Дыфэрэнцыйнае раўнаньне

Дыфэрэнцыйнае раўнаньне — раўнаньне, якое зьвязвае значэньне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэньне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне ўтрымлівае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя зьменныя; аднак ня кожнае раўнаньне, якое зьмяшчае вытворныя невядомай функцыі, зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Напрыклад, ${\displaystyle \ f'(x)=f(f(x))}$ не зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Варта таксама адзначыць, што дыфэрэнцыйнае раўнаньне можа, наогул, не зьмяшчаць невядомай функцыі, некаторых яе вытворных і свабодных зьменных, але абавязкова зьмяшчаць прынамсі адну з вытворных. Дыфэрэнцыйныя раўнаньні гуляюць важную ролю ў тэхніцы, фізыцы, эканоміцы й іншых дысцыплінах.

У прыкладаньнях матэматыкі часта ўзьнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасьць аднаго парамэтру ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасьці зьмены аднаго парамэтру адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжаньня функцыі па яе вытворнай, зьвязанай зь некаторымі іншымі выразамі.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні ўзьнікаюць у многіх галінах навукі й тэхнікі, у прыватнасьці, калі існуюць дэтэрмінаваныя адносіны з удзелам некаторых бесьперапынна зьмяняльных велічыняў і тэмпы іхных зьменаў у прасторы ці часе вядомыя. Гэтае маецца ў клясычнай мэханіцы, дзе рух цела апісваецца ягоным становішчам і хуткасьцю, у той час як значэньне часу зьмяняецца. Законы Ньютана дазваляюць з улікам месцазнаходжаньня, хуткасьці, паскарэньня й розных сілаў, якія дзейнічаюць на цела, выказаць гэтыя зьмены дынамічна праз дыфэрэнцыйнае раўнаньне для невядомага становішча цела як функцыю часу. У некаторых выпадках, гэтае дыфэрэнцыйнае раўнаньне, гэтак званыя раўнаньні руху, могуць быць вырашаны ў відавочным выглядзе.

Прыкладам мадэляваньня праблемы рэальнага сьвету з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў зьяўляецца вызначэньне хуткасьці падзеньня шара ў паветры, разглядаючы толькі гравітацыю й супраціў паветра. Паскарэньне шара да зямлі зьяўляецца паскарэньнем сілы цяжару за мінусам запаволеньня шара з-за супраціву паветра. Гравітацыя лічацца сталай велічынёй, а супраціў паветра можа быць змадэляваны як прапарцыйная велічыня да хуткасьці шара. Гэта азначае, што паскарэньне шара, якое зьяўляецца вытворным ад ягонай хуткасьці, залежыць ад хуткасьці, а хуткасьць залежыць ад часу. Знаходжаньне хуткасьці як функцыі часу ўлучае ў сябе разьвязкі дыфэрэнцыйных раўнаньняў.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні першага парадку

Раўнаньне ${\displaystyle F(x,y,y')=0}$, дзе ${\displaystyle y=y(x)}$ — невядомая функцыя, якая непарыўна дыфэрэнцуецца на адцінку ${\displaystyle (a,b)}$, называецца звычайным дыфэрэнцыйным раўнаньнем першага парадку.

Функцыя ${\displaystyle y=y(x)}$ называецца разьвязкам дыфэрэнцыйнага раўнаньня ${\displaystyle F(x,y,y')=0,}$, калі яна непарыўна дыфэрэнцуецца на ${\displaystyle (a,b)}$ і ${\displaystyle F(x,y,y')=0}$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle x}$.

Раўнаньні першага парадку, разьвязаныя адносна вытворнай

Звычайнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку першай ступені, разьвязанае адносна вытворнай можна прадставіць у выглядзе ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)}$.

Прыклад

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$

Разьвязаньне гэтага раўнаньня:

${\displaystyle {dy}=f(x)\,dx}$

${\displaystyle y=\int f(x)\,dx+c}$

Аднародныя раўнаньні

Аднародныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні — раўнаньні выгляду ${\displaystyle y'=f({\frac {y}{x}})}$. Таксама могуць быць запісаныя ў выглядзе ${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$, дзе ${\displaystyle M(x,y)}$ і ${\displaystyle N(x,y)}$ зьяўляюцца аднароднымі функцыямі адной і той жа ступені.^[1]

Прыклад

Для таго, каб разьвязаць аднароднае раўнаньне, можна зрабіць замену ${\displaystyle y=tx}$.

${\displaystyle xdy=(x+y)dx}$

${\displaystyle y=tx}$

${\displaystyle x(xdt+tdx)=(x+tx)dx}$

${\displaystyle xdt=dx}$

Адкуль:

${\displaystyle dt={\frac {dx}{x}},(*)}$

${\displaystyle t=\ln |x|+c}$

Паколькі ${\displaystyle y=tx}$, ${\displaystyle y=x(\ln |x|+c)}$. Таксама застаўся разьвязак ${\displaystyle x=0}$, згублены пры дзяленьні на ${\displaystyle x}$ (гл. ${\displaystyle (*)}$).

