Экспанэ́нтавая ната́цыя, навуко́вы за́піс — спосаб запісу лікаў, надта вялікіх ці вельмі маленькіх для зручнага запісу ў дзесятковай форме. Такую заснаваную на дзесятковай базе натацыю шырока ўжываюць навукоўцы, матэматыкі ды інжынэры, бо яна дазваляе спрасьціць арытмэтычныя апэрацыі.
Дзесятковы запіс | Навуковы запіс |
---|---|
2 | 2×100 |
300 | 3×102 |
4321.768 | 4.321768×103 |
−53000 | −5.3×104 |
6720000000 | 6.72×109 |
02 | 2×10−1 |
987 | 9.87×102 |
0.00000000751 | 7.51×10−9 |
У экспанэнтавай натацыі ненулявыя лікі запісваюць у форме
альбо m, памножанае на дзесяць у ступені n, дзе n — цэлы лік, а каэфіцыент m — ненулявы рэчаісны лік (звычайна паміж 1 і 10 у модулі, і запісаны найчасьцей зь дзесятковым разьдзяляльнікам). Цэлы лік n называецца экспанэнтай, а рэчаісны m — вартасным лікам(d) або мантысай[1]. Калі лік адмоўны, то перад m дадаецца сымбаль мінусу, як і ў звычайнай дзесятковай натацыі. У нармалізаванай натацыі экспанэнту выбіраюць так, каб абсалютная велічыня (модуль) вартаснага ліку m была ня меншай за 1 і меншай за 10.
Любы рэчаісны лік можна запісаць формулай m×10 n рознымі спосабамі: напрыклад, 350 можна запісаць як 3.5×102, 35×101 або 350×100.
У нармалізаваным навуковым запісе экспанэнту n выбіраюць такім чынам, каб абсалютная велічыня m была ня меншай за адзінку, але меншай за дзесяць (1 ≤ |m| < 10). Такім чынам, 350 варта запісаць у выглядзе 3.5×102. Такая форма дазваляе лягчэй параўноўваць лікі: лікі з большымі экспанэнтамі (дзякуючы нармалізацыі) будуць большымі, чым лікі зь меншымі экспанэнтамі, а адніманьнем экспанэнтаў можна ацаніць парадак велічыні(d), на які адрозьніваюцца лікі. Для лікаў з абсалютным значэньнем між 0 і 1 экспанэнта n у нармалізаванай натацыі адмоўная (то бок 0,5 запісваецца ў выглядзе 5×10−1). Калі экспанэнта роўная 0, то экспанэнтную частку ліку (уключаючы 10) можна абмінуць. Пры патрэбе складаньня ці адыманьня (або якога-кольвек іншага параўнаньня) некалькіх лікаў зручна для ўсіх элемэнтаў выкарыстоўваць аднолькавае значэньне m.
Нармалізаваны навуковы запіс — тыповая форма запісу вялікіх нумароў у мностве навуковых галінаў. Часта яго называюць проста экспанэнцыйнай натацыяй — хоць гэты тэрмін больш агульны і ўключае таксама выпадкаў, дзе m не абмежаваны дыяпазонам ад 1 да 10, а базы(d) могуць быць ня толькі 10 (напрыклад, 3,15×2 20).
Інжынэрная натацыя адрозьніваецца ад нармалізаванай навуковай натацыі тым, што экспанэнта n абмежаваная ступенямі(d) тройкі. Адпаведна абсалютнае значэньне мантысы m можа прымаць значэньні 1 ≤ |m| < 1000, а не 1 ≤ |m| < 10. Інжынэрная натацыя дазваляе запісваць нумары адпаведна іхнім прыстаўкам СІ, напрыклад 12.5×10−9 м можна прачытаць як «12 з паловай нанамэтраў» і запісаць як 12.5 нм, а пры запісе ў навуковай натацыі 1.25×10−8 м давялося б называць гэты лік «адна цэлая дваццаць пяць сотых памножанае на дзесяць у мінус восьмай ступені мэтраў».
Вартасная лічба(d) — гэта разрад у ліку, які падвышае ягоную дакладнасьць. Сюды ўключаюцца ненулявыя лікі, нулі між вартаснымі лічбамі і нулі, якія пакінутыя дзеля пазначэньня вартасьці. Вядучыя і канечныя нулі ня лічацца вартаснымі разрадамі, бо патрэбныя толькі для паказу парадку ліку. На жаль, гэта прыводзіць да неадназначнасьцяў. Звычайна лічаць, што лік 1230400 мае пяць вартасных лічбаў: 1, 2, 3, 0 і 4, а два апошнія нулі ёсьць толькі структурнымі сымбалямі, якія не павялічваюць дакладнасьць. Аднак нават у тым выпадку, калі пры вымярэньнях два апошнія разрады былі вымераныя дакладна і аказаліся роўнымі нулю, лік усё адно быў бы запісаны ў такім самым выглядзе зь сям’ю вартаснымі лічбамі.
Пры пераводзе такога ліку ў нармалізаваны навуковы запіс ён дзеліцца да мантысы паміж 1 і 10. Усе вартасныя лічбы захоўваюцца, а канечныя нулі адкідаюцца. Такім чынам, лік 1230400 стане 1.2304×106, як бы меў пяць вартасных разрадаў. Калі б лік меў шэсьць або сем вартасных разрадаў, дык быў запісаны б як 1.23040×106 або 1.230400×106. Такім чынам, яшчэ адной перавагай навуковага запісу ёсьць адназначная колькасьць вартасных разрадаў.
