Віртуальная чорная дзірка

Віртуальная чорная дзірка — гіпатэтычны аб’ект квантавай гравітацыі: чорная дзірка, якая ўзнікла ў выніку квантавай флуктуацыі прасторы-часу^[1]. З’яўляецца адным з прыкладаў так званай квантавай пены і гравітацыйным аналагам віртуальных электрон-пазітронных пар у квантавай электрадынаміцы.

Механізм узнікнення

З’яўленне віртуальных чорных дзір на планкаўскім маштабе з’яўляецца следствам суадносін нявызначанасцяў^[2]

${\displaystyle \Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$,

дзе ${\displaystyle R_{\mu }}$ — кампанента радыуса крывізны малой вобласці прасторы-часу; ${\displaystyle x_{\mu }}$ — каардыната малой вобласці; ${\displaystyle \ell _{P}}$ — планкаўская даўжыня; ${\displaystyle \hbar }$ — пастаянная Планка; ${\displaystyle G}$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана; ${\displaystyle c}$ — хуткасць святла. Названыя суадносіны нявызначанасцяў з’яўляюцца іншай формай суадносін нявызначанасцяў Гейзенберга ў дачыненні да планкаўскага маштабу.

Доказ  

На самай справе названыя суадносіны нявызначанасцяў можна атрымаць, зыходзячы з ураўненняў Эйнштэйна

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$,

дзе ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }}$ — тэнзар Эйнштэйна, які аб'ядноўвае тэнзар Рычы, скалярную крывізну і метрычны тэнзар, ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ — тэнзар Рычы, які атрымліваецца з тэнзара крывізны прасторы-часу ${\displaystyle R_{abcd}}$ шляхам згорткі яго па пары індэксаў, ${\displaystyle R}$ — скалярная крывізна, г. зн. згорнуты тэнзар Рычы, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — метрычны тэнзар, ${\displaystyle \Lambda }$ — касмалагічная пастаянная, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ уяўляе сабой тэнзар энергіі-імпульсу матэрыі, ${\displaystyle \pi }$ — лік пі, ${\displaystyle c}$ — хуткасць святла ў вакууме, ${\displaystyle G}$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана.

Пры вывадзе сваіх ураўненняў Эйнштэйн выказаў здагадку, што фізічная прастора-час з'яўляецца рыманавай, г. зн. скрыўленай. Малая вобласць рыманавай прасторы блізкая да плоскай прасторы.

Для любога тэнзарнага поля ${\displaystyle N_{\mu \nu \dots }}$ велічыню ${\displaystyle N_{\mu \nu \dots }{\sqrt {-g}}}$ можна назваць тэнзарнай шчыльнасцю, дзе ${\displaystyle g}$ — вызначальнік метрычнага тэнзара ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. Калі вобласць інтэгравання малая, ${\displaystyle \int N_{\mu \nu \dots }{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ з'яўляецца тэнзарам. Калі вобласць інтэгравання не малая, то гэты інтэграл не будзе тэнзарам, бо ўяўляе сабой суму тэнзараў, зададзеных ў розных кропках і, такім чынам, не пераўтворыцца па якім-небудзь простым законе пры пераўтварэннях каардынатаў^[3]. Тут разглядаюцца толькі малыя вобласці. Вышэйсказанае справядліва і пры інтэграванні па трохмернай гiперпаверхнi ${\displaystyle S^{\nu }}$.

Такім чынам, ураўненні Эйнштэйна для малой вобласці псеўдарыманавай прасторы-часу можна праiнтэграваць па трохмернай гiперпаверхнi ${\displaystyle S^{\nu }}$. Маем^[2][4]

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$

Так як інтэгруемая вобласць прасторы-часу малая, атрымліваем тэнзарнае ўраўненне

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }}$,

дзе ${\displaystyle P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ — 4-імпульс; i ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ — радыус крывізны малой вобласці прасторы-часу.

Атрыманае тэнзарнае ўраўненне можна перапісаць у іншым выглядзе. Так як ${\displaystyle P_{\mu }=mc\,U_{\mu }}$, то

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }}$,

дзе ${\displaystyle r_{g}}$ — радыус Шварцшыльда, ${\displaystyle U_{\mu }}$ — 4-хуткасць, ${\displaystyle m}$ — гравітацыйная маса. Гэты запіс раскрывае фізічны сэнс велічынь ${\displaystyle R_{\mu }}$ як кампанент гравітацыйнага радыусу ${\displaystyle r_{g}}$.

