Функцияның сығарылмаһы

Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Сығарылма.

Сығарылма төшөнсәһен иллюстрациялау

Функцияның сығарылмаһы — функцияның бирелгән нөктәлә үҙгәреү тиҙлеген характерлаусы Дифференциаль иҫәпләмә төшөнсәһе. Әгәр ундай сикләнмә булһа, функция үҫешенең уның аргументы үҫешенә сағыштырмаһының, аргумент үҫеше нулгә ынтылғандағы сикләнмәһе тип билдәләнә. Сикле сығарылмаһы булған функцияны (ниндәйҙер нөктәлә), дифференциалланыусы (был нөктәлә) тип атайҙар.

Сығарылманы иҫәпләү барышы дифференциаллау тип атала. Кире процесс — алынманы табыу — интеграллау.

Тарихы

Классик дифференциаль иҫәпләмәлә сығарылма йышыраҡ сикләнмә төшөнсәһе аша билдәләнә, әммә сикләнмәләр теорияһы тарихи дифференциаль иҫәпләмәнән һуңыраҡ барлыҡҡа килә. Ньютон сығарылманы флюксия тип атай, Лейбниц мәктәбе база төшөнсәһе сифатында дифференциал төшөнсәһенә өҫтөнлөк бирә^[1].

Лагранж ҡулланған ярашлы dérivée француз терминын урыҫ теленә тәржемә итеп, «Функцияның сығарылмаһы» формаһында урыҫ терминын беренсе булып В. И. Висковатов ҡуллана^[2].

Билдәләмә

${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ функцияһы бирелһен, ти. Функцияның сығарылмаһы тип, функцияны ${\displaystyle U(x_{0})}$ тирә-яғында,

әгәр ${\displaystyle A}$ булһа, ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}$ күренешендә күрһәтергә мөмкин булған ${\displaystyle A}$ һаны атала.

Функцияның сығарылмаһының сикләнмә аша билдәләмәһе

${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ функцияһы бирелһен, ти. ${\displaystyle f}$ функцияһының ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә сығарылмаһы тип, әгәр ул булһа,

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}}$ сикләнмәһе атала.

${\displaystyle y=f(x)}$ функцияһы сығарылмаһының ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә дөйөм ҡабул ителгән тамғаланыштары

${\displaystyle f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).}$

Һуңғыһы ғәҙәттә ваҡыт буйынса сығарылманы аңлатыуын билдәләп китәйек (теоретик механикала).

Сығарылмалар теҙеме

Дәрәжәле функцияларҙың сығарылмалары	Тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары	Кире тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары
${\displaystyle \left(c\right)'=0}$	${\displaystyle \left(\sin x\right)'=\cos x}$	${\displaystyle \left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}}$	${\displaystyle \left(\cos x\right)'=-\sin x}$	${\displaystyle \left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a}$	${\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \left(\log _{a}x\right)'={\dfrac {1}{x\ln a}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}x}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle \left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)}$
${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}}$

Дифференциалланыусанлыҡ

Төп мәҡәлә: Дифференциалланыусы функция

${\displaystyle f}$ функцияһының ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә ${\displaystyle f'(x_{0})}$ сығарылмаһы, сикләнмә булараҡ, булырға йәки булмаҫҡа һәм сикле йәки сикһеҙ булырға мөмкин. ${\displaystyle f}$ функцияһы ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә дифференциалланыусы була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уның был нөктәлә сығарылмаһы булһа һәм сикле булһа:

${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).}$

${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә дифференциалланыусы ${\displaystyle f}$ функцияһы өсөн ${\displaystyle U(x_{0})}$ тирә-яғында түбәндәгесә күрһәтеү дөрөҫ

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ булғанда

Иҫкәрмәләр

• ${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$ функция аргументының үҫеше тип атала, ә ${\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})}$ йәки ${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ функция ҡиммәтенең ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә үҫеше тип атала. Ул саҡта

  ${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

• ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ функцияһының һәр ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ нөктәһендә сикле сығарылмаһы булһын, ти. Ул саҡта сығарылма фу́нкция билдәләнә

  ${\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .}$

• Нөктәлә сығарылмаһы булған функция был нөктәлә өҙлөкһөҙ була. Киреһе һәр ваҡытта ла дөрөҫ түгел.
• Әгәр функцияның сығарылмаһы үҙе өҙлөкһөҙ булһа, ул саҡта ${\displaystyle f}$ функцияһын өҙлөкһөҙ дифференциалланыусы тип атайҙар һәм ошолай яҙалар: ${\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.}$

