Сыстэма каардынат

Дэкартава сыстэма каардынат на роўніцы

Сыстэма каардынат (слова каардынат паходзіць ад лац.: co + ordinatus, сумесна падпарадкаваны) — комплекс вызначэньняў, які ажыцьцяўляе мэтад каардынат, то бок спосаб вызначаць палажэньне пункту або цела з дапамогай лічбаў або іншых сымбаляў. Сукупнасьць лічбаў, якія вызначаюць палажэньне канкрэтнага пункту, называецца каардынатамі гэтага пункту.

• у матэматыцы каардынаты — сукупнасьць лічбаў, супастаўленых пунктам мнагастайнасьці ў мапе пэўнага атлясу.

• у элемэнтарнай геамэтрыі каардынаты — велічыні, якія вызначаюць палажэньне пункту на роўніцы і ў прасторы. На роўніцы палажэньне пункту часьцей за ўсё вызначаецца адлегласьцю ад дзьвюх прамых (каардынаты восяў), якія перасякаюцца ў адным пункце (пачатку каардынат) пад простым вуглом; адна з каардынат называецца ардынатай, іншая — абсцысай. У прасторы паводле сыстэмы Дэкарта палажэньне пункту вызначаецца адлегласьцямі ад трох роўніцаў каардынат, якія перасякаюцца ў адным пункце пад простымі вугламі адзін да аднаго, альбо сфэрычнымі каардынатамі, дзе пачатак каардынат знаходзіцца ў цэнтры сфэры.

Сфэрычныя каардынаты

• у геаграфіі каардынаты — шырата, даўгата і вышыня над вядомым агульным узроўнем (напрыклад, акіяну). Гл. геаграфічныя каардынаты.

• у астраноміі каардынаты — велічыні, з дапамогай якіх вызначаецца палажэньне зоркі, напрыклад, простае ўзьняцьцё і схіленьне.

• Нябесныя каардынаты — лічбы, з дапамогай якіх вызначаюць палажэньне сьвяцілаў і дапаможных пунктаў на нябеснай сфэры. У астраноміі выкарыстоўваюцца розныя сыстэмы нябесных каардынат. Кожная зь іх па сутнасьці ўяўляе сабой сыстэму палярных каардынат на сфэры з адпаведным чынам абраным полюсам. Сыстэму нябесных каардынат задаюць вялікім кругам нябеснае сфэры (альбо яго полюсам, які ляжыць за 90° ад любога пункту гэтага круга) з указаньнем на ім пачатковага пункту адліку адной з каардынат. У залежнасьці ад выбару гэтага круга сыстэмы нябесных каардынат называлася гарызантальнай, экватарыяльнай, экліптычнай і галяктычнай.

Найбольш выкарыстоўвальная сыстэма каардынат — простакутная сыстэма каардынат (таксама вядомая як дэкартава сыстэма каардынат).

Каардынаты на роўніцы і ў прасторы можна ўводзіць бясконцай колькасьцю розных спосабаў. Разьвязваючы тую ці іншую матэматычную альбо фізычную задачу мэтадам каардынат, можна выкарыстоўваць розныя каардынатныя сыстэмы, абіраючы тую зь іх, у якой задача разьвязваецца прасьцей альбо зручней у дадзеным канкрэтным выпадку. Вядомым абагульненьнем сыстэмы каарданыт зьяўляюцца сыстэмы адліку і сыстэмы рэфэрэнцыі.

Асноўныя сыстэмы

Дэкартавая сыстэма

Самай распаўсюджанай сыстэмай каардынатаў у матэматыцы ёсьць дэкартавая сыстэма каардынатаў, названая гэтак у гонар Рэнэ Дэкарта. Дэкартавая сыстэма каардынатаў задаецца пачаткам каардынатаў і трыма вэктарамі, якія вызначаюць кірунак каардынатных восяў. Кожны пункт прасторы задаецца лікамі, якія роўныя адлегласьці ад дадзенага пункту да каардынатных плоскасьцяў.

Каардынаты дэкартавай сыстэмы на графіку прынята пазначаць ${\displaystyle (x,y)}$, у прасторы ${\displaystyle (x,y,z)}$.

Розныя дэкартавыя сыстэмы каардынатаў зьвязаныя адзін з адным афіннымі пераўтварэньнямі, то бо зрушэньнем і паваротамі.

