Аксіяматыка Калмагорава

Аксіёмы Калмагорава — асноўныя палажэнні тэорыі імавернасцей, прапанаваныя савецкім матэматыкам Андрэем Калмагоравым у 1933 г. Гэтыя аксіёмы сталі класічнымі і дагэтуль застаюцца найбольш распаўсюджанай аксіяматыкай^[en] у сучаснай тэорыі імавернасцей.

Аксіёмы

Для задання аксіём уводзіцца паняцце імавернаснай прасторы — тройкі ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, дзе ${\displaystyle \Omega }$ — прастора элементарных падзей, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — σ-алгебра падмностваў мноства ${\displaystyle \Omega }$, якія называюцца выпадковымі падзеямі, ${\displaystyle P:{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} }$ — рэчаісназначная функцыя^[en], якая называецца імавернаснай мерай^[en].

Аксіёмы Калмагорава для тэорыі імавернасцей^[1]:12-13:

1. Неадмоўнасць. ${\displaystyle P(A)\geq 0}$ для адвольнай падзеі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.
2. Нармаванасць. ${\displaystyle P(\Omega )=1}$, г.зн. імавернасць верагоднай падзеі роўна 1.
3. Адытыўнасць. ${\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)}$ для якіх-кольвек несумесных падзей ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$.
4. Непарыўнасць. Калі паслядоўнасць ${\displaystyle (A_{n})_{n=1}^{\infty }}$ падзей ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ такая, што ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \dots \supset A_{n}\supset \dots }$ і ${\displaystyle \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\varnothing }$, то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0}$.

Аксіёма злічонай адытыўнасці

Часам замест чатырох аксіём Калмагорава прыводзяцца тры, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замяняюцца эквівалентнай ім аксіёмай злічонай адытыўнасці^[1]:16-17:

Для адвольнай злічонай сям'і дыз'юнктных (то бок несумесных) падзей ${\displaystyle \{B_{k}|k\in \mathbb {N} \}}$ справядліва роўнасць $${\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }P(B_{k}).}$$

З пункту гледжання праўдзівасці сцверджанняў, якія грунтуюцца на аксіёмах Калмагорава, няма розніцы паміж класічным наборам з чатырох аксіём і наборам, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замененыя на аксіёму злічонай адытыўнасці, бо гэтыя наборы аксіём эквівалентныя паміж сабой.

Доказ эквівалентнасці

Дапусцім спачатку, што выконваюцца аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці. Зададзім злічоную сям'ю дыз'юнктных мностваў ${\displaystyle A_{n}:=\sum _{k=n+1}^{\infty }B_{k}}$ і атрымаем, што ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \dots \supset A_{n}\supset \dots }$. Пазначым ${\displaystyle B:=\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}}$ і запішам

$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n+1}^{\infty }B_{k}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(B\setminus \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\right)=}$$$${\displaystyle =B\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=B\setminus B=\varnothing .}$$

Такім чынам, ${\displaystyle \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\varnothing }$ і паводле аксіёмы непарыўнасці ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0}$. З вызначэння ${\displaystyle A_{n}}$ і аксіёмы адытыўнасці вынікае $${\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n}B_{k}+A_{n}\right)=\sum _{k=1}^{n}P(B_{k})+P(A_{n}).}$$

Пераходзячы ў апошняй роўнасці да ліміту ${\displaystyle n\to \infty }$ атрымліваем роўнасць з аксіёмы злічонай адытыўнасці.

Цяпер дакажам што выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання адытыўнасці і непарыўнасці.

Для доказу спатрэбіцца факт таго, што ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$. Сапраўды, прымаючы ${\displaystyle B_{k}=\varnothing }$ (што можна зрабіць, бо пустое мноства не перасякаецца з самім сабой) атрымліваем $${\displaystyle P(\varnothing )=P\left(\sum _{k=1}^{\infty }\varnothing \right)=\sum _{k=1}^{\infty }P(\varnothing ).}$$

Успомнім, што паводле азначэння ${\displaystyle P}$ можа прымаць толькі рэчаісныя значэнні, а з усіх рэчаісных лікаў выкананне прыведзенай вышэй роўнасці магчыма толькі для ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$.

Для адвольных несумесных падзей ${\displaystyle A,B}$ прымем ${\displaystyle B_{1}=A,B_{2}=B,B_{3}=B_{4}=\dots =\varnothing }$. Улічваючы аксіёму злічонай адытыўнасці і тое, што ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$, маем

$${\displaystyle P(A+B)=P(B_{1}+B_{2}+\varnothing +\varnothing +\dots )=}$$ $${\displaystyle =P(B_{1})+P(B_{2})+P(\varnothing )+\dots =P(A)+P(B).}$$

Гэта значыць, што праўдзіцца аксіёма адытыўнасці.