Сығарылманың геометрик һәм физик мәғәнәһе

Тейеүсе тура һыҙыҡтың ауышлыҡ мөйөшө тангенсы

Сығарылманың геометрик мәғәнәһе. Функцияның графигында x₀ абсциссаһы һайлап алына һәм ярашлы ордината f(x₀) иҫәпләп сығарыла. x₀ нөктәһенең тирә-яғында ирекле x нөктәһе алына. F Функцияның графигында ярашлы нөктәләр аша киҫеүсе үткәрелә (беренсе аҡһыл-һоро һыҙыҡ C₅). Δx = x — x₀ алыҫлығы нулгә ынтыла, нәтижәлә киҫеүсе тейеүсегә әйләнә (яйлап ҡараңғыланыусы һыҙыҡтар C₅ — C₁). Был тейеүсенең α ауышлыҡ мөйөшө тангенсы — x₀ нөктәһендәге сығарылма була ла инде.

Төп мәҡәлә: Тейеүсе тура һыҙыҡ

Әгәр ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} }$ функцияһының ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә сикле сығарылмаһы булһа, ул саҡта ${\displaystyle U(x_{0})}$ тирә-яғында уны

${\displaystyle f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$ һыҙыҡлы функцияһы менән яҡынайтып була.

${\displaystyle f_{l}}$ функцияһы ${\displaystyle f}$ функцияһына ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә тейеүсе тип атала. ${\displaystyle f'(x_{0})}$ һаны мөйөшсә коэффициент (тейеүсенең мөйөшсә коэффициенты) йәки тейеүсе тура һыҙыҡтың ауышлыҡ мөйөшө тангенсы тип атала.

Функцияның үҙгәреү тиҙлеге

${\displaystyle s=s(t)}$ — тура һыҙыҡлы хәрәкәт законы булһын, ти. Ул саҡта ${\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})}$ хәрәкәттең ${\displaystyle t_{0}}$ ваҡыт моментында кинәт тиҙлеген күрһәтә. Икенсе сығарылма ${\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ваҡыт моментындағы кинәт тиҙләнеште күрһәтә.

Ғөмүмән, ${\displaystyle y=f(x)}$ функцияһының ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә сығарылмаһы функцияның ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә үҙгәреү тиҙлеген, йәғни ${\displaystyle y=f(x)}$ бәйләнеше менән бирелгән процесстың үтеү тиҙлеген күрһәтә.

Сығарылма тураһында, аргумент үҙгәргәндә функция үҙгәреүенең «аралығы» кеүек, башланғыс интуитив күҙаллау биреүсе анимация (тергеҙеү өсөн баҫығыҙ).

Юғары тәртиптәге сығарылмалар

Ирекле тәртиптәге сығарылма тураһында төшөнсә рекуррентлы бирелә.

${\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0})}$ тип уйлайыҡ.

Әгәр ${\displaystyle f}$ функцияһы ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә дифференциалланыусы булһа, ул саҡта беренсе тәртиптәге сығарылма

${\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0})}$ нисбәте менән билдәләнә.

Хәҙер ${\displaystyle n}$-сы тәртиптәге сығарылма ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында бирелһен һәм дифференциалланыусы булһын, ти. Ул саҡта

${\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).}$

Әгәр ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ функцияһының ниндәйҙер D өлкәһендә үҙгәреүсәндәрҙең берәүһе буйынса айырым сығарылмаһы булһа, ул саҡта әйтелгән сығарылманың, үҙе ${\displaystyle x,y,z,}$ үҙгәреүсәндәренән функция булараҡ, ниндәйҙер ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ нөктәһендә теге йәки был үҙгәреүсән буйынса айырым сығарылмаһы булырға мөмкин. Баштағы ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ функцияһы өсөн был сығарылмалар икенсе тәртиптәге айырым сығарылма (йәки икенсе айырым сығарылма) булалар.

${\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ йәки ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ йәки ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}}$

Төрлө үҙгәреүсәндәр буйынса алынған икенсе йәки юғарыраҡ тәртиптәге айырым сығарылма аралаш айырым сығарылма тип атала. Мәҫәлән,

${\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}$

Сығарылмаларҙы яҙыу ысулдары

Маҡсатҡа һәм ҡулланылған математик аппараттың ҡулланыу өлкәһенә бәйле, сығарылмаларҙы яҙыуҙың төрлө ысулдарын ҡулланалар. Шулай, n-сы тәртиптәге сығарылма түбәндәге нотацияларҙа яҙылырға мөмкин:

• Лагранждың ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}$, был осраҡта бәләкәй n өсөн йыш ҡына штрихтар һәм рим цифрҙары ҡулланыла:

${\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),}$ һәм башҡа шулай

Бындай яҙыу үҙенең ҡыҫҡалығы менән уңайлы һәм киң таралған; әммә штрихтар менән өсөнсө тәртиптән юғары булмаған сығарылмалар өсөн генә тамғалау рөхсәт ителә.