Большасьць калькулятараў і шматлікія кампутарныя праграмы выводзяць вельмі вялікія і малыя вынікі ў навуковым запісе, які ў розных вытворцаў і мадэлях уключаецца клявішай з надпісам EXP (то бок exponent), EEX (то бок enter exponent), EE, EX, E або ×10x. Паколькі ня ўсе зь іх могуць правільна выводзіць надрадковыя сымбалі накшталт 107, для аддзяленьня «дзясяткі ў ступені» выкарыстоўваецца літара E або e (што можна запісаць як „× 10n“), пасьля чаго ідзе значэньне экспанэнты; інакш кажучы, для любога рэчаіснага ліку m і цэлага n вывад «mEn» будзе азначаць значэньне m × 10n. У гэтым выпадку сымбаль e ня тычыцца ані канстанты e, ані паказьнікавай функцыі ex. Выкарыстаньне натацыі «E» палягчае ўвод інфармацыі і чытэльнасьць у тэксьце, бо зьмяншае колькасьць націскаў клявішаў, дапамагае ўнікнуць выкарыстаньня дробных шрыфтоў ды стварае прасьцейшы і выразьнейшы вывад.
У нармалізаваным навуковым запісе, у інжынэрнай і натацыі «E» пропуст дазваляецца толькі перад і пасьля «×» альбо перад «E» і часам апускаецца.
У дадзеным выпадку разглядаем перавод лікаў зь дзесятковай сыстэмы ў навуковы запіс, назад у дзесятковую форму альбо зьмяненьне экспанэнцыйнай часткі выразы. Сам лік пры гэтым не зьмяняецца, зьмяняецца толькі ягонае адлюстраваньне.
Сьпярша трэба перамясьціць коску разьдзяляльніка цэлай і дробнай частак на n пазыцыяў, каб значэньне цэлай часткі было ня менш за 1, але менш за 10. Калі разьдзяляльнік пры гэтым зьмяшчаўся ўлева, трэба дадаць × 10n
; калі ж управа — тады × 10−n
. Каб прадставіць лік 1,230,400 у нармальным навуковым запісе, коску варта перамясьціць на 6 разрадаў улева і дадаць × 106
; атрымаем 1.2304×106. У ліку −0.0040321 варта перамясьціць коску на 3 разрады ўправа, а ня ўлева, што дасьць вынік −4.0321×10−3.
Каб перавесьці лік з навуковага запісу ў дзесятковы, сьпярша трэба пазбавіцца канчатку × 10n
, пасьля чаго перанесьці дзесятковую коску на n разрадаў управа (калі n дадатны) або ўлева (калі n адмоўны). Прыкладам, у ліку 1.2304×106 варта зьмясьціць коску на 6 разрадаў управа; атрымаем 1,230,400. У ліку −4.0321×10−3 варта зьмясьціць коску на 3 разрады ўлева; атрымаем −0.0040321.
Перавод між рознымі навуковымі спосабамі запісу з рознымі значэньнямі экспанэнты атрымліваецца правядзеньнем апэрацый множаньня або дзяленьня на ступень дзясяткі над мантысай і адыманьнем або складаньнем экспанэнты адпаведна. Дзесятковая коска ў мантысе пераносіцца на x улева (ці ўправа), а да экспанэнты дадаецца (або адымаецца ад яе) x, як паказана ніжэй.
Маем два лікі ў навуковай натацыі,
і
Множаньне і дзяленьне выконваюцца па правілах апэрацый ступеняваньня:
і
Колькі прыкладаў: і
Для складаньня і адыманьня неабходна прывесьці лікі да аднолькавай экспанэнтнай часткі, тады мантысы можна проста скласьці або адняць:
Пасьля гэтага складзіце ці адыміце экспанэнты:
Прыклад:
Звычайна для навуковай натацыі выкарыстоўваюцца ступені дзясяткі, аднак могуць ужывацца й ступені іншых лікаў, найчасьцей двойкі.
Напрыклад, у навуковым запісе з базісам 2 лік 10012 у двайковай сыстэме (=910) запісваецца як 1.0012 × 210112 альбо 1.0012 × 102112 з выкарыстаньнем двайковых лічбаў (альбо карацей 1.001 × 1011). У запісе «E» гэта запісваецца як 1.0012E112 (альбо карацей 1.001E11), дзе літара E цяпер азначае «двойка (102) у ступені». Дзеля лепшага адрозьненьня экспанэнты ў базісе 2 ад экспанэнты ў базісе 10 першы часам пазначаюць літарай B замест E, як у 1.0012B112 (альбо карацей 1.001B11). Для параўнаньня той самы лік у дзесятковым прадстаўленьні(d): 1.125 × 23 альбо 1.125B3. Некаторыя калькулятары маюць зьмяшаную форму прадстаўленьня двайковых лікаў з плаваючай коскай, дзе экспанэнта выводзіцца ў дзесятковай сыстэме нават у двайковым рэжыме; такім чынам, вышэйшы прыклад выглядацьме так: 1.0012 × 102310, альбо скарочана 1.001B3[5].
Падобна да B, літарамі H[5] і O[5] часам пазначаюць ступені лікаў 16 альбо 8 адпаведна, напрыклад 1.25 = 1.4016 × 1016016 = 1.40H0 = 1.40h0, альбо 98000 = 2.77328 × 10858[5].
Інжынэрную натацыю(d) можна разглядаць як навуковую з базісам 1000.