Лінейныя раўнаньні

Лінейнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку — раўнаньне, якое лінейнае адносна нейкай невядомай функцыі і яе вытворнай. Выгляд лінейнага раўнаньня:

${\displaystyle t={\frac {dy}{dx}}+p(x)y=f(x)}$, дзе ${\displaystyle p(x)}$ і${\displaystyle f(x)}$ лічацца непарыўнымі функцыямі ў вобласьці інтэграваньня раўнаньня^[2].

Лінейныя аднародныя раўнаньні

Калі ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$, то лінейнае раўнаньне аднароднае. Такія раўнаньні разьвязваюцца дзяленьнем зьменных:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}=-p(x){dx}}$

Інтэгруем: ${\displaystyle \ln |y|=-\int {p(x)dx}+\ln c}$, дзе ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle y=e^{\int \!p(x)\,dx}}$, дзе ${\displaystyle c\neq 0}$

Пры дзяленьні на ${\displaystyle y}$ згубіўся разьвязак ${\displaystyle y\equiv 0}$.

Лінейныя неаднародныя раўнаньні

Для разьвязаньня лінейных неаднародных раўнаньняў можна ўжыць мэтад варыяцыі пастаяннай^[3].

Раўнаньне Бэрнулі

Гл. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі

Раўнаньне Рыкаці

Гл. Раўнаньне Рыкаці

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні парадку, вышэйшага за першы

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні n-га парадку маюць выгляд

${\displaystyle y^{(n)}=f(x.y,y',...,y^{(n-1)})}$.

Калі раўнаньне разьвязанае адносна самай высокай вытворнай, яно мае выгляд ${\displaystyle F(x,y,y',...,y^{(n)})}$.

Паніжэньне парадку дыфэрэнцыйнага раўнаньня

Для разьвязаньня дыфэрэнцыйнага раўнаньня n-га парадку трэба панізіць гэты парадак. Гэта можна ажыцьцявіць шматлікімі спосабамі.

Прыклад

${\displaystyle yy''=y'^{2}}$

Падзелім раўнаньне на ${\displaystyle yy'}$:

${\displaystyle {\frac {y''}{y'}}={\frac {y'}{y}}}$.

Адкуль ${\displaystyle (\ln y')'=(\ln y)'}$,

${\displaystyle \ln y'=\ln y+\ln c}$,

${\displaystyle y'=yc}$.

Парадак раўнаньня панізілі.

Лінейныя раўнаньні вышэйшых парадкаў

Раўнаньне выгляду

${\displaystyle y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+p_{2}(x)y^{(n-2)}+...+p_{n-1}(x)y'+p_{n}(x)y=f(x)}$

называецца лінейным раўнаньнем n-га парадку.

Калі ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle \forall x}$, то раўнаньне называецца аднародным. Калі ж ${\displaystyle f(x)\neq \ 0}$, то раўнаньне называецца неаднародным^[4].

Раўнаньні з пастаяннымі каэфіцыентамі

Раўнаньне выгляду

${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+a_{2}y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_{n}y=0}$

з пастаяннымі рэчаіснымі каэфіцыентамі ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ мае фундамэнтальную сыстэму разьвязкаў (ФСР) ${\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}}$ ${\displaystyle \forall x}$.

Агульны разьвязак, які адпавядае ФСР: ${\displaystyle y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+...+C_{n}y_{n}}$, дзе ${\displaystyle C_{1},C_{2},...,C_{n}}$ — вольныя пастаянныя.

Неаднароднае раўнаньне

${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+a_{2}y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_{n}y=f(x)}$

можа быць праінтэграванае з дапамогай мэтаду варыяцыі вольных пастаянных^[5][6].

Крыніцы

1. Филиппов, Алексей Федорович. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : Учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. - 7-е изд., стер. - М. : Наука, 1992. - 127, [1] с. : ил. ; 20 см.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
3. Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org
4. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 132
5. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 136-138
6. Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org

Вонкавыя спасылкі

Дыфэрэнцыйнае раўнаньне — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў

• Лекцыі па дыфэрэнцыйным раўнаньням. МТІ
• Дыфэрэнцыйныя раўнаньні. S.O.S. Mathematics
• Вырашальнік дыфэрэнцыйных раўнаньняў. Джава-аплет
• Увядзенне ў мадэляваньне з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў
• Дакладныя разьвязкі звычайных дыфэрэнцыйных раўнаньняў
• «Сьвет матэматычных раўнаньняў»
• Прыклады разьвязаньня дыфэрэнцыйных раўнаньняў