• Лейбництың, сикһеҙ бәләкәй сағыштырмаларҙы асыҡ яҙыу менән уңайлы(тик ${\displaystyle x}$ — бәйләнешһеҙ үҙгәреүсән булғанда; кире осраҡта тамғалау беренсе тәртиптәге сығарылма өсөн генә дөрөҫ):

${\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})}$

• Ньютондың, механикала йыш координата функцияһының ваҡыт буйынса сығарылмаһы өсөн ҡулланыла (арауыҡ сығарылмаһы өсөн йышыраҡ Лагранж яҙыуын ҡулланалар). Сығарылманың тәртибе функция өҫтөндәге нөктәләр һаны менән тамғалана, мәҫәлән:

${\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})}$ — ${\displaystyle x}$-тың ${\displaystyle t}$ буйынса ${\displaystyle t=t_{0}}$ булғанда беренсе тәртиптәге сығарылмаһы, йәки ${\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})}$ — ${\displaystyle f}$-тың ${\displaystyle x}$ буйынса ${\displaystyle x_{0}}$ нөктәһендә икенсе тәртиптәге сығарылма һәм б. ш.

• Эйлерҙың, дифференциаль оператор (ҡәтғи әйткәндә, ярашлы функциональ арауыҡ индерелгәнгә тиклем, дифференциаль аңлатма) ҡуллана, һәм шуға күрә функциональ анализ менән бәйле мәсьәләләрҙә уңайлы яҙыу:

${\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})}$, йәки ҡайһы берҙә ${\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})}$.

• Вариацион иҫәпләмәлә һәм математик физикала йыш ${\displaystyle f_{x}}$, ${\displaystyle f_{xx}}$ тамғалауы ҡулланыла; нөктәлә сығарылма ҡиммәте өсөн — ${\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}}$. Айырым сығарылмалар өсөн тамғалау шул уҡ, шуға күрә тамғалау мәғәнәһен контекстан асыҡлайҙар.

Әлбиттә, шуның менән бергә улар бөтәһе лә бер үк объекттарҙы тамғалау өсөн хеҙмәт итәләр икәнде онотмаҫҡа кәрәк:

${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot ...\cdot } ^{n\ \mathrm {PA} 3}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ \mathrm {PA} 3}}\vert _{x=x_{0}}.}$

Миҫалдар

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ булһын, ти. Ул саҡта

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.}$

• ${\displaystyle f(x)=|x|}$ булһын. Ул саҡта әгәр ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ булһа, ул саҡта

${\displaystyle f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},}$

бында ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ тамға функцияһын аңлата. Ә әгәр ${\displaystyle x_{0}=0}$ булһа, ул саҡта ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,}$ ә тимәк ${\displaystyle f'(x_{0})}$ юҡ.

Дифференциаллау ҡағиҙәләре

Сығарылма табыу операцияһы дифференциаллау тип атала. Был операцияны башҡарғанда йыш ҡына функцияларҙың бүлендектәре, суммалары, ҡабатландыҡтары, шулай уҡ «функциялар функцияһы», йәғни ҡатмарлы функциялар менән эш итергә тура килә. Сығарылманың билдәләмәһенән сығып, был эште еңеләйтеүсе дифференциаллау ҡағиҙәләре сығарырға була. Әгәр ${\displaystyle C}$ — даими һан һәм ${\displaystyle f=f(x),g=g(x)}$ — ниндәйҙер дифференциалланыусы функциялар булһа, ул саҡта ошондай дифференциаллау ҡағиҙәләре дөрөҫ:

• ${\displaystyle C'=0}$
• ${\displaystyle x'=1}$
• ${\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'}$^[3]

Ҡалып:Иҫбатлау

• ${\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'}$^[4]

Ҡалып:Иҫбатлау

• ${\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'}$
• ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ …(g ≠ 0)

Ҡалып:Иҫбатлау

• ${\displaystyle \left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}}$ (g ≠ 0)
• Әгәр функция параметрлы бирелһә:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.}$, то ${\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}}$

Төп мәҡәлә: Ҡатмарлы функцияны дифференциаллау

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}}$
• Ҡабатландыҡ һәм бүлендек сығарылмалары формулалары n-тапҡырлы дифференциаллау осрағына дөйөмләштереләләр (Лейбниц формулаһы):

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ бында ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиаль коэффициенттар.

