Сярэдняе значэнне

Не блытаць з Сярэднім арыфметычным.

Сярэдняе значэнне — у агульным выглядзе гэта лікавая характарыстыка мноства лікаў або функцый, якая знаходзіцца паміж найменшым і найбольшым значэннем дадзенага мноства або функцыі.

У тэорыі імавернасцей і статыстыцы сярэдняе значэнне разам з матэматычным чаканнем выкарыстоўваюцца як сінонімы абазначэння меры цэнтральнай тэндэнцыі  (руск.) размеркавання імавернасцей або выпадковай велічыні гэтага размеркавання.^[1] У выпадку дыскрэтнага размеркавання імавернасцей выпадковай велічыні X, сярэдняе роўна суме кожнага магчымага значэння, ўзважанага па верагоднасці гэтага значэння. Іншымі словамі, каб вылічыць сярэдняе Х, трэба ўзяць кожнае магчымае значэнне х з мноства X, улічываючы суадносную яму імавернасць Р(х), а затым скласці ўсе разам:

${\displaystyle \mu =\sum xP(x)}$

Сярэдняе ${\displaystyle \mu }$ для дыскрэтнага размеркавання Х, дзе х — адно з значэнняў мноства Х, а Р(х) — суадносная імавернасць сустракання або спадзявання х у мностве Х.^[2]

Аналагічная формула можа быць выкарыстана для непарыўнага размеркавання імавернасцей. Трэба заўважыць, што не кожнае размеркаванне імавернасцей мае пэўнае сярэдняе (напрыклад, размеркаванне Кашы). А для некаторых размеркаванняў сярэдняе прымае значэнне бясконцасці: напрыклад, для размеркавання ${\displaystyle 2^{n}}$, калі яго імавернасць роўна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{n}}}}$, дзе n = 1, 2, 3…

Для пэўнага набору дадзеных (масіва дадзеных), тэрміны арыфметычнай сярэдняй, матэматычнага чакання, а часам і паказчыкі цэнтра размеркавання  (руск.) выкарыстоўваюцца як сінонімы для абазначэння цэнтральнага значэння дыскрэтнага набору лікаў — сума ўсіх значэнняў, дзе́леная на колькасць значэнняў. Сярэдняе арыфметычнае набору лікаў x₁, x₂, …, х_n, як правіла, пазначаецца ${\displaystyle {\bar {x}}}$, вымаўляецца як «ікс з рысай» (англ.: «ікс бар»).

Калі набор дадзеных заснаваны на серыі назіранняў, атрыманых шляхам адбору пробаў з генеральнай сукупнасці, сярэдняе арыфметычнае называецца сярэдняе выбаркі (або выбарачнае сярэдняе; пазначаецца ${\displaystyle {\bar {x}}}$; англ.: sample mean), каб адрозніць яго ад генеральнага сярэдняга (або сярэдняе генеральнай сукупнасці; пазначаецца ${\displaystyle \mu }$ або ${\displaystyle \mu _{x}}$; англ.: population mean).^[3]

Ва ўмовах канечнай сукупнасці генеральнае сярэдняе некаторай уласцівасці роўна арыфметычнай сярэдняй гэтай жа ўласцівасці, калі ўсе члены сукупнасці ўзяты ва ўвагу. Напрыклад, генеральная сярэдняя вышыні/росту роўна суме росту кожнага ўдзельніка дадзенай сукупнасці, падзеленай на агульную колькасць асоб. Выбарачнае сярэдняе можа адрознівацца генеральнага, асабліва для малых выбарак. Закон вялікіх лікаў падказвае, што чым больш памер выбаркі, тым больш верагоднасць таго, што сярэдняе выбаркі будзе блізкае да генеральнага сярэдняга.^[4]

За межамі тэорыі імавернасцей і статыстыкі «сярэдняе» можа выкарыстоўвацца ў іншых значэннях.

Зноскі

1. Feller, William (1950). Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol I. Wiley. p. 221. ISBN 0471257087.
2. Elementary Statistics by Robert R. Johnson and Patricia J. Kuby, p. 279
3. Underhill, L.G.; Bradfield d. (1998) Introstat, Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X p. 181
4. Schaum's Outline of Theory and Problems of Probability by Seymour Lipschutz and Marc Lipson, p. 141