Ферманың бөйөк теоремаһы

Ферманың бөйөк теоремаһы
Нигеҙләү датаһы	1637
Кем хөрмәтенә аталған	Пьер Ферма
Ҡайҙа өйрәнелә	һандар теорияһы
Закон йәки теорема формулаһы	${\displaystyle \forall a\in \mathbb {N} ,b\in \mathbb {N} ,c\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} :a^{n}+b^{n}=c^{n}\Rightarrow n<3}$
Обозначение в формуле	${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ һәм ${\displaystyle n}$
Кем решена	Эндрю Уайлс^[d] һәм Ричард Лоуренс Тейлор^[d]
Вики-проект	Проект:Математика^[d]
Ферманың бөйөк теоремаһы Викимилектә

1670 йылда баҫылған Диофанттың «Арифметика»һына Ферманың комментарийы, атап әйткәндә, уның «һуңғы теоремаһы» ингән (Observatio Domini Petri de Fermat)

Ферма́ның бөйөк теоремаһы (йәки Ферма́ның һуңғы теоремаһы) — математиканың иң популяр теоремаларының береһе. Уның шарты ябай ғына, «мәктәп» арифметикаһы кимәлндә формулировкалана, әммә теореманың иҫбатланышын күп математиктар өс йөҙҙән артыҡ йыл эҙләйҙәр. 1994 йылда Эндрю Уайлс коллегалары менән иҫбатлай (иҫбатланышы 1995 йылда баҫыла).

Формулировкаһы

Теорема^[1], теләһә ниндәй ${\displaystyle n>2}$ натураль һаны өсөн

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$

тигеҙләмәһенең ${\displaystyle a,b,c}$-ның нулдән айырмалы бөтөн һандарында сығарылышы юҡ тип раҫлай.

Формулировканың тарыраҡ варианты ла осрай, ул был тигеҙләмәнең натураль сығарылыштары юҡ тип раҫлай. Әммә шуныһы асыҡ: бөтөн һандар өсөн сығарылышы булһа, натураль һандарҙа ла сығарылышы була. Ысынлап та, ${\displaystyle a,b,c}$ — Ферма тигеҙләмәһенең сығарылышын биргән бөтөн һандар булһын, ти. Әгәр ${\displaystyle n}$ йоп булһа, ${\displaystyle |a|,|b|,|c|}$ шулай уҡ сығарылышы була, ә әгәр таҡ булһа, бөтә тиҫкәре ҡиммәттәрҙең дәрәжәләрен, тамғаһын үҙгәртп, тигеҙләмәнең икенсе яғына күсерәбеҙ. Мәҫәлән, әгәр ${\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}}$ тигеҙләмәһенең сығарылышы булһа һәм шуның менән бергә ${\displaystyle a}$ тиҫкәре, ә ҡалғандары ыңғай булһа, ул саҡта ${\displaystyle b^{3}=c^{3}+|a|^{3}}$, һәм ${\displaystyle c,|a|,b.}$ натураль сығарылыштарын табабыҙ. Шуға күрә ике формулировка ла эквивалентлы.

Ферма теоремаһы раҫлауының дөйөмләштереүҙәре булып кире ҡағылған Эйлер гипотезаһы һәм асылған Ландер — Паркин — Селфридж гипотезаһы тора.

Тарихы

${\displaystyle n=3}$ булған осраҡ өсөн был теореманы X быуатта ал-Ходжанди иҫбатларға маташа, ләкин уның иҫбатлауы һаҡланмаған.

