Сярэдняе геамэтрычнае

Сярэдняе геамэтрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іхні здабытак не зьмяніўся. У матэматычным выражэньні:

${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}}$

Сярэдняе геамэтрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыйным^[1].

Уласьцівасьці

• Так сама, як і любое іншае сярэдняе значэньне, сярэдняе геамэтрычнае ляжыць паміж мінімумам і максымумам з усіх лікаў:

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

• Сярэдняе геамэтрычнае двух лікаў ${\displaystyle a=A_{0},b=G_{0}}$ зьяўляецца сярэднім арытмэтычным-гарманічным гэтых лікаў, то бок роўнае ліміту дзьвюх пасьлядоўнасьцяў:

${\displaystyle A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2}},\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{i-1}}}}$

Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае

Асноўны артыкул: Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае

Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ з рэчаіснымі вагамі ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ вызначаецца як?

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}$

У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя міжсобку, сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае роўнае сярэднему геамэтрычнаму.

У геамэтрыі

Вышыня прастакутнага трыкутніку, апушчаная на гіпатэнузу, ёсьць сярэдняе прапарцыйнальнае між праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсьць сярэдняе прапарцыйнае між гіпатэнузай і ягонай праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геамэтрычны спосаб пабудовы сярэдняга геамэтрычнага двух адцінкаў: патрэбна пабудаваць акружыну на суме гэтых двух адцінкаў як на дыямэтры, тады вышыня, праведзеная з кропкі іх злучэньня да перасячэньня з акружынаю, дасьць неабходную велічыну.

На малюнку ${\displaystyle BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}}$:

Абагульненьні

• Сярэдняе геамэтрычнае можна разглядаць як ліміт сярэдніх ступеневых ${\displaystyle A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}}$ пры ${\displaystyle g\to 0}$.
• Сярэдняе геамэтрычнае зьяўляецца сярэднім Калмагорава пры ${\displaystyle \phi (x)=\log x}$

Глядзіце таксама

• Сярэдняе значэньне
• Сярэдняе арытмэтычнае
• Сярэдняе арытмэтычна-геамэтрычнае
• Сярэдняе гарманічнае
• Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае
• Сярэдняе геронавае
• Сярэдняе квадратовае
• Сярэднія піфагарэйскія
• Сярэдняе ступеневае
• Няроўнасьць між сярэднім арытмэтычным і сярэднім геамэтрычным

Крыніцы і заўвагі

1. «Среднее пропорциональное». БСЭ