Умоўная імавернасць

Умоўная імавернасць — імавернасць здзяйснення пэўнай выпадковай падзеі пры ўмове таго, што некаторая іншая падзея здзейснілася.

Азначэнне

Ілюстрацыя ўмоўнай імавернасці праз дыяграму Эйлера^[en]. Імавернасць P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Пры гэтым умоўная імавернасць P(A|B₁) = 1, P(A|B₂) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75 і P(A|B₃) = 0.

Няхай для некаторай падзеі ${\displaystyle B}$ выконваецца ${\displaystyle P(B)>0}$. Умоўнай імавернасцю ${\displaystyle P(A|B)}$ падзеі ${\displaystyle B}$ пры ўмове, што адбылася падзея ${\displaystyle B}$ (карацей «пры ўмове ${\displaystyle B}$»), называецца дзель^[1]:33

$${\displaystyle P(A|B):={\frac {P(AB)}{P(B)}}.}$$

Часам умоўную імавернасць ${\displaystyle P(A|B)}$ пазначаюць як ${\displaystyle P_{B}(A)}$.

Адпаведнасць аксіёмам Калмагорава

Няхай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ — імавернасная прастора, а ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ — падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць ${\displaystyle P(A|B)}$ вызначае новую імавернасную прастору ${\displaystyle (B,{\mathcal {A}}_{B},P_{B})}$, дзе σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{B}:=\{C|\exists A\in {\mathcal {A}}:C=AB\}.}$ Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцей^[1]:33-34.

Доказ адпаведнасці

Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:

$${\displaystyle P(C|B)=P(AB|B)={\frac {P(ABB)}{P(B)}}={\frac {P(AB)}{P(B)}}\geq 0;}$$ $${\displaystyle P_{B}(B)={\frac {P(BB)}{P(B)}}=1.}$$

Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {A}}_{B}}$ і ${\displaystyle C_{1}C_{2}=\varnothing }$. Існуюць ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ такія, што ${\displaystyle C_{1}=A_{1}B,C_{2}=A_{2}B}$. Маем

$${\displaystyle P(C_{1}+C_{2}|B)={\frac {P((C_{1}+C_{2})B)}{P(B)}}={\frac {P(A_{1}BB+A_{2}BB)}{P(B)}}=}$$ $${\displaystyle ={\frac {P(A_{1}B+A_{2}B)}{P(B)}}=P(C_{1}|B)+P(C_{2}|B).}$$

Возьмем паслядоўнасць ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \dots }$, для якой ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }C_{n}=\varnothing }$, дзе ўсе ${\displaystyle C_{n}\in {\mathcal {A}}_{B}}$, г.зн. існуюць ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}}$, такія, што ${\displaystyle C_{n}=A_{n}B}$. Адсюль маем

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(C_{n}|B)=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(A_{n}B)}{P(B)}}={\frac {1}{P(B)}}\lim _{n\to \infty }P(A_{n}B)=0.}$$

Асноўныя палажэнні з умоўнай імавернасцю

Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.

Тэарэма множання імавернасцей

Асноўны артыкул: Тэарэма множання імавернасцей

Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей $${\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B).}$$ Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцей^[1]:34-36. Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$, для якіх выконваецца няроўнасць ${\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})>0}$:

$${\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}$$

Формула поўнай імавернасці

Асноўны артыкул: Формула поўнай імавернасці

Калі ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}}$ — поўная група падзей і ${\displaystyle P(A_{j})>0}$ для ўсіх ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$, то для кожнай падзеі ${\displaystyle B}$ справядліва роўнасць

$${\displaystyle P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць ${\displaystyle P(B|A_{k})}$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць ${\displaystyle B}$ пры выкананні гіпотэзы ${\displaystyle A_{k}}$»^[1]:37.

Тэарэма Баеса

Асноўны артыкул: Тэарэма Баеса

Калі ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}}$ — поўная група падзей і ўсе ${\displaystyle P(A_{k})>0}$, а ${\displaystyle B}$ — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то^[1]:39 $${\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}$$

Гл. таксама

• Умоўнае размеркаванне імавернасцей

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.