Дөйөм күренештә теорема Пьер Ферма тарафынан 1637 йылда Диофанттың «Арифметикаһының» ситендә формулировкалана. Эш шунда, Ферма үҙенең күрһәтмәләрен уҡыған математик трактаттар ситенә яҙып ҡуя һәм шунда уҡ аңға килгән мәсьәләләрҙе һәм теоремаларҙы билдәләй торған була. Һүҙ алып барылған теореманы яҙып ҡуйғанда, ул был теореманың табылған тапҡыр иҫбатланышы бик оҙон, уны китап ситенә һыйҙырып булмай тип өҫтәп ҡуя:

Киреһенсә, куб ике кубҡа, биквадрат ике биквадратҡа, һәм ғөмүмән, квадраттан ҙурыраҡ бер ниндәй дәрәжә лә шул уҡ күрһәткесле ике дәрәжәгә тарҡатыла алмай. Мин быға ысынлап та иҫ киткес иҫбатлау таптым, ләкин китап биттәре уның өсөн бик тар.

Оригинал текст  (лат.)  

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere  cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Диофанттың «Арифметика»һына 45-се комментарийында ${\displaystyle n=4}$ осрағы өсөн Ферманың үҙене иҫбатлауы

Ферма Диофанттың «Арифметика»һына 45-се комментарийында^[2] һәм Каркавиға хатында (1659 йылдың авгусы)^[3] теореманың дүртенсе дәрәжәһенә, ${\displaystyle n=4}$, ҡайтарып ҡалдырылған мәсьәләне сығарыу булараҡ ҡына иҫбатлау килтерә. Бынан тыш, Ферма ${\displaystyle n=3}$ булған осраҡты «Сикһеҙ төшөү ысулы» менән сығарылыусы мәсьәләләр исмлегенә индерә^[3].

Эйлер 1770 йылда теореманы^[4] ${\displaystyle n=3}$ осрағы өсөн иҫбатлай, Дирихле һәм Лежандр 1825 йылда — ${\displaystyle n=5}$ осрағы, Ламе — ${\displaystyle n=7}$ осрағы өсөн иҫбатлайҙар. Эрнст Эдуард Куммер, иррегуляр тип аталған 37, 59, 67 ябай һандарынан тыш, теорема 100-ҙән бәләкәй бөтә ябай ${\displaystyle n}$ өсөн дөрөҫ булыуын күрһәтә.

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ тигеҙләмәһен ${\displaystyle n}$-ға бүленмәгән һандар ҡәнәғәтләндерә алмай тигән раҫлауҙы, Ферма теоремаһының беренсе осрағы тип атау ҡабул ителгән, ә ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ тигеҙләмәһен араһынан береһе ${\displaystyle n}$-ға бүленгән һандар ҡәнәғәтләндерә алмай тигән раҫлауҙы, — Ферма теоремаһының икенсе осрағы тип атау ҡабул ителгән^[5]. Ферма теоремаһының беренсе осрағы Софи Жермен һандары күренешендәге күрһәткестәр өсөн Софи Жермен теоремаһы менән иҫбатлана.

Бөйөк теореманы тулыһынса иҫбатлау өҫтөндә бик күп күренекле математиктар һәм күп һәүәҫкәр дилетанттар эшләй; был теорема дөрөҫ булмаған «иҫбатлауҙар» һаны буйынса беренсе урында тора, тип һанала. Шуға ҡарамаҫтан, был тырышлыҡтар хәҙерге заман һандар теорияһының күп мөһим һөҙөмтәләрен алыуға килтерҙе. Давид Гильберт Халыҡ-ара математиктар конгресында үҙенең «Математик проблемалар» исемле докладында (1900) ошо аҙ әһәмиәтле теорема өсөн иҫбатлау эҙләүҙең һандар теорияһында тәрән һөҙөмтәләргә килтереүен билдәләй^[6]. 1908 йылда һәүәҫкәр немец математигы Пауль Вольфскель^[de] Ферма теоремаһын иҫбатлағандарға 100 мең немец маркаһын васыят итә. Ләкин Беренсе бөтә донъя һуғышынан һуң, премия осһоҙлана.

1980-сы йылдарҙа проблеманы хәл итеүгә яңы ҡараш барлыҡҡа килә. Герд Фальтингс 1983 йылда иҫбатлаған Морделл гипотезаһынан, ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ тигеҙләмәһенең ${\displaystyle n>3}$ булғанда тик сикле һанда үҙ-ара ябай сығарылышы булырға мөмкин булыуы килеп сыға.

