Фундаменталь төркөм

Фундамента́ль төркөм  — топологик арауыҡҡа тиңләштерелгән билдәле бер төркөм. Тупаҫ итеп әйткәндә, был төркөм арауыҡта "тишек"тәр һанын үлсәй. «Тишектәр»ҙең булыуы ниндәйҙер йомоҡ кәкренең формаһын нөктәгә өҙлөкһөҙ үҙгәртеү мөмкин түгеллеге менән билдәләнә.

Билдәләмә

${\displaystyle X}$ — билдәләнгән ${\displaystyle x_{0}\in X}$ нөктәле топологик арауыҡ булһын. ${\displaystyle X}$-та ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһенән элмәктәр күмәклеген, йәғни ${\displaystyle f(0)=x_{0}=f(1)}$ булған ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$ өҙлөкһөҙ сағылыштар күмәклеген ҡарайыҡ. Ике ${\displaystyle f}$ һәм ${\displaystyle g}$ элмәктәре, әгәр улар элмәктәр класында бер береһенә гомотопиялы булһалар, йәғни уларҙы тоташтырыусы, ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)}$ үҙсәнлеген ҡәнәғәтләндергән ${\displaystyle f_{t}}$ гомотопияһы булһа, эквивалентлы тип иҫәпләнәләр. Ярашлы эквивалентлыҡ кластары гомотопиялы кластар тип аталалар. Ике элмәктең ҡабатландығы тип уларҙы эҙмә-эҙ үтеү менән билдәләнгән элмәк атала:

${\displaystyle (f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}}$

${\displaystyle [f]}$ һәм ${\displaystyle [g]}$ гомотопиялы кластар ҡабатландығы тип ${\displaystyle [f*g]}$ элмәктәр ҡабатландығы гомотопиялы класс атала. Ул класс кластарҙа элмәктәрҙе һайлауға бәйле түгел икәнен күрһәтергә мөмкин. Элмәктәрҙең гомотопиялы кластар күмәклеге ошондай ҡабатлау менән төркөм булып китә. Был төркөм билдәләнгән ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһе менән ${\displaystyle X}$ арауығының фундаменталь төркөмө тип атала ла инде һәм ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ тип тамғалана.

Комментарийҙәр

• Тождестволы, йәки хәрәкәтһеҙ элмәк класы төркөмдөң берәмеге булып тора, кире элементы — кире йүнәлештә үтелгән элмәк класы.
• Әгәр ${\displaystyle X}$ — һыҙыҡлы бәйле арауыҡ булһа, ул саҡта фундаменталь төркөм изоморфизмға тиклем аныҡлыҡ менән билдәләнгән нөктәгә бәйле түгел. Шуға күрә бындай арауыҡтар өсөн, буталсыҡ килеп сығыуынан ҡурҡмайынса, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ урынына ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ тип яҙырға мөмкин. Ләкин ике ${\displaystyle x,y\in X}$ нөктәләре өсөн ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ һәм ${\displaystyle \pi _{1}(X,y)}$ араһында ҡанунлаштырылған изоморфизм тик фундаменталь төркөм Абель төркөмө булған осраҡта ғына бар.

Бәйле билдәләмәләр

• Пунктирләнгән арауыҡтарҙың һәр өҙлөкһөҙ сағылышы ${\displaystyle \varphi :(X,x_{0})\to (Y,\varphi (x_{0}))}$, ${\displaystyle \varphi _{*}[f]=[\varphi f]}$ формулаһы менән бирелгән ${\displaystyle \varphi _{*}=\pi _{1}\varphi :\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))}$ сағылышын барлыҡҡа килтерә. ${\displaystyle \varphi _{*}}$ тик ${\displaystyle \varphi }$ гомотопиялы класына ғына бәйле, һәм ${\displaystyle (\varphi \psi )_{*}=\varphi _{*}\psi _{*}}$ һәм ${\displaystyle (1_{(X,x_{0})})_{*}=1_{\pi (X,x_{0})}}$ тигеҙлектәре үтәлә. Шулай итеп, тасуирланған операция менән фундаменталь төркөмдө алыу ${\displaystyle \pi _{1}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Grp} }$ функторын барлыҡҡа килтерә.

• ${\displaystyle X}$ арауығы, әгәр ул һыҙыҡлы бәйләнешле һәм ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ төркөмө тривиаль (тик берәмектән генә тора) булһа, бер бәйләнешле тип атала.

Миҫалдар

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ҙа тик бер генә гомотопиялы элмәктәр класы бар. Ошонан сығып, фундаменталь төркөм тривиаль, ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{n})=1}$. Шул уҡ теләһә ниндәй ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ҡабарынҡы аҫкүмәклеге арауығы өсөн дөрөҫ.

• Бер үлсәмле ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ сфераһында (әйләнәлә) һәр гомотопиялы класс әйләнәгә бирелгән һан тапҡыр уралған элмәктәрҙән тора, һан йүнәлешкә бәйле рәүештә ыңғай йәки тиҫкәре булырға мөмкин. Тимәк, бер үлсәмле әйләнәнең фундаменталь төркөмө ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ бөтөн һандарҙың аддитив төркөмөнә изоморфлы.

• ${\displaystyle n}$-үлсәмле сфераның фундаменталь төркөмө ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ бөтә ${\displaystyle n\geq 2}$ булғанда тривиаль.

• ${\displaystyle g}$ төрҙәге йүнәлешле йомоҡ йөҙҙөң фундаменталь төркөмө ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$ төҙөүселәре менән бер генә нисбәт менән бирелергә мөмкин: ${\displaystyle a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1}$.

