәләр ярҙамында) булмағанда, уларҙың сиратына тәьҫир итеүсе формаль үҙенсәлеге. Мәҫәлән, ҡабатлау ғәмәленә, ҡушыу ғәмәленә ҡарағанда, ғәҙәттә ҙур өҫтөнлөктәр бирелә, һәм шуға күрә аңлатмала тәүҙә z һәм y ҡабатландығы табыла, ә һуңынан инде сумма.

Миҫалдар

Мәҫәлән:

2+2=7 — «ялған» мәғәнәһенә эйә формулаға миҫал;

y=ln(x)+sin(x)} — бер ысын аргумент функцияһы йәки бер үҙгәреүсәнле функция;

${\displaystyle z={\frac {y^{3}}{y^{2}+x^{2}}}}$  — бер нисә аргумент функцияһы йәки бер нисә үҙгәреүсәнле функция (графигы иҫ киткес матур — Аньези верзьер кәкре һыҙығы);

y=1-|1-x|}  — ${\displaystyle x=1}$ нөктәһендә дифференциалланмаусы функция (өҙлөкһөҙ һыныҡ һыҙыҡтың тейеүсеһе булмай);

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$  — тигеҙләмә, йәғни асыҡланмаған функция (графигы «декарт япрағы» кәкре һыҙығы);

${\displaystyle t_{n}=n!}$ — бөтөн һанлы функция;

${\displaystyle y=y^{3}\sin(nx)}$ — йоп функция;

y=tg(x) — таҡ функция;

${\displaystyle f(P)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$— нөктә функцияһы, нөктәнән (декарт) координаталар башына тиклем алыҫлыҡ;

y={1}\{x-3} — x=3 нөктәһендә өҙөлөүсе функция;

x=a[t-sin(t)]\,; y=a[1-cos(t)] — параметрлы функция (графигы циклоида);

y=ln(x), x=e^{y} — тура һәм кире функциялар;

${\displaystyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}|f(t)|\,dt}$ — интеграль тигеҙләмәләр.

Иҫкәрмәләр

1. Чупахин, Бродский, 1977, с. 200200
2. Колмогоров, Драгилин, 2006, с. 13—1513—15

Әҙәбиәт

• Чупахин И.Я., Бродский И.Н. Формальная логика. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977. — 357 с.
• Колмогоров А.Н., Драгилин А.Г. Математическа логика. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с. — ISBN 5-484-00520-5.

Һылтанмалар

• Самые красивые физические и математические формулы
• М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике(недоступная ссылка)
• [ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/sets/part1pdf.zip Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множест

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Алгебраическое выражение — математическое обозначение, не выражающее законченную мысль.
• Интерполяционные формулы
• Формула конечных приращений
• Формула Симпсона
• Рекуррентная формула
• Формула Эйлера
• ISO 31
• Трансцендентная функция