Правіла Сымпсана

Правіла Сымпсана — правіла, якое выкарыстоўваецца пры лікавым інтэграваньні (лікавым прыбліжэньні вызначаных інтэгралаў). Мае наступны формульны выгляд:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$

Мэтад атрымаў згаданую назву ў гонар выбітнага шатляндзкага матэма́тыка Томаса Сымпсана (1710—1761).

Хібнасьць

Для ацэнкі хібнасьці мэтаду выкарыстоўваецца наступная формула:

${\displaystyle E(f)={\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}\left|f^{(4)}(\xi )\right|}$,

дзе ${\displaystyle \xi }$ — некаторы лік паміж ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$.

Складальнае правіла Сымпсана

Няхай адцінак [a, b] падзяляецца на n частак. Тады формулу Сымпсана можна запісаць ў выглядзе:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}={\tfrac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg [}f(x_{2j-2})+4f(x_{2j-1})+f(x_{2j}){\bigg ]}}$

Хібнасьць ацэньваецца наступным чынам:

${\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}|f^{(4)}(\xi )|}$,

дзе ${\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}}}$^[1]

Глядзіце таксама

• Мэтад Ойлера

Зноскі

1. Atkinson, pp. 257+258; Süli and Mayers, §7.5