1984 йылда немец математигы Герхард Фрай^[en] Ферма тигеҙләмәһенең сығарылышын, әгәр ул булһа, ниндәйҙер эллиптик тигеҙләмәгә индерергә мөмкин һәм, Бөйөк Ферма теоремаһы Танияма — Симура гипотезаһының эҙемтәһе, тип фаразлай. Был фараз Кен Рибет^[en] тарафынан иҫбатлана^[7], ул, был гипотетик тигеҙләмәнең модуляр формалар араһында игеҙәге була алмауын күрһәтә.

Уайлс Эндрю 1994 йылдың сентябрендә теореманы иҫбатлауҙа һуңғы мөһим аҙымды яһай. Уның Танияма — Симура гипотезаһын 130-битлек иҫбатлауы «Annals of Mathematics» журналында баҫылып сыға^[8].

Уайлс үҙенең иҫбатлауының беренсее вариантын 1993 йылда (ете йыл эшләгәндән һуң) баҫтырып сығара, әммә тиҙҙән унда етди етешһеҙлек асыҡлана, ул Ричард Лоуренс Тейлор ярҙамында тиҙ арала бөтөрөлә^[9]. 1995 йылда һуңғы варианты баҫылып сыға^[10]. 2016 йылда Ферманың бөйөк теоремаһын иҫбатлаған өсөн Эндрю Уайлс Абель премияһын ала^[11].

Колин Мак-Ларти, "ҙур кардинал" һандарҙың булыуын фараз итмәҫ өсөн, Уайлстың иҫбатлауын ябайлаштырып булыр моғайын, тип билдәләй^[12][13].

Ферма теоремаһы шулай уҡ abc-гипотезанан эҙемтә булараҡ килеп сыға, япон математигы Синъити Мотидзуки уны иҫбатлауы тураһында белдерә; уның иҫбатлауы ҡатмарлы булыуы менән айырылып тора. Әлеге ваҡытта математиктар берләшмәһендә уның хеҙмәттәренә ҡарата асыҡ консенсус юҡ^[14].

Ҡайһы бр вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

Эйлер тарафынан тәҡдим ителгән гипотезаларҙың береһе (1769 йыл) ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}}$ тигеҙләмәһенең натураль ${\displaystyle a,b,c,d}$ сығарылыштары юҡ тип раҫлай. Тик XX быуатта, ҡеүәтле компьютерҙар ярҙамында, гипотезаны кире ҡағыусы ҡаршы миҫалдар табыуға өлгәшелә. 1988 йылда Ноам Элкис ошондай сығарылышты асыҡлай^[15]:

${\displaystyle 2\,682\,440^{4}+15\,365\,639^{4}+18\,796\,760^{4}=20\,615\,673^{4}.}$

Һуңңғараҡ башҡа сығарылыштары ла табыла; уларҙың иң ябайҙары:

${\displaystyle 95\,800^{4}+217\,519^{4}+414\,560^{4}=422\,481^{4}.}$

1993 йылда америка һәүәҫкәр математигы тарафынан формулировкаланған Бил гипотезаһы Ферма теоремаһының тағы ла бер популяр һығымтаһы булып тора, ул был гипотезаның иҫбатланышы йәки инҡар ителеше өсөн 1 млн америка доллары вәғәҙә итә.