Сығарылманың артабанғы үҙсәнлектәре дифференциаллау ҡағиҙәләренә өҫтәлмә булып хеҙмәт итәләр:

• әгәр функция ${\displaystyle (a,b)}$ интервалында дифференциалланыусы булһа, ул ${\displaystyle (a,b)}$ интервалында өҙлөкһөҙ була. Киреһе, ғөмүмән алғанда, дөрөҫ түгел (мәҫәлән, ${\displaystyle y(x)=|x|}$ функцияһы ${\displaystyle [-1,1]}$ киҫегендә);
• әгәр функцияның аргументтың ${\displaystyle x}$-ҡа тигеҙ ҡиммәтендә локаль максимумы/минимумы булһа, ул саҡта ${\displaystyle f'(x)=0}$ (был Ферма леммаһы тип атала);
• был функцияның сығарылмаһы берҙән-бер, ләкин төрлө функцияларҙың бер төрлө сығарылмалары булырға мөмкин.
• ${\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)}$

Ҡалып:Доказ1

Ҡайһы бер функцияларҙың сығарылмалары теҙеме

Төп мәҡәлә: Сығарылмалар теҙеме

${\displaystyle f(x)}$ функцияһы	Сығарылмаһы ${\displaystyle f'(x)}$	Иҫкәрмә
${\displaystyle x^{\alpha }}$	${\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1}}$	Иҫбатлау                                    ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ билдәләйбеҙ, аргументҡа ${\displaystyle \Delta x}$ үҫешен бирәбеҙ. Функцияның үҫешен иҫәпләйбеҙ: ${\displaystyle \Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}$, т.о ${\displaystyle (x^{\alpha })'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}{\Delta x}}=}$См.${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x}}}{\Delta x}}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}}$
${\displaystyle a^{x}}$	${\displaystyle a^{x}\cdot \ln {a}}$	Иҫбатлау                                    ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$-ты билдәләйбеҙ, аргументҡа ${\displaystyle \Delta x}$ үҫешен бирәбеҙ. Функцияның үҫешен иҫәпләйбеҙ: ${\displaystyle \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)}$, т.о ${\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=}$См.${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}}$
${\displaystyle \log _{a}{x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$
${\displaystyle \mathrm {tg} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}$
${\displaystyle \arcsin {x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos {x}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arctg} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcctg} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$
${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$
${\displaystyle \mathrm {th} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}}$
${\displaystyle \mathrm {cth} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}}$

Вектор-функцияның параметр буйынса сығарылмаһы

${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ вектор-функцияһының параметр буйынса сығарылмаһына билдәләмә бирәйек:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}$.

Әгәр ${\displaystyle t}$ нөктәһендә сығарылмаһы булһа, вектор-функция был нөктәлә дифференциалланыусы функция тип атала. Сығарылма өсөн ${\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}$ координаталы функциялар булалар.

Вектор-функция сығарылмаһының үҙсәнлектәре (һәр ерҙә сығарылмалар бар тип күҙаллана):

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — сумманың сығарылмаһы сығарылмалар суммаһына тигеҙ.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}$ — бында ${\displaystyle f(t)}$ — дифференцияланыусы скаляр функция.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — скаляр ҡабатландыҡты дифференциаллау.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}$ — векторлы ҡабатландыҡты дифференциаллау.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}$ — аралаш ҡабатландыҡты дифференциаллау.

Сығарылмаларҙы биреү ысулдары

• Джексон сығарылмаһы^[5]:

${\displaystyle D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

• Сығарылмаларҙы дөйөмләштереү
  • Кәсерле сығарылма
  • Пеано сығарылмаһы
  • Айырым сығарылма

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Сығарылмалар теҙмәһе
• Сығарылма (математика)
• Ҡатмарлы функцияны дифференциаллау
• Кире функцияның сығарылмаһы
• Дифференциалланыусы функция
• Анализдың төп теоремаһы
• Сығарылманың геометрик мәғәнәһе
• Йүнәлеш буйынса сығарылма

Иҫкәрмәләр

1. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 155—156
2. Комков Г. Д., Левшин Б. В., Семенов Л. К. Академия наук СССР. Краткий исторический очерк (в двух томах). — 2-е изд. — М.: Наука, 1977. — Т. 1. 1724—1917. — С. 173.
3. Сумманың сығарылмаһы сығарылмалар суммаһына тигеҙ
4. Ошонан сығып, айырым алғанда, функциялар һәм константа ҡабатландығының сығарылмаһы был функция сығарылмаһының константаға ҡабатландығына тигеҙ булыуы килеп сыға
5. A.I. Olemskoi, S.S. Borysov, a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi

Әҙәбиәт

• Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант. — 1975. — № 12.
• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Һылтанмалар

• Онлайн калькулятор производных с подробным пошаговым решением на русском языке
• Таблица производных
• «Что такое производная — на примере с банковским счётом» — перевод статьи Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor | BetterExplained (инг.)