У малой вобласці прастора-час практычна плоская, і гэта ўраўненне можна напісаць у аператарным выглядзе

${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$,

або асноўнае ўраўненне квантавай гравітацыі

Ураўненне квантавай гравітацыі[2][4] ${\displaystyle -2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle }$

Тады камутатар аператараў ${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }}$ і ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mu }}$ роўны

${\displaystyle [{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}}$,

адкуль вынікаюць вышэйпаказаныя суадносіны нявызначанасцяў

${\displaystyle \Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}}$

Падстаўляючы сюды значэнні ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }}$ і ${\displaystyle \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$ і скарачаючы справа і злева аднолькавыя сімвалы, атрымліваем суадносіны нявызначанасцяў Гейзенберга:

${\displaystyle \Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

У прыватным выпадку статычнага сферычна сіметрычнага поля і статычнага размеркавання матэрыі маем ${\displaystyle U_{0}=1;U_{i}=0\,(i=1,2,3)}$, і застаецца

${\displaystyle \Delta {R_{0}}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}$,

дзе ${\displaystyle r_{g}}$ — радыус Шварцшыльда, ${\displaystyle r}$ — радыяльная каардыната. Тут ${\displaystyle R_{0}=r_{g}}$, а ${\displaystyle x_{0}=c\,t=r}$, бо на планкаўскім узроўні матэрыя рухаецца з хуткасцю святла. Апошнiя суадносіны нявызначанасцяў дазваляюць рабіць некаторыя ацэнкі ўраўненняў агульнай тэорыi адноснасцi ў дачыненні да планкаўскага маштаба. Напрыклад, выраз для інварыянтнага інтэрвала ${\displaystyle dS}$ у вырашэнні Шварцшыльда мае выгляд

${\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Падстаўляючы сюды, згодна з суадносінамі нявызначанасцяў, замест ${\displaystyle r_{g}}$ велічыню ${\displaystyle r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r}$, атрымаем^[2]

${\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Відаць, што на планкаўскім узроўні ${\displaystyle r=\ell _{P}}$ інварыянтны інтэрвал ${\displaystyle dS}$ абмежаваны знізу планкаўскай даўжынёй, на гэтым маштабе з'яўляецца дзяленне на нуль, што азначае стварэнне рэальных і віртуальных планкаўскiх чорных дзір.

Аналагічныя ацэнкі можна атрымаць і для іншых ураўненняў агульнай тэорыi адноснасці.

Выпісаныя вышэй суадносіны нявызначанасцяў справядлівыя для любых гравітацыйных палёў.

Уласцівасці

Паводле ацэнак фізікаў-тэарэтыкаў^[5], віртуальныя чорныя дзіркі павінны мець масу парадку масы Планка, час жыцця парадку планкаўскага часу, і ўтварацца са шчыльнасцю парадку аднаго асобніка на аб’ём Планка. Пры гэтым, калі віртуальныя чорныя дзіркі існуюць, яны могуць запускаць механізм распаду пратона. Паколькі маса чорнай дзіркі спачатку павялічваецца дзякуючы падзенню масы на чорную дзірку, а затым памяншаецца з-за выпраменьвання Хокінга, то выпусканыя элементарныя часціцы, у агульным выпадку, не ідэнтычныя тым, якія падаюць у чорную дзірку. Такім чынам, калі ў віртуальную чорную дзірку трапляюць два кваркі, складнікі пратона, то магчыма з’яўленне антыкварка і лептона, што парушае закон захавання барыённага ліку^[5].

Існаванне віртуальных чорных дзір пагаршае знікненне інфармацыі ў чорнай дзіры, бо любы фізічны працэс патэнцыйна можа быць парушаны ў выніку ўзаемадзеяння з віртуальнай чорнай дзіркай^[6].

Стварэнне вакуума, які складаецца з віртуальных планкаўскiх чорных дзір (квантавай пены), энергетычна найбольш выгадна ў трохмернай прасторы^[7], што, магчыма, абумовіла 4-мернасць назіранай прасторы-часу.^[2]

Крыніцы

1. S. W. Hawking (1995). Virtual Black Holes
2. A.P. Klimets. (2023). Quantum Gravity. Current Research in Statistics & Mathematics, 2(1), 141-155.
3. П. А. М. Дирак. Общая теория относительности. М.: Атомиздат, 1978. С. 39.
4. A. P. Klimets. On the fundamental role of massless form of matter in physics. Quantum gravity. Western University-Canada, 2017. P. 25-32.
5. Fred C. Adams, Gordon L. Kane, Manasse Mbonye, and Malcolm J. Perry (2001), Proton Decay, Black Holes, and Large Extra Dimensions, Intern. J. Mod. Phys. A, 16, 2399.
6. Steven B. Giddings, The black hole information paradox, arXiv: hep-th / 9508151v1.
7. A. P. Klimets. Geons — candidates for the role of the initial microblack holes and their importance for the Planck physics // FIZIKA B (Zagreb), vol. 9 (2000), no. 1, p. 23-42.