Гамільтанава механіка

Класічная механіка

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})}$ Другі закон Ньютана

Гісторыя… Фундаментальныя паняцці Прастора · Час · Маса · Сіла Энергія · Імпульс Фармулёўкі Ньютанаўская механіка Лагранжава механіка Гамільтанава механіка Фармалізм Гамільтана — Якобі Раздзелы Прыкладная механіка Нябесная механіка Механіка суцэльных асяроддзяў Геаметрычная оптыка Статыстычная механіка Вучоныя Галілей · Кеплер · Ньютан Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамільтан · Кашы

глядзець размовы правіць

Гамільтанава механіка з’яўляецца адной з фармулёвак класічнай механікі. Прапанавана ў 1833 годзе Уільямам Гамільтанам. Яна ўзнікла з лагранжавай механікі, іншай фармулёўкі класічнай механікі, уведзенай Лагранжам у 1788 годзе. Гамільтанава механіка можа быць сфармулявана без прыцягнення лагранжавай механікі з выкарыстаннем сімплектычных^[ru] і пуасонавых мнагастайнасцей^[1].

Нягледзячы на фармальную эквівалентнасць лагранжавай і гамільтанавай механікі, апошняя, акрамя прыўнесеных ёю карысных тэхнічных дапаўненняў, адыграла істотную ролю для больш глыбокага разумення як матэматычнай структуры класічнай механікі, так і яе фізічнага сэнсу, уключаючы сувязь з механікай квантавай (Гамільтан першапачаткова хацеў сфармуляваць класічную механіку як караткахвалевую граніцу некаторай хвалевай тэорыі, што практычна цалкам адпавядае сучаснаму погляду).

Існуе пункт гледжання, што фармалізм Гамільтана наогул больш фундаментальны і арганічны, у тым ліку і асабліва для квантавай механікі (Дзірак), хоць гэты пункт гледжання і не стаў агульнапрызнаным, у асноўным, мабыць з-за таго, што прыкметная частка такіх інтэрпрэтацый губляе яўную (толькі яўную) Лорэнц-каварыянтнасць, а таксама таму, што гэты пункт гледжання не даў такога практычнага выхаду, які пераканаў бы ў яе важнасці ўсіх. Зрэшты, варта заўважыць, што эўрыстычна яна, верагодна, была не апошняй сярод пабуджальных прычын, якія прывялі да адкрыцця ўраўнення Дзірака — аднаго з найбольш фундаментальных ураўненняў квантавай тэорыі.

Перафармулёўка лагранжавай механікі

У лагранжавай механіцы механічная сістэма характарызуецца лагранжыянам: ${\displaystyle L(q,\;{\dot {q}},\;t)}$ — функцыяй абагульненых каардынат ${\displaystyle ~q}$ і адпаведных скарасцей ${\displaystyle {\dot {q}}}$, а таксама магчыма часу ${\displaystyle t}$. У гамільтанавай механіцы ўводзіцца паняцце абагульненых імпульсаў, спалучаных абагульненым каардынатам, які (імпульсы) вызначаюцца праз лагранжыян наступным чынам:

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}.}$

У дэкартавых каардынатах абагульненыя імпульсы — гэта фізічныя лінейныя імпульсы. У палярных каардынатах абагульнены імпульс, які адпавядае вуглавой скорасці — фізічны вуглавы момант. Для адвольнага выбару абагульненых каардынат цяжка атрымаць інтуітыўную інтэрпрэтацыю спалучаных гэтым каардынатам імпульсаў або адгадаць іх выраз, не выкарыстоўваючы прама прыведзеную вышэй формулу.

Вектарнае ўраўненне Эйлера — Лагранжа тады прыме выгляд

${\displaystyle {\dot {p}}={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$

Адсюль, у прыватнасці вынікае, што, калі нейкая каардыната аказалася цыклічнай, гэта значыць, калі функцыя Лагранжа ад яе не залежыць, а залежыць толькі ад яе вытворнай па часе, то для спалучанага ёй імпульсу ${\displaystyle {\dot {p}}=0}$, гэта значыць ён з’яўляецца інтэгралам руху (захоўваецца ў часе), што некалькі растлумачвае сэнс абагульненых імпульсаў.

У гэтай фармулёўцы, якая залежыць ад выбару сістэмы каардынат, не занадта відавочны той факт, што розныя абагульненыя каардынаты з’яўляюцца ў рэчаіснасці не чым іншым, як рознымі каардынатызацыямі адной і той жа сімплектычнай мнагастайнасці.

З дапамогай пераўтварэння Лежандра лагранжыяна вызначаецца функцыя Гамільтана — гамільтаніян:

${\displaystyle H\left(q,\;p,\;t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\dot {q}},\;t).}$

Калі ўраўненні пераўтварэння, якія вызначаюць абагульненыя каардынаты, незалежныя ад ${\displaystyle t}$, можна паказаць, што ${\displaystyle H}$ роўны поўнай энергіі:

${\displaystyle E=T+V.}$

Поўны дыферэнцыял гамільтаніяна запішацца ў выглядзе:

${\displaystyle dH=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,d{\dot {q}}_{i}\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial t}}\right)\,dt=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-{\dot {p}}_{i}\,dq_{i}-p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,dt=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-{\dot {p}}_{i}\,dq_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,dt.}$

З улікам таго, што поўны дыферэнцыял гамільтаніяна таксама роўны

${\displaystyle dH=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,dp_{i}\right]+\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt.}$

Атрымаем ураўненні руху гамільтанавай механікі, вядомыя як кананічныя ўраўненні Гамільтана:

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}=-{\dot {p}}_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}}$

Ураўненні Гамільтана ўяўляюць сабой дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку, і, такім чынам, іх лягчэй рашаць, чым ураўненні Лагранжа, якія з’яўляюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі другога парадку. Аднак крокі, якія прыводзяць да ўраўненняў руху, больш працаёмкія, чым у лагранжавай механіцы — пачынаючы з абагульненых каардынат і функцыі Лагранжа, мы павінны вылічыць гамільтаніян, выразіць кожную абагульненую скорасць у тэрмінах спалучаных імпульсаў і замяніць абагульненыя скорасці ў гамільтаніяне спалучанымі імпульсамі. У цэлым, ёсць невялікі выйгрыш у працы ад рашэння праблемы ў гамільтанавам, а не ў лагранжавам фармалізме, хоць у канчатковым рахунку гэта прыводзіць да тых жа рашэнняў, што і лагранжава механіка і законы руху Ньютана.

