Сярэдняе геаметрычнае

Сярэдняе геаметрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іх здабытак не змяніўся:

${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}$

Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыянальным^[1].

Уласцівасці

• Гэтак жа, як і любое іншае сярэдняе значэнне, сярэдняе геаметрычнае ляжыць паміж найменшым і найбольшым з усіх лікаў:

${\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\leq G(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

• Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў роўнае сярэдняму геаметрычнаму іх сярэдняга арыфметычнага і сярэдняга гарманічнага^[2].
• Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў x, y з'яўляецца сярэднім арыфметыка-гарманічным гэтых лікаў, г. зн. раўняецца граніцы дзвюх паслядоўнасцей ${\displaystyle (a_{n})}$ і ${\displaystyle (b_{n}),}$ вызначаных наступным чынам:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

і

${\displaystyle b_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{b_{n}}}}},\quad b_{0}=y,}$

дзе ${\displaystyle b_{n+1}}$ раўняецца сярэдняму гарманічнаму папярэдніх значэнняў дзвюх паслядоўнасцей. Абедзве паслядоўнасці ${\displaystyle (a_{n})}$ і ${\displaystyle (b_{n})}$ збягаюцца да сярэдняга геаметрычнага лікаў x і y.

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ з рэчаіснымі вагамі ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ вызначаецца як

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}$

У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя паміж сабою, сярэдняе геаметрычнае ўзважанае супадае з сярэднім геаметрычным.

У геаметрыі

${\displaystyle BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}}$

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка, апушчаная на гіпатэнузу, ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж гіпатэнузай і яго праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геаметрычны спосаб пабудовы сярэдняга геаметрычнага двух (даўжынь) адрэзкаў: трэба пабудаваць акружнасць на суме гэтых двух адрэзкаў як на дыяметры, тады вышыня, пабудаваная з пункта іх злучэння да перасячэння з акружнасцю, дасць шукаемую велічыню.

Сувязь з абагульненымі сярэднімі

• Сярэдняе геаметрычнае можна разглядаць як граніцу сярэдніх ступенных ${\displaystyle A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}}$ пры ${\displaystyle g\to 0}$.
• Сярэдняе геаметрычнае з'яўляецца сярэднім Калмагорава пры ${\displaystyle \phi (x)=\log x}$

Гл. таксама

• Сярэдняе арыфметычнае
• Сярэдняе квадратычнае
• Сярэдняе значэнне
• Няроўнасць паміж сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным
• Няроўнасць Швейцэра

Зноскі

1. «Среднее пропорциональное». (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі
2. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 66.