Үҙсәнлектәре

• Арауыҡтың фундаменталь төркөмө уның гомотопиялы төрөнә генә бәйле.
  • Киреһе һыҙыҡлы бәйләнгән асферик арауыҡтар (англ.) өсөн дөрөҫ, шулай уҡ ҡарағыҙ Эйленберг — Маклейн арауығы (англ.).

• Әгәр ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle X}$-тың билдәләнгән ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһе ингән ретракты булһа, ул саҡта , ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$ ҡушымтаһы менән барлыҡҡа килтерелгән ${\displaystyle i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ гомоморфизмы инъективлы.
  • Айырып әйткәндә, ${\displaystyle X}$ һыҙыҡлы бәйләнешлелегенең билдәләнгән нөктә ингән компонентының фундаменталь төркөмө бөтә ${\displaystyle X}$ фундаменталь төркөмөнә изоморфлы.
  • Әгәр ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle X}$-тың ҡәтғи деформацион ретракты булһа, ул саҡта ${\displaystyle i_{*}:\pi _{1}(A,x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ изоморфизм була.

• ${\displaystyle \pi _{1}}$ ҡабатландыҡты һаҡлай: билдәләнгән нөктәләре менән теләһә ниндәй ${\displaystyle (X,x_{0})}$ һәм ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ топологик арауыҡтар пары өсөн

${\displaystyle (X,x_{0})}$ һәм ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ буйынса тәбиғи изоморфизм бар

• ${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

• ван Кампен теоремаһы: Әгәр ${\displaystyle X}$ — һәр береһенә билдәләнгән ${\displaystyle x_{0}\in X}$ нөктәһе ингән һыҙыҡлы бәйләнешле асыҡ күмәклектәрҙең берекмәһе ${\displaystyle A_{\alpha }}$ булһа, һәм әгәр һәр ${\displaystyle A_{\alpha }\cap A_{\beta }}$ киҫелеше һыҙыҡлы бәйләнешле булһа, ул саҡта ${\displaystyle A_{\alpha }\hookrightarrow X}$ ҡушымталары менән барлыҡҡа килтерелгән ${\displaystyle \Phi :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)}$ гомоморфизмы сюрьективлы. Бынан тыш, әгәр һәр ${\displaystyle A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }}$ киҫелеше һыҙыҡлы бәйләнешле булһа, ул саҡта ${\displaystyle \Phi }$ гомоморфизмының үҙәге — ул ${\displaystyle N}$-дың ${\displaystyle i_{\alpha \beta }(\omega )i_{\beta \alpha }(\omega )^{-1}}$ күренешендәге бөтә элементтар ингән иң бәләкәй нормаль аҫтөркөмө (бында ${\displaystyle i_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }}$ ҡушымтаһы менән барлыҡҡа килтерелгән), шуға күрә ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \pi _{1}(x)\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })/N}$ изоморфизмын барлыҡҡа килтерә (изоморфизм тураһында беренсе теорема).^[1] Атап әйткәндә,
  • ${\displaystyle \pi _{1}}$ коҡабатландыҡты һаҡлай: ${\displaystyle \pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })}$ ғәҙәттәгесә бөтә ${\displaystyle X_{\alpha }}$ буйынса.
  • (ике ${\displaystyle A_{\alpha }}$ осрағы): өсләтә киҫелеш өсөн шарт артыҡ булып китә, һәм ${\displaystyle \pi _{1}(A_{1}\cup A_{2})\cong \pi _{1}(A_{1}){\mathbin {\ast _{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}\pi _{1}(A_{2})}$ булыуы килеп сыға, был (һыҙыҡлы бәйләнешле ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ осрағы) тетрәүҙәр һаҡланыуының сикләнгән формаһы була.

• Ирекле төркөмдәр һәм тик шулар ғына графтарҙың фундаменталь төркөмдәре була ала (ысынлап та, һөлдә ағасты нөктәгә йыйыу графтың һәм әйләнәләр бәйләменең гомотопиялы эквивалентлығын тормошҡа ашыра, шулай уҡ Кампен теоремаһын ҡулланырға була).
• Ирекле төркөм ике үлсәмле ситлекле комплекстың фундаменталь төркөмө була ала.
• Ирекле сикле бирелгән төркөм йомоҡ 4- үлсәмле төрлөлөктөң фундаменталь төркөмө була ала.
• Арауыҡтың фундаменталь төркөмө был арауыҡтың универсаль ҡапламаларына күсештәр менән тәьҫир итә.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

• Фундаменталь төркөм гомотопиялы төркөмдәрҙең беренсеһе була.
• ${\displaystyle X}$ арауығының фундаменталь төркөмө тип, объекттары булып ${\displaystyle X}$-тың нөктәләре, ә морфизмдары булып — юлдар композицияһы менән юлдарҙың гомотопиялы кластары торған ${\displaystyle \Pi (X)}$ төркөмдәре атала. Шуның менән бергә ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\cong \operatorname {Aut} _{\Pi (X)}x_{0}}$, һәм әгәр ${\displaystyle X}$ һыҙыҡлы бәйләнешле булһа, ул саҡта ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)}$ ҡушымтаһы категориялар эквивалентлығы була.

Иҫкәрмәләр

1. А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.

Әҙәбиәт

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
• Фоменко Анатолий Тимофеевич. Дифференциальная геометрия и топология (доп. главы). — R&C dinamic, 1999. — 250 с.