Асноўнае прызначэнне гамільтанавага падыходу — тое, што ён забяспечвае аснову для больш фундаментальных вынікаў у класічнай механіцы.

Для адвольнай функцыі кананічных зменных ${\displaystyle f(q,\;p,\;t)}$ маем

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\{H,\;f\},}$

дзе ${\displaystyle \{H,\;f\}}$ — дужка Пуасона. Дадзенае ўраўненне з’яўляецца асноўным ураўненнем гамільтанавай механікі. Можна непасрэдна праверыць, што яно справядліва таксама і для саміх кананічных зменных ${\displaystyle f=q}$ ці ${\displaystyle f=p}$.

З дадзенага ўраўнення вынікае, што калі некаторая дынамічная зменная не з’яўляецца непасрэднай функцыяй часу, то яна з’яўляецца інтэгралам руху тады і толькі тады, калі яе дужка Пуасона роўная нулю.

Атрыманне ўраўненняў Гамільтана непасрэдна з прынцыпу стацыянарнага дзеяння

Простае прамое атрыманне гамільтанавай формы механікі зыходзіць з гамільтанавага запісу дзеяння:

${\displaystyle S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-H(p,\;q)\right)\,dt,}$

якое можна лічыць фундаментальным пастулатам механікі ў гэтай фармулёўцы^[2]. (Пад ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ без індэксаў тут маецца на ўвазе ўвесь набор абагульненых імпульсаў і каардынат).

Умова стацыянарнага дзеяння

${\displaystyle \delta S=0}$

дае магчымасць атрымаць кананічныя ўраўненні Гамільтана, прычым вар’іраванне тут вядзецца незалежна па ${\displaystyle \delta p_{j}}$ і ${\displaystyle \delta q_{j}}$. Так атрымліваем (зноў, але цяпер без выкарыстання лагранжавага спосабу) кананічныя ўраўненні Гамільтана:

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}.}$

Выкарыстоўваючы другое, можна выразіць усе ${\displaystyle p_{j}}$ праз набор ${\displaystyle q_{i}}$ і ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$, пасля чаго выраз пад інтэгралам стане, відавочна, проста функцыяй Лагранжа. Такім чынам мы атрымліваем лагранжаву фармулёўку прынцыпу стацыянарнага (найменшага) дзеяння з гамільтанавай.

Зноскі

1. А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.: РХД, 1999. — 464с.
2. Гэта (з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які можна апусціць пры адпаведным выбары адзінак вымярэння), мабыць, найбольш прама запісаны выраз для фазы

   ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right)}}$

   ў квантавай механіцы (з пункту гледжання фейнманаўскага інтэграла па траекторыях або пры простым квазікласічнам разглядзе руху хвалевага пакета), дзе імпульс і энергія з’яўляюцца з дакладнасцю да таго ж пастаяннага множніка (канстанты Планка) — частатой і хвалевым вектарам

   ${\displaystyle \scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }}$

   (тут для прастаты выкарыстаны декартавы каардынаты). Метад жа стацыянарнай фазы ${\displaystyle \scriptstyle {\delta \varphi =0}}$ дае класічнае прыбліжэнне, што цалкам аналагічнае гамільтанаву спосабу, які выкладзены раней, іншымі словамі, проста яго паўтарае. Заўважым таксама, што ў цэлым гэта адзін з найбольш прамых спосабаў устанавіць аналогію паміж распаўсюджваннем «кропкавых» хвалевых пакетаў узбурэнняў у шырокім класе асяроддзяў і рухам матэрыяльнага пункта механікі. Аналогія ж гэтая, у прыватнасці, дазваляе атрымаць яшчэ адзін карысны пункт гледжання на прыроду і ўласцівасці абагульненых імпульсаў.

Гл. таксама

• Сімплектычная мнагастайнасць
• Сімплектычная прастора
• Ураўненні Гамільтана
• Ураўненні Гамільтана — Якобі
• Лагранжава механіка
• Гамільтанава тэорыя поля

Спасылкі

• Гамильтонов формализм — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі
• Вилази Г. Гамильтонова динамика. — Перевод с англ. — М.: ИКИ и РХД, 2006. — 432 с. — ISBN 5-93972-444-2.
• тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М.: Наука, 1974.
• Виноградов А. М., Купершмидт Б. А. Структура гамильтоновой механики // Успехи математических наук. — 1977. — Т. 32. — стр. 175—236.
• Abraham R., Marsden J. E. Foundations of Mechanics. — London: Benjamin-Cummings, 1978. — ISBN 0-8053-0102-X.
• Rychlik M. Lagrangian and Hamiltonian mechanics — A short introduction. Архівавана 7 лістапада 2005.
• Binney J. Classical Mechanics. — Лекцыі ў фармате PDF.
• Tong D. Classical Dynamics. — Лекцыі Кембрыджскага ўніверсітэта.