Палярная сыстэма

Палярныя каардынаты

Прыкладам крывалінейнай сыстэмы каардынатаў на плоскасьці зьяўляецца палярная сыстэма каардынатаў, у якой становішча пункту задаецца двума лікамі: адлегласьцю ${\displaystyle \rho }$ паміж пунктам і пачаткам каардынатаў, і кутом ${\displaystyle \varphi }$ паміж промнем, які злучае пачатак каардынатаў з пунктам і абранай восьсю. Пункты дэкартавых і палярных каардынатаў зьвязаныя паміж сабой формуламі:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi }$,

${\displaystyle y=\rho \sin \varphi }$,

Некаторыя раўнаньні ў палярнай сыстэме каардынатаў маюць просты выгляд, як то канічныя перасекі, сьпіралі, кардыёда і г. д. Палярную сыстэму каардынатаў можна абагульніць на выпадак n-мернай прасторы. Выпадак n = 2 (на плоскасьці) адпавядае звычайнай палярнай сыстэме каардынатаў, а n = 3 — сфэрычнай сыстэме каардынатаў.

У прасторы прымяняюцца абагульненьня палярных каардынатаў, то бок цыліндрычныя і сфэрычныя сыстэмы каардынатаў.

Цыліндрычная сыстэма

Цыліндрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў, у якім пункт ${\displaystyle P}$ уяўляецца ўпарадкаванай тройкай ${\displaystyle (r,\varphi ,z)}$. У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

• ${\displaystyle 0\leqslant {r}}$ (радыюс) — адлегласьць ад восі ${\displaystyle z}$ да пункту ${\displaystyle P}$,
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}$ (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») часткай восі ${\displaystyle x}$ і адрэзкам, праведзеным ад полюсу да пункту ${\displaystyle P}$ і спраектаваным на плоскасьць ${\displaystyle xy}$.
• ${\displaystyle z}$ (вышыня) роўная дэкартавай ${\displaystyle z}$-каардынаце пункту ${\displaystyle P}$.

Палярныя каардынаты маюць адзіны недахоп, то бок значэньне ${\displaystyle \varphi }$ не вызначана пры ${\displaystyle r=0}$.

Цыліндрычныя каардынаты карысныя для вывучэньня сыстэмаў, які зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна некаторай восі. Напрыклад, падоўжаны цыліндар з радыюсам ${\displaystyle R}$ у дэкартавых каардынатах (з восьсю ${\displaystyle z}$, якая супадае з восьсю цыліндру) мае раўнаньне ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2},}$ тады як у цыліндрычных каардынатах яно выглядае значна прасьцей, як то ${\displaystyle r=R}$.

Сфэрычная сыстэма

Сфэрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў. У сфэрычнай сыстэме каардынатаў разьмяшчэньне пункту ${\displaystyle P}$ вызначаецца трыма кампанэнтамі: ${\displaystyle \rho ,\varphi ,\theta }$. У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

• ${\displaystyle 0\leqslant \rho }$ (радыюс) — адлегласьць ад пункту ${\displaystyle P}$ да полюсу,
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}$ (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю ${\displaystyle x}$ і праекцыяй адрэзка, праведзенага з полюсу да пункту ${\displaystyle P}$, на плоскасьць ${\displaystyle xy}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$ (шырата або палярны кут) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю ${\displaystyle z}$ і адрэзкам, праведзенага з полюсу да пункту ${\displaystyle P}$.

Сфэрычная сыстэма каардынатаў таксама мае недахоп: ${\displaystyle \varphi }$ і ${\displaystyle \theta }$ ня вызначаныя, калі ${\displaystyle \rho =0}$; кут ${\displaystyle \varphi }$ не вызначаны таксама і для межавых значэньняў ${\displaystyle \theta =0}$ і ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$ (або для ${\displaystyle \theta =\pm 90^{\circ }}$, у выпадку прыняцьця адпаведнага дыяпазону для гэтага кута).

Для пабудовы пункту ${\displaystyle P}$ па ягоных сфэрычных каардынатах трэба ад полюса ўздоўж дадатнай паўвосі ${\displaystyle z}$ адкласьці адрэзак, роўны ${\displaystyle \rho }$, павярнуць яго на кут ${\displaystyle \theta }$ вакол восі ${\displaystyle y}$ у напрамку дадатнай паўвосі ${\displaystyle x}$, і затым павярнуць на кут ${\displaystyle \theta }$ вакол восі ${\displaystyle z}$ у напрамку дадатнай паўвосі ${\displaystyle y}$.

Сфэрычныя каардынаты карысныя пры вывучэньні сыстэм, якія зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна пункту. Гэтак раўнаньне сфэры з радыюсам ${\displaystyle R}$ у дэкартавых каардынатах з пачаткам адліку ў цэнтры сфэры выглядае як ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$ тады як у сфэрычных каардынатах яно становіцца нашмат прасьцейным, як то ${\displaystyle r=R}$.

Вонкавыя спасылкі

• Шасьцігранныя сыстэмы каардынатаў.