Возьмем цяпер адвольны набор падзей ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \dots \supset A_{n}\supset \dots }$, для якіх ${\displaystyle \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\varnothing }$. Пазначым ${\displaystyle B_{n}:=A_{n}\setminus A_{n+1}}$ для ўсіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ і атрымаем дыз'юнктнае мноства падзей ${\displaystyle \{B_{1},B_{2},\dots ,B_{n},\dots \}}$. Паводле аксіёмы злічонай адытыўнасці, шэраг ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(B_{k})}$ збягаецца і таму паслядоўнасць ягоных астачаў імкнецца да нуля, г.зн.:

$${\displaystyle 0=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n}^{\infty }P(B_{k})=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n}^{\infty }P(A_{k}\setminus A_{k+1})=\lim _{n\to \infty }P(A_{n}).}$$

Такім чынам мы паказалі, што аксіём адытыўнасці і непарыўнасці дастаткова для выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці, а таксама што аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання аксіём адытыўнасці і непарыўнасці. Гэта значыць, што аксіёма злічонай адытыўнасці эквівалентная аксіёмам адытыўнасці і непарыўнасці, узятым разам.

Высновы з першых трох аксіём

Грунтуючыся на аксіёмах Калмагорава, можна даказаць шэраг сцверджанняў, карысных для вывучэння тэорыі імавернасцей.

Адытыўнасць для канечнага мноства падзей

Калі падзеі ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ парамі несумесныя, то $${\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}).}$$

Доказ^[1]:13-14

Доказ будуецца метадам матэматычнай індукцыі з аксіёмы адытыўнасці. Паводле аксіёмы, роўнасць слушная для ${\displaystyle n=2}$. Для ${\displaystyle n>2}$ дапусцім, што праўдзіцца роўнасць $${\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_{k}).}$$ Выкарыстоўваючы яе і аксіёму адытыўнасці, маем $${\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}+A_{n}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\right)+P(A_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_{k})+P(A_{n})=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}).}$$

Правіла сумы

Для адвольных дзвюх падзей ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ справядліва роўнасць

$${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$$

Доказ^[1]:14

Заўважым, што ${\displaystyle P(A\cup B)=A\setminus B+B\setminus A+A\cap B}$, дзе ўсе тры падзеі парамі несумесныя. З адытыўнасці для канечнага мноства падзей вынікае $${\displaystyle P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B)=}$$ $${\displaystyle =(P(A\setminus B)+P(A\cap B))+(P(B\setminus A)+P(A\cap B))-P(A\cap B)=}$$ $${\displaystyle =P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$$

Імавернасць надмноства

Калі ${\displaystyle A\subset B}$, то ${\displaystyle P(B)=P(A)+P(B\setminus A)}$.

Доказ^[1]:15

З ${\displaystyle A\subset B}$ вынікае ${\displaystyle B=A+B\setminus A}$. Тады паводле аксіёмы адытыўнасці маем ${\displaystyle P(B)=P(A)+P(B\setminus A)}$.

Імавернасць немагчымай падзеі

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$.

Доказ^[1]:15

У формуле імавернасці надмноства прымем ${\displaystyle B=A}$. Атрымаем $${\displaystyle P(A)=P(A)+P(A\setminus A)=P(A)+P(\varnothing ).}$$ Адсюль вынікае, што ${\displaystyle P(\varnothing )=0}$.

Імавернасць процілеглай падзеі

${\displaystyle P({\bar {A}})=1-P(A)}$, дзе ${\displaystyle {\bar {A}}}$ — падзея, процілеглая да ${\displaystyle A}$.

Доказ^[1]:15

Сыходзячы з таго, што ${\displaystyle \Omega =A+{\bar {A}}}$, а таксама з аксіём адытыўнасці і нармаванасці, атрымліваем ${\displaystyle 1=P(\Omega )=P(A+{\bar {A}})=P(A)+P({\bar {A}})}$.

Манатоннасць

Калі ${\displaystyle A\subset B}$, то ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$.

Доказ^[1]:15

З формулы імавернасці надмноства і аксіёмы неадмоўнасці маем $${\displaystyle P(A)=P(B)-P(B\setminus A)\leq P(B).}$$

Лікавыя межы імавернасці

Для кожнай падзеі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ праўдзіцца ${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}$.

Доказ^[1]:15

З таго, што ${\displaystyle \varnothing \subset A\subset \Omega }$ вынікае $${\displaystyle 0=P(\varnothing )\leq P(A)\leq P(\Omega )=1.}$$

Няроўнасць для імавернасці аб'яднання

Для якіх-кольвек падзей ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ справядліва няроўнасць

$${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n}).}$$

Доказ^[1]:15-16

Для ${\displaystyle n=2}$, з правіла сумы і аксіёмы неадмоўнасці вынікае

$${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})\leq P(A_{1})+P(A_{2}).}$$

Дапусцім, што для ${\displaystyle n-1}$ выконваецца

$${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n-1}).}$$

Сумяшчаючы гэтыя няроўнасці, атрымоўваем

$${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n})=P((A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})\cup A_{n})\leq }$$ $${\displaystyle \leq P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})+P(A_{n})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n}).}$$

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.