«Ферматистар»

Украинаның Мәғариф һәм фән министрлығы Г. А. Середкинға һәм Л. В. Шаповаловаға Ферма теоремаһының «иҫбатланышы» булған хеҙмәтенә биргән авторлыҡ танытмаһы

Ферма теоремаһын ябай формулировкаһы (һәр уҡыусы аңлай алырлыҡ), шулай уҡ берҙән-бер билдәле иҫбатлауҙың ҡатмарлы булыуы (йәки уның барлығы тураһында белмәү) күптәрҙе башҡа, ябайыраҡ иҫбатлау табырға маташырға дәртләндерә. Ферма теоремаһын ябай ысулдар менән иҫбатларға тырышҡан кешеләрҙе ферматистар" йәки «ферматиктар» тип атайҙар^[16] Ферматистар йыш ҡына профессионал түгел һәм арифметик ғәмәлдәрҙә йәки логик һығымталарҙа хаталар ебәрәләр, Шулай ҙа ҡайһы берәүҙәр хаталарын табыуы ҡыйын булған бик нескә «иҫбатлауҙарҙы» тәҡдим итәләр.

Математика һөйөүселәр араһында Ферма теоремаһын иҫбатлау шул тиклем популяр була, хатта 1972 йылда «Квант» журналы Ферма теоремаһы тураһында мәҡәлә баҫтырып сығарғанда, уға киләһе өҫтәп яҙыуҙы теркәй^[16]: «„Квант“ редакцияһы үҙ яғынан уҡыусыларға Ферма теоремыһын иҫбатлау проекты менән хаттар ҡаралмаясағын (һәм кире ҡатарылмаясағын) хәбәр итеүҙе кәрәк тип иҫәпләй».

«Ферматистар» немец математигы Эдмунд Ландауҙың бик ныҡ маҙаһына тейә. Төп эшенән айырылмаҫ өсөн, ул шаблонлы текст менән бер нисә йөҙ бланкка заказ бирә, унда билдәле бер юлда хата булыуын хәбәр итә, шуның менән бергә хатаны табыуҙы һәм бланктағы бушлыҡтарҙы тултырыуҙы үҙ аспиранттарына йөкмәтә.

Айырым ферматистар үҙҙәренең (дөрөҫ булмаған) «иҫбатлауҙарын» фәнни булмаған матбуғатта баҫтырыуға өлгәшә, матбуғат уларҙың әһәмиәтен фәнни сенсацияға тиклем ҡабартып күрһәтә^[17][18]. Хәйер, ҡайһы берҙә бындай мәҡәләләр абруйлы ғилми баҫмаларҙа ла донъя күрә^[19], ҡағиҙә булараҡ, артабанғы кире ҡағыу менән,^[20]. Башҡа миҫалдар араһында:

• Ярославлдә «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» исеме аҫтында баҫылып сыҡҡан В. И. Будкиндың брошюраһы (47 б., 5000 экз., Үрге Волга китап нәшриәте, 1975)^[21].
• Л. Ш. Райхелдың Ленинградта 1990 йылда баҡылып сыҡҡан «Великая теорема» исемле китабы^[22].
• Украинаның Мәғариф һәм фән министрлығы Л. В. Шаповалова менән Г. А. Середкинға биргән «Ферма теоремаһы иҫбатланышы» хеҙмәтенә авторлыҡ хоҡуғын теркәү тураһында таныҡлыҡ. Документ иҫбатлауҙың дөрөҫлөгөн дәлилләмәй, Мәғариф һәм фән министрлығына тапшырылған баҫма хеҙмәткә авторлыҡ хоҡуғын ғына теркәй; был министрлыҡҡа ошондай таныҡлыҡтар реестрын алып барыу бурысы йөкмәтелгән^[23].

Иҫкәрмәләр

1. Ферма теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
2. Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C. G. Bacheti V. C. & observationibus D. P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, p. 338—339.
3. Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, p. 431—436.
4. Ю. Ю. Мачис О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. — 2007. — Т. 82. — № 3. — С. 395—400. Английский перевод: J. J. Mačys On Euler’s hypothetical proof (инг.) // Mathematical Notes : journal. — 2007. — Т. 82. — № 3—4. — С. 352—356. — DOI:10.1134/S0001434607090088(недоступная ссылка)
5. М. М. Постников Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — С. 15.
6. Давид Гильберт. Математические проблемы 2014 йыл 11 сентябрь архивланған.:

   Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

7. Соловьев Ю. П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 1998. — Т. 4. — № 2. — С. 135—138.
8. Wiles, Andrew Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem (инг.) // Annals of Mathematics : journal. — 1995. — Т. 141. — № 3. — С. 443—551.
9. Taylor, Richard; Wiles, Andrew Ring theoretic properties of certain Hecke algebras (инг.) // Annals of Mathematics : journal. — 1995. — Т. 141. — № 3. — С. 553—572. Архивировано из первоисточника 27 ноябрь 2001. Архивированная копия  (билдәһеҙ). Дата обращения: 31 октябрь 2004. Архивировано из оригинала 27 ноябрь 2001 года. 2001 йыл 27 ноябрь архивланған. (инг.)
10. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 199—200.
11. Абелевскую премию получит британец, доказавший Великую теорему Ферма 2016 йыл 16 март архивланған..
12. Colin McLarty What does it take to prove Fermat's last theorem? Grothendieck and the logic of number theory (инг.) // Bulletin of Symbolic Logic. — 2010. — Т. 16. — № 3. — С. 359—377.
13. Fermat’s Last Theorem and more can be proved more simply (ингл.). Дата обращения: 27 ноябрь 2015. Архивировано из оригинала 28 июнь 2018 года. 2018 йыл 28 июнь архивланған.
14. David Michael Roberts. A Crisis of Identification : [англ.] // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
15. Наварро, Хоакин. Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики. — М.: Де Агостини, 2014. — Т. 25. — С. 84. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах). — ISBN 978-5-9774-0720-5.
16. Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23—25.
17. Теоремой — по ракетам!  (билдәһеҙ) Дата обращения: 6 июнь 2018. Архивировано 30 май 2018 года.
18. Человечество может расслабиться?  (билдәһеҙ) Дата обращения: 19 сентябрь 2008. Архивировано 29 сентябрь 2007 года. 2007 йыл 29 сентябрь архивланған.
19. Человечество может расслабиться 2014 йыл 20 июль архивланған.. Сайт Российской академии наук.
20. Теорема Ферма доказала, что попытки доказать её не прекратятся никогда 2014 йыл 20 июль архивланған.. Сайт Российской академии наук.
21. Пионеры 2013 йыл 20 сентябрь архивланған..
22. Лазарь Шлемович Райхель. Великая теорема: (Повесть) [Об учителе физики Л. Г. Марголине] / Л. Райхель — Л.: Б. м. Б. и. 252 с., 1990 (обл. 1991).
23. Постановление Кабинета министров Украины от 27.12.2001 г. № 1756 «О государственной регистрации авторского права…».

Әҙәбиәт

Рус телендә

• Абраров Д. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса 2009 йыл 14 апрель архивланған..
• Альварес Л. Ф. А. Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — В. 18. — ISSN 2409-0069.
• Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — 151 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
• Кирсанов Ф. История Великой Теоремы Ферма.
• Манин Ю.И., Панчишкин А.А. Введение в современную теорию чисел. — М.: МЦНМО, 2009.
• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982. Основная тема книги — последняя теорема Ферма.
• Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. — М.: Мир, 2003.
• Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.
• Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма. — 3-е изд. — М.: ОНТИ, 1934.
• Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. В книге подробно рассматривается теория идеальных делителей Куммера.

Инглиз телендә

• Donald C. Benson. The Moment of Proof: Mathematical Epophanies. — Oxford University Press, 1999. — ISBN 0-19-513919-4.
• Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS (42) (7), 743—746.
• Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat’s last theorem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• O’Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermat’s last theorem. The history of the problem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• Shay, David (2003). Fermat’s last theorem. The story, the history and the mystery 2007 йыл 2 февраль архивланған.. Retrieved Aug. 5, 2004.

Һылтанмалар

• Andrey J. Hanson. YouTube сайтында Визуализация последней теоремы Ферма logo : [пер. с англ.] — Indiana University Department of Computer Sience and the Center for Innovative Computer Applications. (1990)